張留偉

(中山大學(xué)中法核工程與技術(shù)學(xué)院, 廣東 珠海 519082)

Banach空間中立型泛函微分方程的概周期溫和解*

張留偉

(中山大學(xué)中法核工程與技術(shù)學(xué)院, 廣東 珠海 519082)

借助于一般的譜分解技巧，利用線性算子半群理論研究了Banach空間X中立型泛函微分方程一致連續(xù)的有界溫和解的存在性與唯一性，得到了當(dāng)X沒(méi)有與c0同構(gòu)的子空間時(shí)方程概周期溫和解存在與唯一的譜條件，推廣了線性微分方程的現(xiàn)有結(jié)果。

概周期；Carleman譜；線性算子半群；中立型泛函微分方程

周期解與概周期解的存在性問(wèn)題一直是微分方程研究的重要課題之一[1-2]，對(duì)于線性常微分方程而言，Massera于1950年證明了有界解的存在蘊(yùn)涵周期解的存在。與周期系統(tǒng)不同，即便對(duì)于標(biāo)量概周期常微分方程，所有解有界也未必蘊(yùn)涵概周期解存在。因此，研究概周期微分方程概周期解的存在性時(shí)，除了假設(shè)解有界外還必須附加其他條件。一方面，對(duì)于概周期線性常微分方程而言，在附加了分離性的假設(shè)下，F(xiàn)avard首先證明了其概周期解的存在性，Kato建立了有限時(shí)滯概周期微分方程的分離性定理，袁榮[3]把Favard理論推廣到逐段常變量微分方程。對(duì)于一般的Banach空間中的微分方程，Arendt[4]證明了在滿足非齊次項(xiàng)Carleman譜可數(shù)的條件下一階和二階Cauchy問(wèn)題概周期解的存在性。Batty[5]和Toshiki Naito[6]利用單調(diào)算子演化半群理論和Carleman譜分解技巧研究了Banach空間中周期演化方程

概周期解的存在性與唯一性。

本文研究抽象中立型時(shí)滯微分方程

(1)

概周期解的存在性，其中A是C0半群(T(t))t≥0的無(wú)窮小生成元，

r>0為一給定的實(shí)數(shù)，F(xiàn):C([-r,0],X)→X是有界線性算子，且R(f)?D(A)，f是定義在上取值于Banach空間X的概周期函數(shù)。借助于一般的譜分解技巧，利用線性算子半群理論，得到了方程(1)概周期溫和解存在與唯一的譜條件，推廣了非齊次線性微分方程的有關(guān)結(jié)果并給出了所得結(jié)果的應(yīng)用。

1 預(yù)備知識(shí)

令S1表示復(fù)平面中的單位圓。Rez表示復(fù)數(shù)z的實(shí)部。對(duì)給定的兩個(gè)復(fù)Banach空間X，Y，L(X,Y)表示X到Y(jié)的所有有界線性算子所做成的Banach空間。σ(T)，ρ(T)，R(λ,T)分別表示算子T的譜，預(yù)解集和預(yù)解。BC(,X)，BUC(,X)分別表示X值有界連續(xù)函數(shù)空間和有界一致連續(xù)函數(shù)空間，并賦以范數(shù)‖x‖‖x(t)‖，則兩者均為Banach空間。

對(duì)u∈BUC(,X)，記

引理1[7]設(shè)u∈BUC(,X)，則ξ∈SP(u)當(dāng)且僅當(dāng)u的Fourier-Carleman變換

在iξ的鄰域無(wú)全純擴(kuò)張。

引理2[7-8]設(shè)f,gn∈BUC(,X)，當(dāng)n→+∞時(shí)，gn→f，則

(i)SP(f)是閉的，

(ii)SP(f(·+h))=SP(f)，

(iii) 若α∈{0}，則SP(αf)=SP(f)，

(iv) 若?n∈，SP(fn)?Λ，則SP(f)?，其中表示Λ的閉包，

(v) 若A是閉算子，?t∈，f(t)∈D(A)，Af(·)∈BUC(,X)，則SP(Af)?SP(f)，

(vi) ?ψ∈L1()，SP(ψ*f)?SP(f)∩supp(ψ)，

(vii) ?ψ∈BC(,X)，SP(ψ+f)?SP(f)∪SP(ψ)。

引理3[5]A是Banach空間Y上C0等距群U=(U(t))t∈的無(wú)窮小生成元，z∈Y，ξ∈，存在中iξ的一個(gè)鄰域V和全純函數(shù)h:V→Y，使得h(λ)=R(λ,A)z，?λ∈V，Reλ>0，則iξ∈ρ(Az)，其中Az是U限制在?Y上的無(wú)窮小生成元。

引理4[9]iSP(u)=Du，其中Du是(S(t))t∈限制在Muspan{S(t)u,t∈}上的無(wú)窮小生成元。

定義1 對(duì)ε>0，存在l(ε)>0 ，對(duì)?a∈，?τ∈(a,a+l)， 使得

則稱ε>0是概周期函數(shù)。所有X值概周期函數(shù)記為AP(,X)，有AP(,X)?BUC(,X)。

設(shè)f∈AP(,X)，稱使得

a(λ,f)

不為零的λ為f的Fourier指數(shù)，a(λ,f)為與λ相應(yīng)的Fourier系數(shù)。f的所有Fourier系數(shù)的集合記為σb(f)，則σb(f)至多為可數(shù)集。

由文[5]知

定義2 連續(xù)函數(shù)u稱為方程(1)的溫和解，如果對(duì)所有t≥s，有

(2)

其中，(T(t))t≥0是以A為無(wú)窮小生成元的C0半群。

對(duì)u∈BUC(,X)，記u(r)Fur，易見(jiàn)是自治算子。記Thu(t)T(h)u(t-h)，則稱Th為C0半群(T(t))t≥0的演化半群，其無(wú)窮小生成元記為G。

引理5 設(shè)(Th)h≥0是關(guān)于C0半群(T(t))t≥0的的演化半群，Q是BUC(,X)中所有(Th)h≥0的強(qiáng)連續(xù)點(diǎn)的集合，則

(i) 若u∈BUC(,X)是方程(1)的溫和解，則u∈Q,

(ii) 設(shè)(Th)h≥0的無(wú)窮小生成G，有G(u+u)=Au-f，

(iii)AP(,X)?Q。

證明 (i) 由于u是方程(1)的溫和解，有

由T(h)的強(qiáng)連續(xù)性，F(xiàn)的有界變差性， 及h，ω與t無(wú)關(guān)，知

即(Th)h≥0在u強(qiáng)連續(xù)。

(ii) 由于u是方程(1)的溫和解，得

由線性算子半群的理論[10]，得知G(u+u)=Au-f。

(iii) 參見(jiàn)文[11]。

2 主要結(jié)論

本文的主要結(jié)論是定理1與定理2，在給出主要定理之前,先證明一些引理。

令

Δ(λ)λI-A+λBλ

引理6ρ(A,λ)是開(kāi)的，Δ-1在ρ(A,λ)中解析。

證明 易見(jiàn)，?λ，μ∈，有Δ(λ)-Δ(μ)∈L(X) ，且

因此，

由等式

知，μ∈ρ(A,λ)，故ρ(A,λ)在中是開(kāi)的。

為證Δ-1的解析性，只須證Δ-1(λ)對(duì)?λ∈ρ(A,λ)是可微的。設(shè)λ∈ρ(A,η)，取h∈，使得λ+h∈ρ(A,η)，注意到，當(dāng)h→0時(shí)，

且

因此，當(dāng)h→0 時(shí)，

引理7 設(shè)u∈BUC(,X)是方程(1)的溫和解，則

(3)

證明 由u是方程(1)的溫和解，知?t∈，，且u(t)+Fut=u(0)+

即

對(duì)u進(jìn)行拉普拉斯變換，得

記

則

顯然，g(λ)在整個(gè)復(fù)平面上有全純擴(kuò)張。由于

為簡(jiǎn)便起見(jiàn)，記

M{v∈BUC(,X):σ(v)?S1∪S2)

其中S1，S2?S1是單位圓的兩個(gè)不相交的閉子集。記Mv，有以下引理：

引理8[6]在上述假設(shè)下，有M=M1⊕M2，其中v∈Mi，當(dāng)且僅當(dāng)σ(v)?Si，i=1，2。

注1 對(duì)概周期函數(shù)仍有類似上述分解。

引理9 設(shè)u∈BUC(,X)是方程(1)的溫和解，其中f∈AP(,X)，則SP(u)?SP(f)。

證明 由引理8知，若B是BUC(,X)上的自治算子，對(duì)u∈BUC(,X)，有SP(Bu)?SP(u)。由引理5及引理2，有

SP(u)

定理1 若

(4)

(5)

證明 有引理7，知SP(u)?σi(Δ)∪SP(f)，記Λ，令，由引理8，知存在投影P:M→M1，且P與，Th可交換。因此，

PG(u+

G(Pu+Pu)=APu-Pf

注意到Pf=f，知Pu也是方程(1)的溫和解。

下證唯一性。 設(shè)v∈BUC(,X)是方程(1)的另一溫和解，使得?，則ω-v是方程(1)對(duì)應(yīng)齊次方程的解，因此，有SP(ω-v)?σi(Δ)。 注意到

由文[12]及定理1，容易得到下述定理。

定理2 若

(6)

注2 當(dāng)F=0 時(shí)，由本文的定理2 退化為文[6]中定理 3.5；而當(dāng)F是一般的常差分算子時(shí)，我們給出所得結(jié)論的一個(gè)簡(jiǎn)單的應(yīng)用。

例1 考慮中立型方程

(7)

其中,0

(8)

令λ=iξ，注意到exp(iξ)=cosξ+i sinξ， 代入(8)式，得

iξ+1-iξq(cosξ-i sinξ)=0

即

(9)

明顯ξ≠0，由(9)式

(10)

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Almost periodic mild solutions to functional differential equations of neutral type in Banach space

ZHANGLiuwei

(Sino-French Institute of Nuclear Engineering and Technology, Sun Yat-sen University, Zhuhai 519082, China)

With the general spectral decomposition techniques and by means of the linear operator semigroups theory, the existence and uniqueness of uniformly continuous mild solutions to the functional differential equations of neutral type in Banach spaceXarestudied.ThespectrumconditionswhichimplytheexistenceanduniquenessofalmostperiodicmildsolutionstotheequationsareobtainedwhenXhasnosubspaceisomorphictoc0.Theresultsextendrecentresultsofthelineardifferentialequations.

almost periodicity; Carleman spectrum; linear operator semigroups; functional differential equations of neutral type

10.13471/j.cnki.acta.snus.2016.01.005

2015-09-14

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11271379)

張留偉(1982年生)，男；研究方向：泛函微分方程;E-mail:zhliuw@mail.sysu.edu.cn

O

A

0529-6579(2016)01-0030-05