朱夢華，黃 華，詹杰民，張 敖，郭 霖，陳瑞志

(中山大學(xué)應(yīng)用力學(xué)與工程系，廣東 廣州 510275)

斜入射橢圓余弦波對直立防波堤的波浪滲流作用*

朱夢華，黃 華，詹杰民，張 敖，郭 霖，陳瑞志

(中山大學(xué)應(yīng)用力學(xué)與工程系，廣東 廣州 510275)

基于橢圓余弦波的淺水波理論，結(jié)合對Biot波浪滲流固結(jié)理論的推廣應(yīng)用，給出了固立于可滲透海床上的直立防波堤在淺水波斜入射條件下的反射波問題的數(shù)學(xué)解，并據(jù)此通過特征函數(shù)展開法推導(dǎo)了淺水波引起的海床內(nèi)滲流壓力的解析解式，同時計算了作用于防波堤底部的淺水波波浪滲流浮托力和傾覆力矩且與水平波浪力和力矩進行了比較。計算結(jié)果表明，在一定條件下，橢圓余弦波的波浪滲流載荷與波浪的直接載荷可能具有相同量級。淺水波入射角、海水和滲流條件以及防波堤幾何條件等因素的相對變化對波浪滲流載荷均存在一定的影響，其中對滲流傾覆力矩的影響更為明顯。橢圓余弦波理論所給波浪滲流載荷的估值明顯高于淺水條件下Airy波理論的對應(yīng)估值，反映了水波非線性因素的影響效應(yīng)。

橢圓余弦波；直立防波堤；斜入射與反射；可滲透海床；波浪滲流載荷

直立型防波堤是近岸工程應(yīng)用最為廣泛的一種防波堤形式，它的穩(wěn)定性不僅取決于自身的重量和波浪沖擊力，還與其底部可能承受的波浪滲流作用密切相關(guān)[1]。當(dāng)防波堤固立于可滲透海底上時，往復(fù)的波浪水壓力通過海底使得海床內(nèi)土體超靜空隙水壓力變化，形成海床內(nèi)滲流壓力。所以，對于固立于可滲透海床上的防波堤，除考慮波浪作用外，一般還需要考慮波浪所致滲流壓力對其底部的作用[2]。朱夢華等[3]、鄒志利等[4]采用Airy波模型和Biot波浪滲流固結(jié)理論對直立式防波堤底基下海床中波浪滲流壓力進行了解析求解。倪寅等[5]對多孔海床在波浪作用下滲流特性進行了數(shù)值模擬。曾昭鑾等[6]應(yīng)用Airy波模型對均勻海中的大直徑透空圓柱上的波浪滲流力進行了解析研究。黃華等[7]對二層海中固立圓柱的波浪滲流作用問題進行了解析研究。陳瑞志等[8]對作用于透空復(fù)合圓柱的波浪滲流力進行了解析計算。黃華等[9]對二層海中的大直徑透空圓環(huán)墩柱所受的波浪繞射力和波浪滲流力進行了計算。

上述關(guān)于波浪滲流作用的研究大多采用線性波模型，然而防波堤屬近岸工程結(jié)構(gòu)，所處水域主要為淺水區(qū)。當(dāng)波浪從深水傳入淺水后,波面形狀將發(fā)生變化:波峰變陡,波谷變平,呈現(xiàn)出非線性波的特征。李奇等[10]應(yīng)用非線性波理論解析計算了波浪對固立墩柱底部的波浪滲流作用。試驗和理論研究表明,當(dāng)波長與水深之比以及波高與水深比超過一定值時,波浪更適合采用橢圓余弦波等淺水波模型來予以描述。Isaacson[11]應(yīng)用橢圓余弦波一階理論對單一直柱的淺水波繞射作用進行了計算。朱夢華等[12]采用相同方法對直立防波堤的波浪力問題進行了研究。邱大洪等[13]應(yīng)用橢圓余弦波理論研究了淺水立波對直墻的作用。徐云峰等[14]研究了橢圓余弦波作用下海床的響應(yīng)問題。李奇等[15]采用橢圓余弦波模型對透空圓環(huán)柱的繞射問題以及波浪滲流問題展開了解析計算。Su Ming-de等[16]采用相同方法對對直立雙柱的波浪繞射問題做了相關(guān)研究。

本文將橢圓余弦波一階分量模型推廣應(yīng)用于Biot的波浪滲流固結(jié)理論中，應(yīng)用特征函數(shù)展開法，推導(dǎo)了斜入射橢圓余弦波對固立于淺水區(qū)可滲透海床上的直立防波堤的波浪反射勢解，并據(jù)此推導(dǎo)了由淺水波引起的海底下海床內(nèi)滲流壓力分布的解析解。所得結(jié)果是對已有的直立防波堤Airy波滲流理論的推廣和拓展。通過對防波堤底部承受的波浪滲流浮托力和傾覆力矩的實際計算，并與Airy微幅波理論進行比較，揭示了淺水波條件下直立防波堤對斜入射波浪的反射作用規(guī)律以及由其引起的對防波堤底部的滲流作用規(guī)律。計算結(jié)果有效反映了淺水波非線性因素變化對波浪滲流載荷的可能影響。另外在波浪場和波浪滲流壓力場的解析求解過程中，本文選用斜入射的水波入射條件，相比正入射而言更具普適性，且更接近實際波浪入射條件。

1 橢圓余弦波對防波堤的反射解

對于大尺度水下結(jié)構(gòu)物，由于邊界層厚度較小，海水可視為理想不可壓縮無粘流體，且運動無旋，故波浪作用只需考慮水波繞射影響。再考慮水下結(jié)構(gòu)固立于可滲透彈性海床上，依據(jù)Biot固結(jié)理論的相關(guān)假設(shè)[1]，可設(shè)定立于海床上結(jié)構(gòu)與海床間無相對滑動，海床內(nèi)土體各向同性、可滲透且具有彈性性質(zhì)，而海床底部不可滲透，無變形。由于一般情況下海床內(nèi)滲流速度相遠小于海底波浪場水流速度，故在繞射波浪場的求解中可不考慮海床內(nèi)滲流對其影響，仍保留海底密實的固面條件。

圖1所示為固立于淺水中可滲透海床上的無限長直立型防波堤，設(shè)水深為d，海床厚度為h，防波堤寬度為b，防波堤受到斜入射橢圓余弦波的作用，進而發(fā)生反射，其中入射角為α。可設(shè)淺水波反射波浪場流域為Ω，將波浪滲流壓力場劃分為V1、V2和V3三個區(qū)域。

圖1 固立于淺水區(qū)中可滲透海床上的直立型防波堤Fig.1 Vertical breakwater resting on permeable seabed in shallow water

對于理想的無黏流體，設(shè)液體不可壓縮且運動是無旋的，則對于在重力作用下的流體的波動可以應(yīng)用速度勢Φ來進行分析。設(shè)速度勢總勢、入射勢和反射勢分別為Φ、Φi和Φr，則對應(yīng)波勢的邊值問題的一般提法為：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

式中，η為波面；另反射波勢φr須滿足x=-∞處的輻射條件。

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

再將式(11)和(12)代入式(9)，可得：

(13)

進一步采用攝動展開法，令

(14)

將式(14)代入式(13)，歸并σ0階，可得：

(15)

對于二維正入射平面波，方程(15)的解為右行波解，即有χ0=χ0(x-ct)=χ0(kx-ωt)，其中c、k和ω分別為波速、波數(shù)和波頻。對與χ0相對應(yīng)的橢圓余弦波一階入射有量綱波勢φi0(為方便計，仍寫為φi)進行數(shù)學(xué)求解[6]，可得：

(16)

式中，q=K(κ)(kx-ωt)/π;γ=E(κ)/K(κ);K(κ)和K(κ)分別為第一、二類完全橢圓積分；κ′2=1-κ2；cnq為雅克比橢圓函數(shù)，而模量κ由方程κ2K2(κ)=3π2H/4k2d3確定；另H表示波高，ω表示波頻。

對上式積分，并將涉及cnq的積分項進行傅里葉級數(shù)展開，可得：

(17)

對于二維斜入射平面波，推廣應(yīng)用平面波一般理論，可得相應(yīng)解式為：

(18)

式中，r為位置矢量，即r=(x,y)；k為波數(shù)矢量，且k=(kx,ky)=(kcosα,ksinα)。

(19)

(20)

應(yīng)用特征函數(shù)解法，結(jié)合考慮防波堤側(cè)表面條件式(6)，可得斜入射條件下橢圓余弦波一階分量反射勢和相應(yīng)總勢為：

(21)

(22)

(23)

(24)

2 橢圓余弦波引起的滲流作用解

本文將橢圓余弦波的淺水波模型推廣應(yīng)用于直立防波堤的波浪滲流作用問題研究。設(shè)海底下存在厚度為h的海床，海床底面不可滲透，斜入射淺水波遇到直立防波堤發(fā)生反射，海底處波浪壓強為Pw=Re(pw)，其中

(25)

如圖1所示將滲流壓力場劃分為vj(j=1,2,3)三個區(qū)域。由Biot固結(jié)理論，海床內(nèi)滲流壓力場滿足孔隙水壓控制方程[1]。對應(yīng)橢圓余弦波作用下直立型防波堤波浪滲流壓力邊值問題的提法為：

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

式中，vj(j=1,2,3)表示劃分的三個不同滲流壓力分布區(qū)域，且在界面上滿足:

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

式中，

(37)

利用各滲流壓力區(qū)交界面匹配條件式(31)和式(32)，并根據(jù)函數(shù)系

(39)

(40)

(41)

式中，

(42)

由式(34)或(35)對防波堤底部積分，可得到橢圓余弦波作用下直立防波堤底部單位長度波浪滲流浮托力Fv=Re(fv)與傾覆力矩Mv=Re(mv)，其中：

(43)

(44)

(45)

(46)

3 算例與分析

為方便計，圖中以符號F統(tǒng)一代表防波堤單位長度水平波浪力或滲流浮托力幅值，以符號M統(tǒng)一代表防波堤單位長度水平波浪力矩或滲流傾覆力矩幅值。實算中，對所算的防波堤側(cè)面單位長度上最大水平波浪力和力矩分別按因子ρg(H/2)d和ρg(H/2)d2進行無量綱化。對所算防波堤底部單位長度上所受最大浮托力和傾覆力矩分別按因子ρg(H/2)b和ρg(H/2)b2進行無量綱化。此外，在計算中引入?yún)?shù)λ，即λ=(4κ2/3π2)K(κ)=H/k2d3，它表示水波非線性影響因子，可以有效反映波浪特征與水深的相對變化所產(chǎn)生的水波非線性特征效應(yīng)變化對波浪作用的可能影響。

圖2為直立防波堤單位長度最大無量綱淺水波水平波浪力和力矩(不隨入射角變化)隨水波非線性影響參數(shù)λ的變化趨勢結(jié)果。圖中f1=F/ρg(H/2)d，m1=M/ρg(H/2)d2，分別表示單位長無量綱水平波浪力和力矩幅值。如圖可見，波浪力和力矩幅值隨著參數(shù)λ的增大而增大，說明淺水波非線性因素的增強將隨之增大波浪對防波堤的直接作用。

圖2 最大無量綱水平波浪力和水平波浪力矩Fig.2 The maximum dimensionless horizontal wave force and moment

圖3為Airy微幅波理論對防波堤單位長度最大無量綱波浪力和力矩的計算結(jié)果。按Airy微幅波理論算式[11]，結(jié)果與入射角度大小無關(guān)。當(dāng)kd取值較小時，即為微幅波理論在淺水條件下的計算值。將圖3對應(yīng)kd較小值的波浪力和力矩幅值與圖2橢圓余弦波一階分量理論計算結(jié)果相比較，可見橢圓余弦波理論所算結(jié)果明顯大于微幅波理論的對應(yīng)算值，由此說明在一定的淺水條件下，橢圓余弦波理論對波浪直接作用的預(yù)測更趨于合理可靠。

圖3 Airy波理論計算的最大無量綱水平波浪力與力矩Fig.3 The maximum dimensionless horizontal wave force and moment given by Airy wave theory

圖4和圖5為海床綜合特性系數(shù)不同取值下防波堤底部單位長最大無量綱浮托力及傾覆力矩隨參數(shù)kb的變化結(jié)果，其中Cs=0對應(yīng)海床不變形及孔隙水不可壓縮情形。由圖中可以看出，最大無量綱浮托力及傾覆力矩隨kb呈單調(diào)遞減趨勢。在相同條件下隨參數(shù)Cs的減小，浮托力幅值與傾覆力矩幅值均隨之增大，當(dāng)Cs=0時，浮托力和傾覆力矩幅值達至最大。據(jù)此，在隨后針對其它不同參數(shù)對滲流載荷影響的計算中，均考慮Cs為零的情形。

圖4 最大無量綱浮托力Fig.4 The maximum dimensionless uplift force

圖5 最大無量綱傾覆力矩Fig.5 The maximum dimensionless overturning moment

圖6和圖7為不同入射波角度下防波堤底部單位長度最大無量綱浮托力和傾覆力矩隨參數(shù)kb的變化結(jié)果。如圖所示，斜入射淺水波的入射角度變化對防波堤底部的波浪滲流作用具有明顯的影響。其中正入射(入射角為零)對應(yīng)最大滲流載荷幅值，隨著入射角的增大，浮托力和傾覆力矩幅值均隨之減小，而減小的幅度隨入射角增大隨之降低。

圖6 最大無量綱浮托力Fig.6 The maximum dimensionless uplift force

圖7 最大無量綱傾覆力矩Fig.7 The maximum dimensionless overturning moment

圖8和圖9為防波堤堤寬和海床厚度之比不同取值下單位長度防波堤最大無量綱浮托力及傾覆力矩隨參數(shù)kb的變化結(jié)果。如圖所示，堤寬和海床厚度比的變化對無量綱浮托力幅值與傾覆力矩幅值的影響不大，相對而言，對傾覆力矩幅值更為明顯一些。隨著堤寬與海床厚度比的減小，滲流載荷幅值略為下降。

圖8 最大無量綱浮托力Fig.8 The maximum dimensionless uplift force

圖9 最大無量綱傾覆力矩Fig.9 The maximum dimensionless overturning moment

圖10與圖11為橢圓余弦波理論與淺水條件下Airy微幅波理論所算單位長無量綱浮托力及傾覆力矩幅值的比較結(jié)果。如圖所示，由橢圓余弦波一階分量理論所算波浪滲流載荷結(jié)果明顯大于淺水條件下微幅波理論的對應(yīng)算值。由此說明在波浪滲流作用的計算中，相比Airy微幅波理論，橢圓余弦波理論同樣更趨于合理可靠。此外，隨著淺水波非線性特征參數(shù)λ的增加，無量綱浮托力及傾覆力矩幅值也隨之有所增加，反映了淺水波非線性因素變化對波浪滲流作用具有一定影響。

圖10 橢圓余弦波與Airy波對應(yīng)的最大無量綱浮托力比較Fig.10 Comparison of dimensionless uplift force for cnoidal wave theory and Airy wave theory

圖11 橢圓余弦波與Airy波對應(yīng)的最大無量綱傾覆力矩比較Fig.11 Comparison of dimensionless overturning moment for cnoidal wave theory and Airy wave theory

圖12和圖13為防波堤單位長最大無量綱浮托力及傾覆力矩與水平波浪力及力矩的對比結(jié)果。結(jié)果表明：在一定條件下，浮托力及傾覆力矩幅值可以接近甚至超過水平波浪力及力矩幅值，由此說明在防波堤的實際工程設(shè)計中，對波浪引起的海床內(nèi)滲流壓力產(chǎn)生的對防波堤底部的滲流載荷也必須充分加以考慮。

圖12 最大無量綱浮托力與水平波浪力比較Fig.12 Comparison between the maximum dimensionless wave force and uplift force

圖13 最大無量綱傾覆力矩與水平波浪力矩比較Fig.13 Comparison between the maximum dimensionless wave moment and overturning moment

4 結(jié) 論

本文將橢圓余弦波一階分量理論與Biot波浪滲流固結(jié)理論相結(jié)合，推廣特征函數(shù)展開法，給出了復(fù)雜淺水波斜入射條件下固立于可滲透彈性海床上的直立防波堤的反射波浪場與波浪引起的海底下海床內(nèi)滲流壓力的解析解，從而對淺水條件下Airy波理論的波浪滲流作用的微幅波計算理論加以了有效地推廣。通過對波浪直接作用和波浪滲流作用進行實算與比較，以及對橢圓余弦波理論與Airy波理論相應(yīng)結(jié)果進行比較，揭示了斜入射橢圓余弦波引起的對防波堤底部的波浪滲流作用的各種變化規(guī)律。

計算結(jié)果表明，由橢圓余弦波一階分量理論所算的防波堤單位長直接波浪載荷幅值和波浪滲流載荷幅值均明顯大于由Airy微幅波理論所算結(jié)果，由此說明在淺水條件下的防波堤波載計算中，對應(yīng)一定的海況條件采用橢圓余弦波理論較Airy微幅波理論更趨于合理可靠。此外，海床不變形及孔隙水不可壓縮情形(Cs=0)對應(yīng)的波浪滲流載荷最大，這與Airy微幅波理論所算結(jié)論基本一致。至如淺水波入射角度的變化對單位長防波堤水平波浪力(矩)幅值雖無影響，但對波浪引起的單位長防波堤滲流力(矩)幅值有明顯影響，正入射淺水波將產(chǎn)生對防波堤底部的最大滲流作用。結(jié)果進一步表明淺水波非線性特征參數(shù)λ的變化對防波堤的滲流作用也具有一定影響，其中對滲流傾覆力矩的影響更為明顯一些。通過對波浪直接載荷與波浪滲流載荷計算結(jié)果的對比，說明波浪滲流力(矩)幅值可能接近甚至超過水平波浪力(矩)幅值，表明在對波浪與防波堤相互作用問題的考慮中，波浪引起的滲流作用不容忽視。在防波堤實際設(shè)計中，采用橢圓余弦波淺水波模型預(yù)測波浪直接載荷以及波浪滲流載荷是可行合理和更為可靠的。

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Oblique incidence cnoidal water wave-induced seepage effects on vertical breakwater

ZHUMenghua,HUANGHua,ZHANJiemin,ZHANGAo,GUOLin,CHENRuizhi

(Department of Applied Mechanics and Engineering, Sun Yat-sen University, Guangzhou 510275, China)

Based on cnoidal wave theory and expanding Biot consolidation theory, the mathematical solutions to the problems of oblique incidence shallow water wave reflected by vertical breakwater resting on permeable elastic seabed are given, and accordingly the analytical solutions to the shallow wave-induced seepage pressure are derived by applying the eigenfunction expansion approach. Then the wave-induced uplift force and overturning moment caused by the seepage pressure on the bottom of vertical breakwater are accordingly evaluated and compared with horizontal wave force and moment. The evaluating results demonstrate that in certain condition, the wave-induced seepage loads may have same order of magnitude as the direct wave loads. The variation of incident wave angle, sea water and seepage condition, and structure geometry condition may have some influence on wave-induced seepage loads, especially on wave-induced seepage overturning moment. The cnoidal wave-induced seepage loads are obviously larger than those predicted by Airy wave theory for shallow water, it denotes that the cnoidal wave theory can reflect wave nonlinear effects.

cnoidal wave; vertical breakwater; oblique incidence and reflection; permeable seabed; wave-induced seepage loads

10.13471/j.cnki.acta.snus.2016.04.007

2015-12-09

廣東省協(xié)同創(chuàng)新與平臺環(huán)境建設(shè)專項資助項目(2014B090904066);廣東省公益研究與能力建設(shè)專項資助項目(2015A020216008)

朱夢華(1990年生)，女；研究方向：水波動力學(xué)；通訊作者：黃華；E-mail:tsyhh1982@163.com

O

A

0529-6579(2016)04-0039-08