蒲曉琴

一類中立型隨機(jī)偏微分方程概周期解的存在性和唯一性

蒲曉琴

(中國(guó)民航飛行學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院，四川廣漢618307)

最近，P．Bezandry和T．Diagana(P．Bezandry，T．Diagana．Appl．Anal．，2007，117:1－10．)引入了均值概周期的概念，研究了一類隨機(jī)時(shí)滯演化方程，并獲得了其均值概周期存在和唯一的充分條件．我們將應(yīng)用不動(dòng)點(diǎn)理論和分?jǐn)?shù)冪算子方法，獲得一類中立型隨機(jī)偏微分方程在均方意義下的概周期解的存在性和唯一性的充分條件．

中立隨機(jī)偏微分方程;均值概周期;分?jǐn)?shù)冪算子;不動(dòng)點(diǎn)

Bohr最先引了概周期函數(shù)的概念，隨后，Bochner將這概念推廣到Polish空間．近些年來(lái)，由于概周期微分方程在物理、化學(xué)和生物數(shù)學(xué)上的應(yīng)用，許多學(xué)者研究了概周期微分方程概周期解存在性問(wèn)題［1－17］．隨機(jī)微分方程的動(dòng)力行為也被許多人研究［8－20］．最近，P．Bezandry等［21－22］引入了均值概周期的概念，研究了一類隨機(jī)時(shí)滯演化方程，并獲得了其均值概周期存在和唯一的充分條件．應(yīng)用不動(dòng)點(diǎn)理論和分?jǐn)?shù)冪算子方法，獲得了一類中立型隨機(jī)偏微分方程在均值概周期解的存在性和唯一性的充分條件．

1 基礎(chǔ)知識(shí)

假設(shè)H和K為實(shí)可分的Hilbert空間，它們的范數(shù)分別記為‖·‖和‖·‖K．設(shè)(Ω，F(xiàn)，{Ft}t≥0，P)為完備概率空間．L2(K，H)為Hilbert－Schmidt算子，范數(shù)記為‖·‖2．Q為對(duì)稱非負(fù)算子，Q∈L2(K，H)，并且Q的跡有限．W(t)(t∈R)為定義在(Ω，F(xiàn)，{Ft}t≥0，P)上的取值在K上的Q－Wiener過(guò)程［23］．

L2(P，H)為強(qiáng)可測(cè)的，均方可積的H值隨機(jī)變量的全體，顯然，在范數(shù)‖X‖L2(P，H)=(E‖X‖2)1/2下為Banach空間，其中E為期望．

其中，A為Hilbert空間H上的一致指數(shù)穩(wěn)定解析半群最小生成元，r≥0，f，g:R×H→H和σ:R×H→為連續(xù)函數(shù)．

設(shè)A:D(A) H→H為定義在Hilbert空間H上的線性算子(T(t))t≥0的解析半群最小生成元，M和δ為正常數(shù)，滿足‖T(t)‖≤Me－δt對(duì)任意t≥0．假設(shè)0∈ρ(A)，那么，可以定義分?jǐn)?shù)冪算子Aα對(duì)0＜α＜1．它是一閉線性算子，并且定義域D(Aα)在H中稠密．Hα記為Banach空間D(Aα)，其范數(shù)為

引理1．1［24］下列2個(gè)屬性成立:

(i)如果0＜β＜α≤1，那么Hα→Hβ并且當(dāng)A的預(yù)解式為緊時(shí)，該嵌入是緊的; (ii)對(duì)0＜α≤1，存在Cα以致

為了獲得主要結(jié)果，介紹一些定義和引理．

設(shè)(B，‖·‖)為一Banach空間．

定義1．1 一連續(xù)隨機(jī)過(guò)程X:R→L2(P;B)稱為均值概周期的，如果對(duì)每一個(gè)ε＞0，存在l(ε)＞0以致任何區(qū)間長(zhǎng)度l(ε)最少存在一數(shù)τ滿足

下列為一些均值概周期過(guò)程的屬性．

引理1．2［21］如果X屬于AP(R;L2(P;B))，那么:

(i)映射t→E‖X(t)‖2一致連續(xù);

(ii)存在常數(shù)N＞0滿足E‖X(t)‖2≤N，對(duì)t∈R．

引理1．3 如果X(·)∈AP(R;L2(P;B))，那么X(·－r)∈AP(R;L2(P;B))，其中r≥0為固定常數(shù)．

證明和文獻(xiàn)［25］中的相似，故省略．

設(shè)CUB(R;L2(P;B))為連續(xù)有界隨機(jī)過(guò)程X: R→L2(P;B)的集合，那么，容易證明在下列范數(shù)下

CUB(R;L2(P;B))為Banach空間．

引理1．4［21］AP(R;L2(P;B)) CUB(R; L2(P;B))為閉子空間．

由上可知，AP(R;L2(P;B))在范數(shù)‖·‖∞下是Banach空間．

設(shè)(B1，‖·‖B1)和(B2，‖·‖B2)為Banach空間．

定義1．2 稱連續(xù)函數(shù)F:R×B1→B2，(t，Y)→F(t，Y)關(guān)于t∈R是均值概周期的，對(duì)Y∈K是一致的，其中K B1是緊的，如果對(duì)任何ε＞0，存在l(ε，K)＞0以致對(duì)任何區(qū)間長(zhǎng)度l(ε，K)最少存在一數(shù)τ，對(duì)任何隨機(jī)過(guò)程Y:R→K滿足

引理1．5［21］設(shè)F:R×B1→B2，(t，Y)→F(t，Y)關(guān)于t∈R是均值概周期的，對(duì)Y∈K是一致的，其中K B1是緊的．假設(shè)F是以下列方式Lipschitz的

對(duì)所有Y，Z∈B1，t∈R成立，其中M＞0，那么對(duì)所有均值概周期過(guò)程Φ:R→L2(P;B1)，隨機(jī)過(guò)程t→F(t，Φ(t))是均值概周期的．

(1)式的溫和解的定義如下［26］:

定義1．3 隨機(jī)過(guò)程x(t):［δ，δ+a)→L2(P; H)，a＞0，稱為(1)式在［δ，δ+a)上的溫和解，如果s→AT(t－s)f(s，x(s－r))在［δ，t)可積，δ＜t＜δ+ a，并且滿足

2 主要結(jié)果

為了獲得所需結(jié)果，假設(shè):

(H1)函數(shù)g(t，x):R×H→H關(guān)于t∈R對(duì)x∈Ω(Ω H是緊的)是一致均值概周期的．存在α∈(0，1)以致(－A)αf(t，x):R×H→Hα關(guān)于t∈R對(duì)x∈Ω(Ω H是緊的)是一致均值概周期的．進(jìn)一步，(－A)αf，g是以下列方式 Lipschitz的:存在 Lf和Lg滿足

對(duì)所有x，y∈H和t∈R成立．

(H2)函數(shù) σ(t，x):R×H→L02關(guān)于 t∈R對(duì)x∈Ω(Ω H是緊的)是一致均值概周期的．進(jìn)一步，σ是以下列方式Lipschitz的:存在Lσ滿足

對(duì)所有x，y∈H和t∈R成立．

定理2．1 假設(shè)(H1)和(H2)成立，并且

那么(1)式在R上存在唯一均值概周期解．

證明 設(shè)Γ:AP(R;L2(P;H))→C(R;L2(P; H))的定義為

顯然，Γx(·)是連續(xù)的．

定義

由引理1．3、引理1．5和(H1)可知，當(dāng)x為均值概周期函數(shù)時(shí)，(－A)αf(t，x(t－r))為均值概周期函數(shù)時(shí)．由引理1．2，可知(－A)αf(t，x(t－r))有界．由引理1．1和Cauchy－Schwarz不等式可得

由s→AT(t－s)f(s，x(s－r))是可積的在(－∞，t)對(duì)任何t∈R，故Γ定義是合適的．

由引理1．3、引理1．5和(H1)可知，當(dāng)x為均值概周期函數(shù)時(shí)，(－A)αf(t，x(t－r))為均值概周期函數(shù)時(shí)．因此，對(duì)每一個(gè)ε＞0存在l(ε)＞0以致對(duì)任意區(qū)間長(zhǎng)度l(ε)最少存在一個(gè)數(shù)τ滿足

對(duì)任何t∈R成立．

同時(shí)有

由上可知

對(duì)每個(gè)t∈R成立，即I1x(t)均值概周期函數(shù)．

下一步，證明當(dāng)x是均值概周期函數(shù)I3x(t)和I4x(t)是均值概周期函數(shù)．該證明和文獻(xiàn)［21］中的定理3．2相似，故省略．

下一步證明I2x(t)是均值概周期函數(shù)．由引理1．3、引理1．5和(H1)可得，當(dāng)x是均值概周期函數(shù)，(－A)αf(t，x(t－r))是均值概周期函數(shù)．因此，對(duì)每一個(gè)ε＞0存在l(ε)＞0以致對(duì)任意區(qū)間長(zhǎng)度l(ε)最少存在一個(gè)數(shù)τ滿足

對(duì)任何t∈R成立．

由引理1．1可得

因此，應(yīng)用Cauchy－Schwarz不等式可得

由上可知

對(duì)每個(gè)t∈R成立，即I2x(t)是均值概周期函數(shù)．

由上可知，Γ是AP(R;L2(P;H))對(duì)自身的映射．下面證明Γ是壓縮映射．

顯然

由于

可得

首先，估計(jì)上式右邊第一項(xiàng)

現(xiàn)在估計(jì)第二項(xiàng)，由引理1．1、(H1)和Cauchy－Schwarz不等式可得

現(xiàn)在估計(jì)第三項(xiàng)得

現(xiàn)在估計(jì)最后一項(xiàng)，應(yīng)用建立在文獻(xiàn)［27］中命題1．9的It 積分估計(jì)得

因此

這說(shuō)明Γ(·)是壓縮的．故Γ(·)存在不動(dòng)點(diǎn)x∈AP(R;L2(P;H))，即

對(duì)所有t∈R成立．固定δ∈R可得

那么

然而，對(duì)t≥δ，

因此，x(t)是(1)式的溫和解．證明完畢．

致謝 中國(guó)民航飛行學(xué)院面上項(xiàng)目(J2013－39)對(duì)本文給予了資助，謹(jǐn)致謝意．

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Existence and Uniqueness of Almost Periodic Solutions to Some Neutral Stochastic Differential Equations

PU Xiaoqin

(School of Computer Science，Civil Aviation Flight University of China，Ganghan 618307，Sichuan)

P．Bezandry and T．Diagana introduced a new concept of square-mean almost periodicity．They established the existence and uniqueness of square-mean almost periodic mild solutions to some stochastic differential equations and some functional integrodifferential stochastic evolution equations．Sufficient conditions for the existence and uniqueness of a square-mean almost periodic mild solution of a class of abstract neutral stochastic differential equations in a real separable Hilbert space are derived with the help of the Banach fixed point theorem and the fractional power of operators．

neutral stochastic differential equations;square-mean almost periodic;fractional power of operators;fixed point

O175．13

A

1001－8395(2016)05－0659－06

10．3969/j．issn．1001－8395．2016．05．008

(編輯 李德華)

2014－09－01

國(guó)家自然科學(xué)基金(11326118)

蒲曉琴(1986—)，女，助教，主要從事微分方程定性的研究，E－mail:power1356@163．com

2010 MSC:35B15