尹華玉， 陳幼華

整環(huán)上的w－凝聚性

尹華玉， 陳幼華

(四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院，四川成都610066)

利用w－算子理論，結(jié)合無(wú)撓模對(duì)整環(huán)上的相關(guān)w－凝聚性進(jìn)行細(xì)致的討論，證明整環(huán)R是WFC整環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R的任意2個(gè)主理想的交是有限型的，當(dāng)且僅當(dāng)R的每個(gè)2－生成理想是有限表現(xiàn)型的，當(dāng)且僅當(dāng)每個(gè)2－生成無(wú)撓R－模是有限表現(xiàn)型的．此外，引入擬凝聚整環(huán)的w－拓展，并給出其相應(yīng)的等價(jià)刻劃．

w－算子;凝聚整環(huán);WFC整環(huán);w－擬凝聚整環(huán)

1 預(yù)備知識(shí)

眾所周知，經(jīng)典的Noether環(huán)理論是交換代數(shù)的重要內(nèi)容，而凝聚環(huán)是其中一個(gè)很好的推廣．隨著20世紀(jì)80年代星型算子工具的引進(jìn)，整環(huán)上的凝聚性也引起了許多環(huán)論學(xué)者的關(guān)注，例如擬凝聚整環(huán)、FC整環(huán)、w－凝聚整環(huán)、WFC整環(huán)等．本文恒設(shè)R是具有單位元的交換整環(huán)但不是域，K是R的商域，所涉及的模類(lèi)均為R－模．設(shè)A是K的R－子模，若存在非零元素a∈R，使得aA R，這等價(jià)于說(shuō)存在非零元素c∈K，及R的非零理想I，使得A= cI，則稱A為R的分式理想．用F(R)表示R的所有非零分式理想的集合，所謂整環(huán)R上的星型算子，指的是從F(R)到自身上的一個(gè)映射*:A→A*，對(duì) A，B∈F(R)，a∈K－0，滿足以下條件:

1)(a)*=(a)，(aA)*=aA*;

2)若A B，則A*B*;

3)A A*，且(A*)*=A*．

設(shè)A是K的R－子模，令A(yù)－1={x∈K|xA R}，定義

At=∪{Bv|B取遍A的一切有限生成子分式理想}，以上d－、v－與t－算子即是較常見(jiàn)的三類(lèi)星型算子，但它們只能刻劃K中的R－子模，其研究具有較大的局限性．F．G．Wang等［1］引入了一個(gè)新的星型算子，即w－算子，它可以對(duì)整環(huán)上的無(wú)撓模類(lèi)進(jìn)行研究與刻劃．設(shè)M是無(wú)撓R－模，定義

使得Jx M}，其中，GV(R)={J|J是R的有限生成理想，且J－1=R}，稱之為M的w－包絡(luò)．若Mw=M，則稱M為w－模．若M是R的理想，且Mw=M，則稱M為R的w－理想．易知w:F(R)→F(R)也是一個(gè)星型算子，稱之為w－算子．關(guān)于星型算子的知識(shí)與w－模理論及文中的相關(guān)概念與符號(hào)可參見(jiàn)文獻(xiàn)［1－9］．

基于w－算子在模類(lèi)上的拓展，本文將利用w－算子理論，結(jié)合無(wú)撓模對(duì)整環(huán)上的相關(guān)w－凝聚性進(jìn)行細(xì)致的討論．

2 凝聚整環(huán)、FC整環(huán)與擬凝聚整環(huán)

設(shè)R是整環(huán)，若R的每個(gè)有限生成理想是有限表現(xiàn)的，則稱R為凝聚整環(huán)．若對(duì)任意x∈K－0，(R:x)={r∈R|rx∈R}都是R的有限生成理想，則稱R為FC整環(huán)．若對(duì)R的每個(gè)非零有限生成理想I，I－1是有限生成分式理想，則稱 R為擬凝聚整環(huán)［2］．為了直觀地區(qū)分此3類(lèi)整環(huán)的凝聚性，給出它們的一些等價(jià)刻劃．

定理2．1 對(duì)整環(huán)R，以下各條件等價(jià):

1)R是凝聚整環(huán);

2)R的任意2個(gè)有限生成理想的交是有限生成的;

3)R的任意n(n∈Z+)個(gè)有限生成理想的交是有限生成的;

4)每個(gè)有限生成無(wú)撓模是有限表現(xiàn)的．

證明 1) 2) 4)參見(jiàn)文獻(xiàn)［2］，而2) 3)是平凡的．

定理2．2［2］對(duì)整環(huán)R，以下各條件等價(jià):

1)R是FC整環(huán);

2)R的任意2個(gè)主理想的交是有限生成的;

3)R的每個(gè)2－生成理想是有限表現(xiàn)的;

4)每個(gè)2－生成無(wú)撓模是有限表現(xiàn)的．定理2．3 整環(huán)R是擬凝聚的當(dāng)且僅當(dāng)R的任意n(n∈Z+)個(gè)主理想的交是有限生成的．

證明 設(shè)R是擬凝聚的，a1，a2，…，an∈R－0，則

是有限生成的．

反之，設(shè)R的任意n個(gè)主理想的交是有限生成的，且I=Ra1+Ra2+…+Ran是R的非零有限生成理想，則

是有限生成的，故R是擬凝聚的．

3 FC整環(huán)與擬凝聚整環(huán)的w－拓展

對(duì)任意星型算子*，M．Fontana等［10］引入了* －凝聚整環(huán)的概念，但一般的* －凝聚整環(huán)無(wú)法對(duì)無(wú)撓模進(jìn)行刻劃，而王芳貴［5］引入的w－凝聚整環(huán)則克服了此問(wèn)題，且在文獻(xiàn)［5，11］中得到了w－凝聚整環(huán)與凝聚整環(huán)相對(duì)應(yīng)的結(jié)果．在文獻(xiàn)［11］中，F(xiàn)C整環(huán)也得到了w－拓展．所謂的WFC整環(huán)，是指對(duì)任意x∈K－0，(R:x)={r∈R|rx∈R}都是R的有限型理想．盡管文獻(xiàn)［11］對(duì)WFC整環(huán)進(jìn)行了研究，但尚未討論其對(duì)應(yīng)于FC整環(huán)的凝聚性(見(jiàn)本文定理2．2)．此外，擬凝聚整環(huán)還未得到w－拓展，本節(jié)將對(duì)它們進(jìn)行細(xì)致的刻劃．

引理3．1 設(shè)R是整環(huán)，A、B是無(wú)撓R－模，f:A→B是滿同態(tài)．若A是有限型的，則B也是有限型的．

證明 設(shè)A是有限型的，則存在A的有限生成子模A'，使得Aw=A'w．記B'=f(A')，則B' f(A) =B是B的有限生成子模．下證BwB'w，從而B(niǎo)w= B'w，即B是有限型的．

設(shè)x∈Bw，則存在J∈GV(R)，使得Jx B．由于f是滿同態(tài)且Jx是有限生成的，故存在A的有限生成子模A″，使得f(A″)=Jx．又A″ A Aw=A'w，故存在J'∈GV(R)，使得J'A″ A'．于是J'Jx= J'f(A″)=f(J'A″) f(A')=B'，從而x∈B'w，因此，BwB'w．

定理3．2 設(shè)R是整環(huán)，A、B是無(wú)撓R－模，f: A→B是同構(gòu)，則有:

1)A是有限型的當(dāng)且僅當(dāng)B是有限型的;

2)A是w－模當(dāng)且僅當(dāng)B是w－模．

證明 1)由引理3．1可得．

2)先設(shè)A是w－模．設(shè) y∈Bw，則存在J∈GV(R)，使得Jy B，且有，其中S=R－0．記y=，其中b∈B，s∈S．對(duì)任意d∈J，由dy∈B可得dy=，其中b'∈B．由于f是滿同態(tài)，故存在a，a'∈A，使得

于是BwB，故有Bw=B，即B是w－模．

反之，設(shè)B是w－模．由于 f－1:B→A也是同構(gòu)，故同理可證A是w－模．

定理3．3 對(duì)整環(huán)R，以下各條件等價(jià):

1)R是WFC整環(huán);

2)R的任意2個(gè)主理想的交是有限型的;

3)R的每個(gè)2－生成理想是有限表現(xiàn)型的;

4)每個(gè)2－生成無(wú)撓模是有限表現(xiàn)型的．

由文獻(xiàn)［2］的定理2．4．6，存在h:N→(x)∩(y)，使得左邊方圖成為交換圖，顯然g是同構(gòu)，從而由文獻(xiàn)［2］的定理2．4．1，h也是同構(gòu)．由于(x)∩(y)是有限型的，故由定理3．2，N也是有限型的．因此，由文獻(xiàn)［5］的定理2．1，M是有限表現(xiàn)型的．

4) 3)顯然．

推論3．4 設(shè)R是整環(huán)，則R是WFC整環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意a，b∈R－0，(a，b)－1是有限型的．

證明 由(a，b)－1=(a)∩(b)及定理3．3即得．

下面引入擬凝聚整環(huán)的w－拓展，并給出其相應(yīng)的等價(jià)刻劃．

定義3．5 設(shè)R是整環(huán)，若對(duì)R的每個(gè)非零有限生成理想I，I－1是有限型分式理想，則稱R是w－擬凝聚整環(huán)．

定理3．6 對(duì)整環(huán)R，以下各條件等價(jià):

1)R是w－擬凝聚整環(huán);

2)R的任意n(n∈Z+)個(gè)主理想的交是有限型的;

3)設(shè)0→A→F→B→0是正合列，其中rank(A) =1，F(xiàn)是有限生成自由模，且B是無(wú)撓模，則A是有限型的．

證明 1) 2)根據(jù)定義3．5，類(lèi)似于定理2．3可證．

1) 3)取對(duì)偶模，可得正合列0→B*→F*→C→0，其中C是對(duì)應(yīng)的上核，從而有圖2所示行為正合列的交換圖．

于是由文獻(xiàn)［2］的定理2．4．1，C→A*是單同態(tài)．由文獻(xiàn)［2］的定理2．9．2與例3．4．7有

因此，C是秩為1的有限生成無(wú)撓模，故可將C嵌入R，即可將C看作R的非零有限生成理想．再取一次對(duì)偶模，可得圖3所示行為正合列的交換圖．

由文獻(xiàn)［2］的定理3．4．10，B→B＊＊是單同態(tài)，再由文獻(xiàn)［2］的定理2．4．1，A→C*C－1是同構(gòu)，于是由定理3．2，A是有限型的．

3) 1)設(shè)I是R的非零有限生成理想，則有正合列0→A→F→I→0，其中F是有限生成自由模，于是又有正合列0→I－1→F*→B→0，其中B A*是無(wú)撓模，故I－1是有限型的，因此，R是w－擬凝聚整環(huán)．

參考文獻(xiàn)

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The w-coherence over Domains

YIN Huayu， CHEN Youhua

(College of Mathematics and Software Science，Sichuan Normal University，Chengdu 610066，Sichuan)

In this paper，we discuss carefully the relevant w-coherence over domains by utilizing w-operation theory and with the supplement of torsion-free modules．It is proved that an integral domain R is a WFC domain if and only if the intersection of two principal ideals of R is of finite type，if and only if every two generated ideal of R is of finitely presented type，if and only if every two generated torsion-free R-module is of finitely presented type．Moreover，we introduce the w-expansion of quasicoherent domains and show the equivalent descriptions about it．

w-operation;coherent domain;WFC domain;w-quasicoherent domain

O153．3

A

1001－8395(2016)05－0639－04

10．3969/j．issn．1001－8395．2016．05．004

(編輯 鄭月蓉)

2015－05－20

國(guó)家自然科學(xué)基金(11171240)、教育部博士點(diǎn)基金(20125134110002)和四川省教育廳科研基金(14ZB0035和15ZB0030)

尹華玉(1982—)，女，講師，主要從事交換環(huán)與星型算子理論的研究，E－mail:hyyin2010@163．com

2010 MSC:13A15;13G05