李亞男， 馮廣慶， 王玉光

一類考慮存活率的時滯SIR傳染病模型的Hopf分支研究

李亞男1， 馮廣慶1， 王玉光2*

(1．河南理工大學(xué)萬方科技學(xué)院，河南焦作454000; 2．寧夏大學(xué)數(shù)學(xué)計算機學(xué)院，寧夏銀川750021)

研究了一類考慮存活率的時滯SIR傳染病模型，首先得到了模型的無病平衡點和病態(tài)平衡點的存在條件及局部穩(wěn)定條件;其次，對于病態(tài)平衡點，討論了當(dāng)時滯τ由小增大并經(jīng)過τ0時，病態(tài)平衡點將由穩(wěn)定變?yōu)椴环€(wěn)定，進(jìn)而破裂產(chǎn)生Hopf分支;最后，利用Simulink仿真驗證了結(jié)論．

基本再生數(shù);穩(wěn)定性;Hopf分支;Lyapunov函數(shù)

種群模型和傳染病動力學(xué)模型背景雖然不同，但在模型表述、研究方法和研究內(nèi)容上具有較多的相似之處，而無論哪種類型的問題都已經(jīng)被進(jìn)行了廣泛的研究［1－4］．經(jīng)典的 SIR模型最早由 K．L．Cooke提出［5］，其中S、I、R分別代表易感者、染病者和移出者．隨后，在此基礎(chǔ)上各種變形和衍生的模型諸如SIS、SIRS、SEIR、SEIRS等被許多學(xué)者進(jìn)行了大量的研究［6－14］．

而許多疾病都有一定的潛伏期，例如患登革熱病后3～14 d才有癥狀，禽流感的潛伏期一般在7 d以內(nèi)，流行性腮腺炎為14～21 d，狂犬病潛伏期短則10～15 d，長則一年甚至更長，而肺癌的潛伏期則長達(dá)10～20 a．對于這些疾病，當(dāng)前時刻的傳染強弱往往和某個時間段τ之前有關(guān)，這里的τ是對潛伏期的簡單化處理．但實際情況是并非所有的被感染者在經(jīng)過τ之后仍然存活，即有一部分被感染者可能會在潛伏期間由于疾病或疾病以外原因引起死亡，這類種群比例不能包含進(jìn)易感者向染病者的傳播比例中，因此引入存活系數(shù)e－μτ∈(0，1］就顯得很有必要．

本文研究了一類考慮存活率的時滯SIR類型的傳染病模型，首先計算得到系統(tǒng)的2個平衡點，利用Jacobian矩陣得到2個平衡點局部穩(wěn)定的條件，并同時得到疾病傳播的基本再生數(shù)表達(dá)式;其次得到了系統(tǒng)的病態(tài)平衡點由穩(wěn)定變?yōu)椴环€(wěn)定的條件，進(jìn)一步得到系統(tǒng)產(chǎn)生Hopf分支的具體條件;最后，利用Simulink仿真驗證了所得結(jié)論．

1 系統(tǒng)描述

考慮如下傳染病模型

這里所有參數(shù)均為正數(shù)，其中，τ、β、Λ分別代表潛伏期、平均單位接觸率、治愈率，η代表外界進(jìn)入系統(tǒng)的比例并且假設(shè)剛進(jìn)入時均為易感者，μi(i=1，2，3)分別代表S(t)、I(t)、R(t)的自然死亡率，e－μτ為被感染者經(jīng)過潛伏期后的存活率．E．Beretta等［11］研究了不考慮存活率的情況，R．Xu等［6］在Berreta的基礎(chǔ)上加入了出生率并對持久性作了研究，J．M．Tchuenche等［15］研究了系統(tǒng)(1)的平衡點的局部和全局穩(wěn)定性以及一致存在性，并研究了系統(tǒng)失去免疫時系統(tǒng)的變化．本文利用Jacobian矩陣更細(xì)致地研究了平衡點的局部性質(zhì)，并討論了系統(tǒng)病態(tài)平衡點由穩(wěn)定變?yōu)椴环€(wěn)定時產(chǎn)生Hopf分支的情況．

容易知道系統(tǒng)(1)有無病平衡點和病態(tài)平衡點分別記為E0、E1，具體形式為對于系統(tǒng)(1)，J．M．Tchuenche等［15］利用比較判別法和分析方法定性的討論了其局部穩(wěn)定性，并通過構(gòu)造Lyapunov函數(shù)討論了其全局穩(wěn)定性．本文利用特征方法討論了平衡點的局部穩(wěn)定性，并著重討論了其計算其Jacobian矩陣為

其對應(yīng)的特征方程表達(dá)式為

2 無病平衡點E0的局部性質(zhì)

首先討論平衡點E0的局部性質(zhì)，將E0的具體形式代入(2)式中，得到3個特征根分別為λ1=－μ3，λ2= －μ1和λ3，其中λ3由方程

確定，即是直線 g1(λ)=λ和曲線 g2(λ)=βe－μτ的交點．對于 g (λ)，易知 g (+22∞)=－μ2－Λ＜0，因此由分析性質(zhì)可知，特征值λ3一定存在，且其正負(fù)號由g2(0)的正負(fù)號決定．

J．M．Tchuenche等［15］利用反證法證明了 λ3的實部不可能非負(fù)，由此得到了當(dāng)R0＜1時，無病平衡點E0是局部穩(wěn)定的結(jié)論．本文說明了當(dāng)無病平衡點E0存在時，λ3更具體的取值為實數(shù)而非復(fù)數(shù)，并給出了λ3符號與R0－1符號的具體關(guān)系．

定理1 對于系統(tǒng)(1)的無病平衡點E0，其局部穩(wěn)定性由g2(0)的符號決定，具體為:

1)當(dāng)g2(0)＞0時，E0是不穩(wěn)定的;

2)當(dāng)g2(0)＜0時，E0是穩(wěn)定的;

3)當(dāng)g2(0)=0時，E0的穩(wěn)定性不能確定．

證明 由于g1(λ)為單調(diào)增函數(shù)，g2(λ)為單調(diào)減函數(shù)，且g1(－∞)=－∞，g1(+∞)=+∞，g2(－∞)=+∞，g2(+∞)=－μ2－Λ＜0，因此由方程根的存在定理知g1(λ)和g2(λ)一定有唯一的交點，且其交點的正負(fù)性由g2(0)的符號唯一確定．當(dāng)g2(0)＞0時，有唯一正交點，所以平衡點E0對應(yīng)的3個特征根符號分別為λ1＜0，λ2＜0，λ3＞0，即E0為不穩(wěn)定的鞍點;當(dāng)g2(0)＜0時，有唯一負(fù)交點，所以平衡點E0對應(yīng)的3個特征根符號分別為λ1＜0，λ2＜0，λ3＜0，即E0為穩(wěn)定的平衡點;當(dāng)g2(0)=0時，λ3=0，此時尚需要對系統(tǒng)做進(jìn)一步分析方可做出判斷．證畢．

需要注意到，g2(0)=0對應(yīng)形式為=1，記

則定理結(jié)論變?yōu)镽0＞1時，E0是不穩(wěn)定的;R0＜1時，E0是穩(wěn)定的;R0=1時，E0穩(wěn)定性不能確定，而這里的R0正是文章中的基本再生數(shù)的表達(dá)式．即當(dāng)R0＞1時，疾病得以傳播，因此無病平衡點將不會存在(不穩(wěn)定);當(dāng)R0＜1時，病癥不會擴散并趨于消失，因此只剩余易感者(無病平衡點是穩(wěn)定的)．

3 病態(tài)平衡點 E1的局部性質(zhì)和系統(tǒng)的Hopf分支

對于病態(tài)平衡點E1，由方程(2)知系統(tǒng)(1)始終有一負(fù)特征根λ1=－μ3，因此平衡點E1的穩(wěn)定性由剩余2個特征根的符號進(jìn)行判斷．令(2)式等于0，將(2)式中方括號內(nèi)表達(dá)式重新寫為

這里，L1=βe－μτ，L2=μ1+μ2+Λ，L3=μ1μ2+μ1Λ，為病態(tài)平衡點E1的第一、二分量形式．

取τ=0代入(3)式，并注意到此時L1=β，珔S=，則(3)式變?yōu)橐辉畏匠?/p>

經(jīng)過計算得

1121＞μ1μ2．故當(dāng)E1存在時，b＞0，同時a＞0恒成立，所以(4)式有2個負(fù)的特征根．

定理2 當(dāng)R0＞1時，E1存在，并且當(dāng)τ=0時E1為穩(wěn)定的平衡點．

證明 因為e－μτ＜1，所以當(dāng)R0＞1時，有βη＞μμ+μΛ，即＞0，故E存在．由上述分1211析得a，b＞0，所以在τ=0時E1是穩(wěn)定的．證畢．

接下來討論系統(tǒng)(1)發(fā)生Hopf分支的情形，令λ=iω代入方程(3)中，并利用歐拉公式 e－iωτ= cos ωτ－i sin ωτ并分離實虛部得

方程組(5)兩式取平方求和得

這里，Q1=L1μ2+L1Λ+L3，Q2=L1+L2，L1=βe－μτ，L2=μ1+μ2+Λ，L3=μ1μ2+μ1Λ．關(guān)于方程(6)的根的存在性和系統(tǒng)(1)的Hopf分支有以下結(jié)論．

引理1 當(dāng)(2L1+3μ1)(μ2+Λ)＜βη時，方程(6)至少有一正根ω0．

證明 當(dāng)(2L1+3μ1)(μ2+Λ)＜βη時，所以病態(tài)平衡點E1存在．方程(6)的二次冪系數(shù)為，將Q1、Q2、L2的具體表達(dá)式代入得到其符號為正．具體過程如下:

將常數(shù)項改寫為

經(jīng)過代換

所以當(dāng)h2＜0時，h1*h2＜0，所以方程(6)恰好有一個正根．證畢．定理3 若且(2L1+ 3μ1)(μ2+Λ)＜L1η成立，則系統(tǒng)(1)在E1處當(dāng)τ =τ0時發(fā)生Hopf分支．

證明 由引理1知，當(dāng)(2L1+3μ1)(μ2+Λ)＜L1η時，E1存在且方程(6)至少有一正根記為 ω0，將方程(5)變形為對此方程進(jìn)行求解，得到對應(yīng)λ=iω0的參數(shù)τ0n的具體表達(dá)式為

由引理1和定理2知，當(dāng)τ=0時系統(tǒng)(1)的病態(tài)平衡點E1為局部穩(wěn)定的．由Butler引理［16］知，當(dāng)τ＜τ0時，E1仍然是穩(wěn)定的，這里τ0是τ0n中當(dāng)n=0時的表達(dá)式．

接下來說明當(dāng)定理的條件滿足時有

則由Hopf分支產(chǎn)生的條件［17］可知，(1)式在平衡

點E1處當(dāng)ω=ω0，τ=τ0時會產(chǎn)生相應(yīng)的周期解．

方程(5)關(guān)于τ求導(dǎo)，得到

即

而

而

式成立，因此橫截條件成立，所以系統(tǒng)(1)在ω= ω0，τ=τ0時發(fā)生Hopf分支．證畢．

4 系統(tǒng)仿真

由于系統(tǒng)中某些項含有常時滯項，因此對于得到關(guān)于系統(tǒng)(1)的結(jié)論可以使用Matlab或XPPaut進(jìn)行驗證，在這里采用的工具是Matlab所含仿真軟件Simulink．因為除了常時滯項，Simulink對于變時滯微分方程組也有很好的處理結(jié)果．

為了說明E0的局部穩(wěn)定性，選取參數(shù)為β= 0．005，η=0．2，Λ=0．061，μ=0．003 7，μ1=0．35，μ2=0．043，μ3=0．04，τ=12，使得R0=0．026 3＜1，此時E為局部穩(wěn)定的，且=0．571 4，

0I(t)，R(t)→0，具體情況見圖1．為了說明E1的局部穩(wěn)定性，選取參數(shù)為 Λ=0．023，η=0．14，β= 0．08，μ=0．01，μ1=0．005 6，μ2=0．09，μ3=0．02，τ =10，使得R0=1．601 5＞1，此時E1為局部穩(wěn)定的，具體情況見圖2．為了說明系統(tǒng)在E1處當(dāng)τ= τ0，ω=ω0處發(fā)生Hopf分支，選取參數(shù)β=0．2，η= 0．34，Λ=0．023，μ=0．001，μ1=0．056，μ2=0．009，μ3=0．02，滿足文中定理3的條件，此時對應(yīng)的τ= 3．737 4，具體情況見圖3．

5 結(jié)論

本文考慮了一類含有時滯和存活率的變種群傳染病模型的局部性質(zhì)和Hopf分支發(fā)生的情況，著重討論了系統(tǒng)發(fā)生Hopf分支的條件并利用仿真驗證了所得結(jié)論．對于無病平衡點E0和病態(tài)平衡點E1在滿足文中定理的前提下，不僅僅是局部穩(wěn)定的，利用Lyapunov函數(shù)方法更可以證明其是全局穩(wěn)定的，另外系統(tǒng)(1)還具有一致存在性等多數(shù)生態(tài)系統(tǒng)的常有性質(zhì)，具體可以查閱文獻(xiàn)［15］，在其中同時考慮了當(dāng)系統(tǒng)失去免疫時的一些相應(yīng)結(jié)論．需要說明的是本文中的定理3所得條件為充分條件，其在很大程度上應(yīng)該可以弱化，但由于表達(dá)式的復(fù)雜和規(guī)律的隱蔽，沒有找到更簡潔的形式．

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Stability and Hopf Bifurcation for an Epidemic Disease Model with Time Delay

LI Yanan1， FENG Guangqing1， WANG Yuguang2

(1．Wanfang Institute of Science and Technology，Henan Polytechnic University，Jiaozuo 454000，Henan; 2．School of Mathematics and Computer Science，Ningxia University，Yinchuan 750021，Ningxia)

The stability and Hopf bifurcation of a SIR disease model with survival probability and time delay are analysed．The conditions of the existence and local stability of disease-free and endemic equilibrium are investigated．It is proved that there are stability switches，and Hopf bifurcation occurs for endemic equilibrium when the time delay τ passed through a sequence of critical values．The conclusions are verified by Simulink．

the basic reproductive number;stability;Hopf bifurcation;Lyapunov functional

TP273

A

1001－8395(2016)05－0649－06

10．3969/j．issn．1001－8395．2016．05．006

(編輯 周 俊)

2015－05－26

國家自然科學(xué)基金(11305048)和河南省重點科研項目(17B110004)

*通信作者簡介:王玉光(1983—)，男，講師，主要從事生物數(shù)學(xué)的研究，E－mail:270238001@qq．com

2010 MSC:34H05;37H10