房冬冬， 王傳玉， 孫惠玲

(安徽工程大學(xué) 金融工程系，安徽 蕪湖 241000)

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隨機(jī)通貨膨脹率下DB養(yǎng)老金計(jì)劃中指數(shù)化調(diào)整期權(quán)的價(jià)值*

房冬冬， 王傳玉， 孫惠玲

(安徽工程大學(xué) 金融工程系，安徽 蕪湖 241000)

摘要：養(yǎng)老金計(jì)劃根據(jù)給付確定的方法主要分為固定收益計(jì)劃(DB計(jì)劃)和固定繳資計(jì)劃(DC計(jì)劃)；主要運(yùn)用了風(fēng)險(xiǎn)中性資產(chǎn)定價(jià)的方法，分析了在隨機(jī)通貨膨脹率下DB計(jì)劃中隱含的由雇員工資引起的指數(shù)化調(diào)整期權(quán)的定價(jià)，最后通過固定某些參數(shù)對(duì)所得結(jié)果進(jìn)行數(shù)值模擬，并進(jìn)行相應(yīng)的解釋，而所得模擬結(jié)果可以插入到該計(jì)劃的資產(chǎn)負(fù)債表中，形成整體資產(chǎn)負(fù)債表，從而對(duì)該計(jì)劃發(fā)起人進(jìn)行有效的資產(chǎn)負(fù)債管理具有重要的意義。

關(guān)鍵詞：DB計(jì)劃；整體資產(chǎn)負(fù)債表；隨機(jī)通貨膨脹率；指數(shù)化調(diào)整期權(quán)

養(yǎng)老金計(jì)劃是現(xiàn)代社會(huì)保障制度的重要組成部分，隨著養(yǎng)老金計(jì)劃的不斷發(fā)展，逐漸形成了多支柱的養(yǎng)老金計(jì)劃，一般可分為國(guó)家公共養(yǎng)老金計(jì)劃、雇主養(yǎng)老金計(jì)劃以及個(gè)人商業(yè)養(yǎng)老保險(xiǎn)。養(yǎng)老金計(jì)劃一般按照給付的確定方法分為DB型計(jì)劃和DC型計(jì)劃，DB計(jì)劃指員工退休或喪失就業(yè)能力后可按工齡、職位等因素，確定一個(gè)固定(預(yù)先在計(jì)劃中承諾的退休待遇調(diào)整)的退休津貼數(shù)額，通常按月發(fā)放直至受益人去世。DB計(jì)劃是由發(fā)起人承擔(dān)其所承諾的退休金相關(guān)的風(fēng)險(xiǎn)，員工取得的養(yǎng)老金與該計(jì)劃投資收益無關(guān)。

Sharpe[1]首先在1976年將未定權(quán)益的分析應(yīng)用到養(yǎng)老保險(xiǎn)領(lǐng)域，隨后Blake(1998)[2]分析了DB養(yǎng)老金計(jì)劃的期權(quán)構(gòu)成，得出了DB養(yǎng)老金計(jì)劃可以通過養(yǎng)老金資產(chǎn)買入看跌期權(quán)，賣出看漲期權(quán)獲得，合約價(jià)格為該計(jì)劃承諾的固定收益，最后給出了DB計(jì)劃中看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的值。DB養(yǎng)老金計(jì)劃會(huì)在事先承諾收益的基礎(chǔ)上做一些調(diào)整(指數(shù)化調(diào)整、收益削減、回復(fù)貢獻(xiàn)等)，相當(dāng)于隱含在DB養(yǎng)老金計(jì)劃中未定的資產(chǎn)和負(fù)債，這樣就可以看作是嵌入式期權(quán)。嵌入式期權(quán)是指在其他金融工具上“嵌入”一個(gè)選擇權(quán)，而不一定是一個(gè)完整的期權(quán)工具。這種嵌入式期權(quán)的創(chuàng)新金融工具有時(shí)也稱“期權(quán)雜交”。例如荷蘭DB養(yǎng)老金計(jì)劃中的條件指數(shù)化調(diào)整政策，該指數(shù)化調(diào)整就是基于養(yǎng)老金的提存比例，使得養(yǎng)老金負(fù)債產(chǎn)生不確定。而在英國(guó)，當(dāng)該計(jì)劃發(fā)起人發(fā)生破產(chǎn)或者虧損導(dǎo)致養(yǎng)老金不足時(shí)，提供的養(yǎng)老金保護(hù)基金(PPF)就保障了部分的養(yǎng)老金不足，PPF的保障同時(shí)也造成了養(yǎng)老金資產(chǎn)的不確定性。由于這些嵌入式期權(quán)的價(jià)值依賴于市場(chǎng)條件，像衍生產(chǎn)品一樣，而Harrison(1981)[3]以及Delbaen(1994)[4]研究了資產(chǎn)定價(jià)的基本理論，因此可以用衍生資產(chǎn)定價(jià)的方法去估值這些嵌入式期權(quán)。Haan(2012)[5]就從荷蘭養(yǎng)老金政策的視角估值了隱含在養(yǎng)老金政策中的嵌入式期權(quán)并建立了整體資產(chǎn)負(fù)債表。Chen[6]在2014年運(yùn)用HBS的方法比較了英國(guó)和荷蘭的DB養(yǎng)老金政策，得出英國(guó)相對(duì)于荷蘭在指數(shù)化給付上更有利于DB養(yǎng)老金計(jì)劃參與者。

此處主要是在文獻(xiàn)[6]的基礎(chǔ)上，考慮在隨機(jī)通貨膨脹率條件下，依工資調(diào)整指數(shù)調(diào)整期權(quán)的價(jià)值。由于通脹因素是侵蝕養(yǎng)老金實(shí)際購(gòu)買力的主要因素，所以有必要進(jìn)行相應(yīng)指數(shù)化的調(diào)整，韓偉[7]分析了一些發(fā)達(dá)國(guó)家的養(yǎng)老金指數(shù)化調(diào)整機(jī)制，并提出中國(guó)也應(yīng)建立以物價(jià)調(diào)整為基礎(chǔ)，并適當(dāng)考慮實(shí)際工資增長(zhǎng)率因素的養(yǎng)老金調(diào)整機(jī)制，參考文獻(xiàn)[8]在研究重慶市養(yǎng)老金支付存在的問題時(shí)，指出應(yīng)根據(jù)重慶市老齡化及退休年齡及時(shí)調(diào)整養(yǎng)老保險(xiǎn)金的支付條件和支付標(biāo)準(zhǔn),提高養(yǎng)老金替代率。而Robert[9]的研究認(rèn)為通貨膨脹率的增加將減少退休金補(bǔ)償?shù)膬r(jià)值，并且會(huì)降低終身待遇的現(xiàn)值，從而影響到該計(jì)劃參與者的退休決定。此處研究的隨機(jī)通脹率更加體現(xiàn)了現(xiàn)實(shí)的經(jīng)濟(jì)市場(chǎng)環(huán)境，通過考慮隨機(jī)通貨膨脹率，得到依工資調(diào)整的指數(shù)調(diào)整期權(quán)的估值，然后插入到該計(jì)劃的資產(chǎn)負(fù)債表中，形成整體資產(chǎn)負(fù)債表，有助于該計(jì)劃發(fā)起人對(duì)養(yǎng)老金進(jìn)行有效的資產(chǎn)負(fù)債管理。

1養(yǎng)老金與公司資產(chǎn)負(fù)債表

DB養(yǎng)老金計(jì)劃發(fā)起人為該計(jì)劃提供資金，信托公司運(yùn)營(yíng)養(yǎng)老金基金，提供DB計(jì)劃的公司在養(yǎng)老金融資產(chǎn)中關(guān)鍵的問題就是養(yǎng)老金計(jì)劃中的資產(chǎn)和負(fù)債是否應(yīng)當(dāng)成為公司資產(chǎn)負(fù)債表中的一部分，因?yàn)槠渲杏幸豁?xiàng)特別的養(yǎng)老金收益是已承諾的。按照會(huì)計(jì)學(xué)慣例認(rèn)為應(yīng)該分開管理，養(yǎng)老金被視為一種單獨(dú)的款項(xiàng)，其管理必須符合養(yǎng)老金受益人的利益。這些受益人必然希望看到養(yǎng)老金負(fù)債能夠盡可能得到資金支持。相反金融經(jīng)濟(jì)學(xué)研究則是將養(yǎng)老基金資產(chǎn)負(fù)債表與公司的資產(chǎn)負(fù)債表進(jìn)行整合，Bodie[10]等人援引了美國(guó)的證據(jù)證明了公司對(duì)養(yǎng)老金基金進(jìn)行管理時(shí)，就像將其視為了公司整體金融政策的一部分，并且發(fā)現(xiàn)公司利潤(rùn)與養(yǎng)老金資金水平具有正相關(guān)系。Sharpe認(rèn)為將養(yǎng)老金基金資產(chǎn)和負(fù)債在公司資產(chǎn)負(fù)債表中進(jìn)行整合產(chǎn)生了養(yǎng)老金買權(quán)和賣權(quán)兩個(gè)選項(xiàng)。養(yǎng)老金的買權(quán)相當(dāng)于養(yǎng)老金基金中的盈余，是公司資產(chǎn)的一部分，因?yàn)樵谝欢ǔ潭壬嫌嗍强梢允栈氐?。養(yǎng)老金的賣權(quán)相當(dāng)于養(yǎng)老金基金中的赤字，是公司的一項(xiàng)債務(wù)。

2養(yǎng)老金的傳統(tǒng)資產(chǎn)負(fù)債表與整體資產(chǎn)負(fù)債表

首先假設(shè)在一個(gè)封閉的養(yǎng)老金框架下，傳統(tǒng)的資產(chǎn)負(fù)債表只是給出了某一時(shí)刻養(yǎng)老金資產(chǎn)和負(fù)債的值，見表1，從表中可以得出A0=L0+R0。

表1　傳統(tǒng)的資產(chǎn)負(fù)債表

表2　整體資產(chǎn)負(fù)債表

3DB養(yǎng)老金計(jì)劃中隱含的嵌入式期權(quán)

DB計(jì)劃指員工退休或喪失就業(yè)能力后可按工齡、職位、工資水平等因素來確定一個(gè)固定的退休津貼數(shù)額，通常按月發(fā)放直至受益人去世。DB養(yǎng)老金計(jì)劃通常由公共部門或者企業(yè)提供給其員工，而這些公共部門或者企業(yè)被稱為這一養(yǎng)老金計(jì)劃的雇主，雇主會(huì)預(yù)先承諾一些有關(guān)養(yǎng)老金的調(diào)整。嵌入式期權(quán)是指在其他金融工具上“嵌入”一個(gè)選擇權(quán)，而不一定是一個(gè)完整的期權(quán)工具。

DB養(yǎng)老金計(jì)劃的組成看起來比較復(fù)雜，但是Blake在1998年用期權(quán)理論將它進(jìn)行了簡(jiǎn)化。由于DB養(yǎng)老金計(jì)劃會(huì)事先給定一個(gè)固定收益的額度，所以DB養(yǎng)老金計(jì)劃的現(xiàn)值L并不隨資產(chǎn)價(jià)值的變化而變化，而該計(jì)劃可以通過用資金A買入看跌期權(quán)P,賣出看漲期權(quán)C得到，看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的合約價(jià)均為L(zhǎng)?？礉q期權(quán)雇員買入，雇主賣出；看跌期權(quán)雇主買入，雇員賣出。當(dāng)雇員退休時(shí)，其中一種期權(quán)肯定會(huì)得以執(zhí)行。如果養(yǎng)老金資產(chǎn)高于承諾的固定收益也就是合約價(jià)L,那就說明該養(yǎng)老金計(jì)劃出現(xiàn)盈余，雇主執(zhí)行看漲期權(quán)，獲得盈余。如果養(yǎng)老金資產(chǎn)低于合約價(jià)，該計(jì)劃出現(xiàn)虧損，雇員執(zhí)行看跌期權(quán)，雇主被強(qiáng)制執(zhí)行差額支付，由此看出該計(jì)劃中的雇員并不承受資產(chǎn)的市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)。

DB養(yǎng)老金計(jì)劃中還存在一些未定的權(quán)益，那就是雇主和雇員之間所達(dá)成的一些調(diào)整政策以及外在的一些養(yǎng)老金保護(hù)機(jī)制，這些未定權(quán)益的選項(xiàng)就嵌入在該DB養(yǎng)老金計(jì)劃之中，從而影響該計(jì)劃真實(shí)的資產(chǎn)和負(fù)債。DB養(yǎng)老金計(jì)劃在歐洲國(guó)家普遍存在，而每個(gè)國(guó)家DB養(yǎng)老金計(jì)劃中嵌入式政策各不相同，正是這些不同的嵌入式政策構(gòu)成了該計(jì)劃的嵌入式期權(quán)，此處列舉一些常見的DB養(yǎng)老金計(jì)劃調(diào)整政策。

3.1養(yǎng)老金保護(hù)基金

根據(jù)EIOPA(歐洲保險(xiǎn)與職業(yè)養(yǎng)老金管理局)2013年的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，英國(guó)有著最大的DB型雇主養(yǎng)老金計(jì)劃市場(chǎng)，DB養(yǎng)老金計(jì)劃最顯著的一個(gè)特征就是幾乎所有該計(jì)劃的成員都滿足英國(guó)養(yǎng)老金保護(hù)基金(PPF)的條件。PPF建立于2005年，目的是當(dāng)提供DB養(yǎng)老金計(jì)劃的雇主出現(xiàn)破產(chǎn)，導(dǎo)致養(yǎng)老金計(jì)劃資金不足時(shí)，則提供對(duì)該計(jì)劃成員的保護(hù)。當(dāng)然每年都會(huì)根據(jù)具體情況設(shè)定一個(gè)保護(hù)金的上限，一旦雇主宣布破產(chǎn)，該計(jì)劃的委托人開始申請(qǐng)PPF保護(hù)，同時(shí)就產(chǎn)生了一個(gè)評(píng)估期，PPF就成了養(yǎng)老金計(jì)劃破產(chǎn)者的債權(quán)人，試圖去恢復(fù)一些資產(chǎn)來緩和養(yǎng)老金不足。同時(shí)，養(yǎng)老金計(jì)劃也會(huì)引入一些商業(yè)保險(xiǎn)合同來支付PPF保證收益，如果養(yǎng)老金計(jì)劃的剩余資產(chǎn)能夠支付該商業(yè)保險(xiǎn)合同，該計(jì)劃的雇員可以買下該保險(xiǎn)，這樣PPF就不用干涉了，否則該養(yǎng)老金計(jì)劃的資產(chǎn)和負(fù)債將移交到PPF,當(dāng)雇員退休后就可以得到應(yīng)有的收益。當(dāng)然PPF每年會(huì)對(duì)適用于該養(yǎng)老金計(jì)劃的雇員收取保費(fèi)，保費(fèi)收取的比例依賴于該計(jì)劃資產(chǎn)規(guī)模的大小和該計(jì)劃的風(fēng)險(xiǎn)水平以及該計(jì)劃的投資策略。PPF對(duì)于那些雇主破產(chǎn)后又恢復(fù)得到的資金也會(huì)進(jìn)行一定費(fèi)用的收取，同樣，PPF對(duì)于得到的資產(chǎn)進(jìn)行有效的投資，從而來應(yīng)對(duì)雇員退休后所產(chǎn)生的負(fù)債。

3.2指數(shù)化調(diào)整

養(yǎng)老金計(jì)劃本質(zhì)就是退休后給國(guó)民提供養(yǎng)老錢，養(yǎng)老金計(jì)劃參與者關(guān)心的不是退休金本身，而是它的購(gòu)買力。在現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)中，通貨膨脹成為侵蝕養(yǎng)老金的主要因素，技術(shù)進(jìn)步和勞動(dòng)生產(chǎn)力提高會(huì)降低養(yǎng)老金相對(duì)購(gòu)買力，人口老齡化也會(huì)影響?zhàn)B老金財(cái)務(wù)狀況。所以有必要進(jìn)行各種指數(shù)化的調(diào)整，從而確保退休后養(yǎng)老金的購(gòu)買力以及經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)帶來的福利。

養(yǎng)老金的調(diào)整指數(shù)可以概括為以下幾種形式:一是根據(jù)物價(jià)指數(shù)的變化來調(diào)整養(yǎng)老金，例如美國(guó)的養(yǎng)老金指數(shù)化調(diào)整主要是以消費(fèi)價(jià)格指數(shù)(CPI)為主要依據(jù)，調(diào)整機(jī)制的目標(biāo)定位是保證老年人的退休收入免受通貨膨脹的侵蝕，確保養(yǎng)老金的購(gòu)買力不降低。二是根據(jù)工資指數(shù)來調(diào)整養(yǎng)老金，例如德國(guó)將養(yǎng)老金與工人的工資增長(zhǎng)率掛鉤，建立了一個(gè)動(dòng)態(tài)的與生產(chǎn)率基本對(duì)應(yīng)的養(yǎng)老金調(diào)整機(jī)制。而荷蘭的養(yǎng)老金調(diào)整也是根據(jù)工資增長(zhǎng)率，但是會(huì)設(shè)定一個(gè)養(yǎng)老金資產(chǎn)和負(fù)債比例的上下限，然后根據(jù)每年該計(jì)劃養(yǎng)老金資產(chǎn)和負(fù)債的比例來調(diào)整。三是同時(shí)根據(jù)物價(jià)指數(shù)和實(shí)際工資增長(zhǎng)率的變化綜合調(diào)整養(yǎng)老金，采用這種方式的國(guó)家主要有瑞士、瑞典等。

4風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理

上述列舉的保護(hù)機(jī)制和調(diào)整政策正是養(yǎng)老金計(jì)劃中的未定資產(chǎn)和負(fù)債，把這些未定資產(chǎn)和負(fù)債稱為嵌入式期權(quán)，而這些嵌入式期權(quán)的價(jià)值又依賴于市場(chǎng)條件，像衍生產(chǎn)品一樣，因此可以用衍生資產(chǎn)定價(jià)的方法去估值。當(dāng)然，資本市場(chǎng)中的定價(jià)是建立在市場(chǎng)均衡基礎(chǔ)上的，在金融工程的研究中則把均衡市場(chǎng)的定價(jià)更具體地體現(xiàn)在非套利的條件。非套利條件比市場(chǎng)均衡的要求更容易理解，而且它是完全市場(chǎng)假設(shè)的直接結(jié)論，是資本市場(chǎng)均衡的必要條件，利用非套利條件就可推導(dǎo)出均衡的資產(chǎn)價(jià)格。此處嵌入式期權(quán)的定價(jià)可以通過風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理來解決。

風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理表達(dá)了資本市場(chǎng)中這樣的一個(gè)結(jié)論：即在市場(chǎng)不存在任何套利的條件下，如果衍生證券的價(jià)格依然依賴于可交易的基礎(chǔ)證券，那么這個(gè)衍生證券的價(jià)格是與投資者的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度無關(guān)的。這個(gè)結(jié)論在數(shù)學(xué)上表現(xiàn)為衍生證券定價(jià)的微分方程中并不包含有受投資者風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度影響的變量，尤其是期望收益率。風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理是Cox和Ross(1976)[11]在推導(dǎo)期權(quán)定價(jià)公式時(shí)建立的,由于這種定價(jià)原理與投資者的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度無關(guān)，因此對(duì)任何衍生產(chǎn)品都適用。在以后的衍生產(chǎn)品定價(jià)推導(dǎo)中，都接受了這樣的前提條件，就是所有投資者都是風(fēng)險(xiǎn)中性的。在風(fēng)險(xiǎn)中性的經(jīng)濟(jì)環(huán)境中，投資者并不要求任何的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償或風(fēng)險(xiǎn)報(bào)酬，所以衍生產(chǎn)品的期望收益率都恰好等于無風(fēng)險(xiǎn)利率，正由于不存在任何的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償或風(fēng)險(xiǎn)報(bào)酬，市場(chǎng)的貼現(xiàn)率也恰好等于無風(fēng)險(xiǎn)利率，所以衍生產(chǎn)品的任何盈虧經(jīng)無風(fēng)險(xiǎn)利率的貼現(xiàn)就是它們的現(xiàn)值。最后，利用無風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)的風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)過程也是鞅。

舉例說明，選擇一個(gè)無風(fēng)險(xiǎn)債券，以連續(xù)復(fù)利r計(jì)息，風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度為Q,如果0時(shí)刻債券價(jià)格為1，那么到t時(shí)刻價(jià)格將是ert，依據(jù)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理進(jìn)行推廣，假設(shè)在一個(gè)0到T時(shí)刻內(nèi)，X0表示該資產(chǎn)0時(shí)刻的價(jià)值，Xt表示t時(shí)刻資產(chǎn)的價(jià)值，EQ表示為風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下期望,那么可以得到如下關(guān)系式:

(1)

5指數(shù)化調(diào)整下嵌入式期權(quán)的定價(jià)

韓偉[12]在2008年文章中指出，從各國(guó)實(shí)踐看，對(duì)該養(yǎng)老金的指數(shù)化調(diào)整通常是在退休后的第二年開始,基于指數(shù)化調(diào)整的t年，該養(yǎng)老金給付水平為Bt=Bt-1It，其中Bt和Bt-1分別表示t年和(t-1)年的養(yǎng)老金水平，It為養(yǎng)老金調(diào)整指數(shù)。該式表明，與(t-1)年相比，某退休老人t年養(yǎng)老金給付水平的調(diào)整幅度取決于調(diào)整指數(shù)It。如果是基于工資指數(shù)調(diào)整養(yǎng)老金，則養(yǎng)老金調(diào)整指數(shù)的形式為It=1+g(t)，g(t)為t年的雇員貨幣工資增長(zhǎng)率，同時(shí)也是養(yǎng)老金指數(shù)化調(diào)整率。

5.1無通貨膨脹條件下嵌入式期權(quán)的定價(jià)

下面就對(duì)基于工資調(diào)整指數(shù)化嵌入式期權(quán)進(jìn)行定價(jià)，首先假設(shè)在雇主提供的一個(gè)封閉式的DB養(yǎng)老金體系中，考慮雇員在0到t時(shí)刻一個(gè)連續(xù)的指數(shù)化調(diào)整期，依連續(xù)復(fù)利計(jì)算，初始工資為S0,養(yǎng)老金退休后的替代率為θ，工資增長(zhǎng)率為k,那么工資的價(jià)格過程St可以表示為S0(1+k)t，而t時(shí)刻養(yǎng)老金的水平為θS0(1+k)t,依據(jù)工資做出的指數(shù)化調(diào)整后的養(yǎng)老金水平為(1+k)θS0(1+k)t，而基于工資調(diào)整指數(shù)化調(diào)整的養(yǎng)老金水平為kθS0(1+k)t。假設(shè)養(yǎng)老金基金運(yùn)行在一個(gè)無套利的市場(chǎng)，無風(fēng)險(xiǎn)利率為r,風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度為Q,則基于工資調(diào)整指數(shù)化這個(gè)嵌入式期權(quán)在0時(shí)刻的定價(jià)可表示為式(2)：

(2)

5.2隨機(jī)通貨膨脹率條件下嵌入式期權(quán)的定價(jià)

養(yǎng)老金制度本質(zhì)是退休后給國(guó)民提供養(yǎng)老錢,養(yǎng)老金繳費(fèi)者關(guān)心的是退休時(shí)養(yǎng)老金購(gòu)買力不是貨幣本身。大量的事實(shí)證明,在市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)條件下,通脹是時(shí)有發(fā)生的，而通貨膨脹會(huì)侵蝕退休職工的養(yǎng)老金,使其難以維持原來的生活水平。現(xiàn)在，假設(shè)通貨膨脹率是隨機(jī)過程，其價(jià)格水平Qt服從如下的隨機(jī)微分方程：

(3)

其中μt是t時(shí)刻的預(yù)期通貨膨脹率，σt是t時(shí)刻的波動(dòng)率，Bt是風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度Q下的一維標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng),而工資的價(jià)格過程為St=S0(1+k)t，其微分方程為

dSt=Stln(1+k)dt

(4)

考慮到通貨膨脹的影響，則在t時(shí)刻工資的真實(shí)價(jià)格過程為Xt=St/Qt，X0表示為在0時(shí)刻工資的真實(shí)價(jià)格，顯然Xt為隨機(jī)過程，對(duì)Xt應(yīng)用伊藤公式，有

(5)

若μt和σt為常數(shù)μ和σ，根據(jù)幾何布朗運(yùn)動(dòng)求解公式(5)解得：

(6)

則在隨機(jī)通貨膨脹率條件下，其他假設(shè)和5.1節(jié)假設(shè)相同，則基于工資調(diào)整指數(shù)化嵌入式期權(quán)在0時(shí)刻的定價(jià)可表示為式(7)：

(7)

6數(shù)值模擬

此處主要考慮的是在隨機(jī)通脹影響下DB養(yǎng)老金計(jì)劃所做出的指數(shù)化調(diào)整，由于英國(guó)是采用DB養(yǎng)老金計(jì)劃的典型國(guó)家，所以取英國(guó)的一些數(shù)據(jù)，為了計(jì)算方便，也相應(yīng)地對(duì)數(shù)據(jù)做些簡(jiǎn)化處理。設(shè)定一個(gè)0到15的指數(shù)化調(diào)整期，初始年工資S0=10 000美元，年工資增長(zhǎng)率k=5.45%，養(yǎng)老金的替代率θ=67.1%，養(yǎng)老金每年的平均投資收益率r=3%。首先計(jì)算無通貨膨脹條件下該嵌入式期權(quán)在0時(shí)刻的價(jià)值，代入數(shù)據(jù)得：

(8)

下面來考慮隨機(jī)通貨膨脹的情況，由于是隨機(jī)通貨膨脹率，首先固定一些參數(shù)變量，取值和式(8)相同，然后考慮兩個(gè)變量，通貨膨脹率的均值μ的范圍為0.5%到6.5%，波動(dòng)率σ范圍為0～1，最后對(duì)式(7)運(yùn)用Matlab軟件進(jìn)行數(shù)值模擬(圖1)。

圖1　通貨膨脹率的均值和波動(dòng)率對(duì)V0的影響Fig.1　The mean and volatility of the inflation rate VS V0

7總結(jié)

首先分析了養(yǎng)老金的傳統(tǒng)資產(chǎn)負(fù)債表與整體資產(chǎn)負(fù)債表的區(qū)別，得出整體資產(chǎn)負(fù)債表更能精準(zhǔn)地反應(yīng)真實(shí)的養(yǎng)老金資產(chǎn)與負(fù)債的值，而形成整體資產(chǎn)負(fù)債表最關(guān)鍵的問題就是對(duì)該計(jì)劃中隱含的嵌入式期權(quán)進(jìn)行估值；隨后列舉了部分DB養(yǎng)老金計(jì)劃中隱含的嵌入式期權(quán)，而主要是針對(duì)基于工資調(diào)整指數(shù)化這個(gè)嵌入式期權(quán)進(jìn)行定價(jià)估值，運(yùn)用了風(fēng)險(xiǎn)中性資產(chǎn)定價(jià)的方法對(duì)其進(jìn)行定價(jià)，并考慮了隨機(jī)通脹的情況；最后進(jìn)行數(shù)值模擬，得出基于工資調(diào)整指數(shù)化這個(gè)嵌入式期權(quán)的價(jià)值，進(jìn)而得出整體資產(chǎn)負(fù)債表中相應(yīng)的負(fù)債隱含值，從而對(duì)于養(yǎng)老金計(jì)劃管理者進(jìn)行有效地整體資產(chǎn)負(fù)債表管理具有非常重要的意義。

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責(zé)任編輯：李翠薇

The Value of the Indexation Option in the Defined-Benefit Plan underthe Stochastic Inflation Rate

FANG Dong-dong, WANG Chuan-yu, SUN Hui-ling

(School of Financial Engineering, Anhui Polytechnic University, Anhui Wuhu 241000, China)

Abstract：Generally, the pension plan can be divided into the defined benefit plan (DB plan) and the defined contribution plan (DC plan). This paper mainly uses the method of risk neutral pricing, and analyzes the value of the indexation option implied in the DB plan under the stochastic inflation rate. Finally, through the numerical simulation under the condition of given parameters, the analysis of the results is provided. Then the results can insert into the balance sheet of the plan. So we get the holistic balance sheet. Therefore, it has great significance to the effective asset and liability management for the sponsor.

Key words：DB plan; holistic balance sheet; stochastic inflation rate; indexation option

中圖分類號(hào)：F224.9

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1672-058X(2016)03-0060-06

作者簡(jiǎn)介：房冬冬(1989-)，男,安徽安慶人,碩士研究生,從事金融數(shù)學(xué)與金融工程研究.

*基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(61503001).

收稿日期：2015-09-30；修回日期：2015-10-30.

doi:10.16055/j.issn.1672-058X.2016.0003.013