汪建新 闞小美 孟 楠 李 東

(內(nèi)蒙古科技大學(xué)機械工程學(xué)院 包頭 014010)

熱聲制冷機板疊內(nèi)氣體的微觀熱力循環(huán)分析

汪建新 闞小美 孟 楠 李 東

(內(nèi)蒙古科技大學(xué)機械工程學(xué)院 包頭 014010)

基于線性小振幅聲場，探討了氣體微團與固體板疊之間能量傳遞規(guī)律，系統(tǒng)地分析了諧振腔板疊內(nèi)的熱力過程。利用物理上直觀的拉格朗日法，闡述了氣體微團與固體板疊之間的熱量交換。通過分析一個氣團總聲能量的變化圖，直觀地了解氣體微團與固體板疊之間熱量交換的數(shù)值變化關(guān)系。結(jié)果表明駐波型聲場板疊中的不同氣體微團之間，像是一個個配合精巧、功能齊全的微型制冷機，氣體微團通過接力作用，實現(xiàn)板疊上熱量的搬移，在低溫端得到制冷量。

熱聲制冷 微觀熱力循環(huán) 聲場分布 板疊 熱量傳遞

1 引 言

所有熱聲產(chǎn)品的工作原理都基于所謂的熱聲效應(yīng)。熱聲效應(yīng)一般發(fā)生在距離壁面一個熱滲透深度的范圍內(nèi)，因此為了加強熱聲效應(yīng)的強度，必須增大氣體與固體的接觸表面。采用板疊結(jié)構(gòu)可大大提高二者的接觸面積，從而對提高熱聲制冷機的效率有非常重要的意義[1]。板疊內(nèi)的氣體微團在驅(qū)動聲壓波動作用下，在其平衡位置附近做微小振動。在一個聲波周期內(nèi)，氣團往復(fù)運動一個循環(huán)，壓力增大時被壓縮，吸收聲功，同時溫度升高；壓力降低時氣體膨脹，對外做功，同時溫度降低[2]。本文主要分析氣體在聲壓波動作用下的功能轉(zhuǎn)換和與板疊之間的熱量交換。

要計算板疊兩端形成的溫度梯度，假設(shè)諧振腔內(nèi)聲波是一種平面波，在聲場中延板疊軸向的任意位置，聲壓的振幅是不同的。也就是說在每一個不同位置的氣團，都在振幅確定的聲壓波動作用下，在平衡位置左右兩側(cè)做微小振動[3]。板疊兩側(cè)的氣體與板疊之間功能轉(zhuǎn)換的數(shù)量值延板疊軸向方向是不同的，板疊與氣體微團的換熱也因此不同，當(dāng)滿足一定條件時，可以在板疊上形成一個溫度梯度。

基于以上思路，熱聲制冷機熱力部件的完整功能需要從微觀尺度上加以分析考慮。本文將建立熱聲制冷機中關(guān)鍵熱力部件板疊上的微觀熱力循環(huán)模型，并對其工作機理進行分析和討論，給出板疊上形成溫度梯度的條件及溫度梯度的大小。

2 板疊間振蕩氣體的能量模型

諧振腔內(nèi)的聲場是相當(dāng)復(fù)雜的，工作條件的不同會導(dǎo)致諧振腔內(nèi)氣體微團熱力過程的極大差異。本文采用拉格朗日法分析氣體微團的運動狀態(tài)。首先假設(shè)：

(1)氣體為無粘性的理想氣體，即氣體之間不會相互影響，流動是無粘性的；

(2)氣體沒有流動損失和熱量損失；

(3)氣體微團往復(fù)運動與固體板疊之間具有理想的換熱，因此氣體與固體之間能夠隨時保持熱平衡。

(4)諧振腔內(nèi)的聲場為線性小振幅聲場，聲波為平面波。

在上述假設(shè)條件下，板疊不存在熱力損失，循環(huán)過程可以認為熵產(chǎn)為零，即工作過程是可逆的[4]。

以板疊內(nèi)的一個氣體微團為例進行分析，氣團位于板疊上方熱滲透深度范圍內(nèi)。設(shè)在沒有聲擾動時氣體介質(zhì)的密度為ρ0，它不隨時間和位置的變化而改變，所選擇氣體微團的體積為V0。在聲壓波動作用下，氣體微團做微小的往復(fù)運動，動能增加，同時隨著聲壓值增加，氣團體積收縮，吸收聲功，氣體微團具有了位能，氣體微團總的聲能量為動能與位能之和[5]。

根據(jù)流體力學(xué)的3個基本方程，可以推導(dǎo)出一個氣體微團的運動狀態(tài)。由于諧振腔內(nèi)的聲場是小振幅聲場，可以將基本方程進行線性化處理，得到簡化的3個基本方程[6]：

運動方程：

(1)

連續(xù)性方程：

(2)

物態(tài)方程：

(3)

由于氣體微團被壓縮和膨脹過程中認為質(zhì)量保持不變，氣體微團所獲得總的聲能量為：

(4)

式(4)為一般聲場中聲能量變化的普遍表達式，其中u為氣團沿板疊軸線方向運動速度。不難看出，該式是標(biāo)量表達式，只能表示能量的大小變化情況。

3 不同型聲場中的換熱情況分析

3.1 不同型聲場中相關(guān)參量隨時間的變化規(guī)律

根據(jù)熱聲制冷機的特點，諧振腔內(nèi)的聲波為平面聲波?？梢杂梅蛛x變量法求解一維聲波方程，得到聲場的解為[5]：

行波型聲場：

(5)

駐波型聲場：

(6)

可見聲壓函數(shù)為復(fù)數(shù)，有實部和虛部兩部分，通常可用復(fù)平面上的一個點來表示。該點的橫坐標(biāo)即為函數(shù)的實數(shù)部分，縱坐標(biāo)即為虛數(shù)部分。同時，它也可以用由原點到復(fù)平面上這一點的矢量來表示。式(5)和(6)可以用余弦函數(shù)與正弦函數(shù)的組合表示出來。一般取實數(shù)部分進行分析[7]，因為一個復(fù)函數(shù)為方程的解，那么，它的實部與虛部也各自都是此方程的解。也可以只取復(fù)數(shù)函數(shù)的虛數(shù)部分，因為虛部也是方程的解。

只考慮實數(shù)部分，再由運動方程(1)得出氣團速度表達式[5]：

(7)

對于行波型聲場，有：

(8)

對于駐波型聲場，有：

(9)

進一步得氣團運動的位移與時間的變化關(guān)系。

對于行波型聲場：

(10)

對于駐波型聲場：

(11)

總聲能量表達式：

行波型聲場：

(12)

駐波型聲場：

(13)

圖1為行波型聲場中任意位置處的氣團所受壓力、速度、振動位移和總的聲能量隨時間的變化曲線。

圖1 行波型聲場中各參量隨時間變化關(guān)系Fig.1 Changes of various parameters with time in travelling-wave sound field

顯然，氣團在平衡位置時，所受聲壓力與速度為最大值，氣團運動到左右兩側(cè)極限位置時，壓力與速度同時為零。此運動規(guī)律與所學(xué)的質(zhì)點自由振動情況不同。這是由于聲場中的能量不是貯存在系統(tǒng)中，而是具有傳遞特性的[8]。

這類系統(tǒng)被稱為非保守系統(tǒng)，即氣體除了受到壓力，還受到粘性阻尼力的作用，使得原本能量守恒的保守系統(tǒng)變?yōu)槟芰亢纳⒌姆潜Ｊ叵到y(tǒng)。氣體微團所獲得的能量，會使其自身溫度發(fā)生變化，從而與固體板疊發(fā)生熱量交換，將自身增加的溫度傳遞給板疊，同樣自身溫度減少時將從板疊吸收熱量。在粘性阻尼力與聲壓力共同作用下，氣體微團的運動速度與壓力同相變化，這一點不能用保守系統(tǒng)質(zhì)點的運動規(guī)律來解釋。

由于聲能量是標(biāo)量，根據(jù)溫度定義，氣團的溫度與氣團內(nèi)能是密切相關(guān)的，圖1中聲能量變化曲線反映聲能量全部轉(zhuǎn)化成氣體內(nèi)能時，氣體內(nèi)能隨時間的變化規(guī)律，它只反映溫度的大小變化而不能表明溫度的變化方向。

由于諧振腔內(nèi)聲場為小振幅聲場，則在微小的時間段dt內(nèi)，壓力變化dP時，氣團體積變化dV，由氣體狀態(tài)方程得氣團溫度變化為：

(14)

式中：n為氣體的物質(zhì)的量，mol；T為熱力學(xué)溫度；R=8.31J/K/mol為氣體常數(shù)。

顯然，當(dāng)氣團所受壓力增加，氣團溫度升高；氣團所受壓力減小，氣團溫度降低，且二者變化的相位相同。

在波向前傳播過程中，假設(shè)在下一個時刻，波從聲源處向前傳播，則氣團所受壓力、速度和能量的變化如圖1中虛線所示。顯然，隨著聲波的傳播，每一個位置上的氣團都會經(jīng)歷相同振幅的壓力波動，即每個位置氣團的溫度變化規(guī)律均相同。對于聲場中位置固定的板疊，在進行熱量交換時，板疊上方溫度最高的氣團相對于板疊的位置始終在改變，無法在板疊兩端形成溫度梯度。

而對于駐波型聲場，在不同位置處的氣體微團所受壓力、氣團速度、振動位移和所獲得總的聲能量隨時間的變化關(guān)系曲線如圖2所示。

圖2 駐波型聲場中各參量隨時間變化關(guān)系Fig.2 Changes of various parameters with time in standing-wave sound field

由圖2可知，駐波型聲場中的聲壓值與氣團速度之間的相位差為90°，當(dāng)波從x=x1處傳播到x=x2處時，原氣團所受壓力、速度、位移與能量隨時間變化曲線如圖2虛線所示。隨著波向前傳播，波形保持不變，相位的變化只會影響隨時間變化的壓力波、速度波與能量波振幅的大小。存在節(jié)點是駐波型聲場的重要的特征。

在聲壓波動作用下，氣團獲得的總聲能量時刻發(fā)生改變。隨著波向前傳播，相位的變化只影響氣團總聲能量的變化振幅，即氣團的溫度變化值隨著位置的不同而發(fā)生改變。因此，諧振腔內(nèi)延軸線方向，總是存在位置固定的溫度最大值點和溫度最小值點。只要放置板疊的位置合適，板疊附近的氣團能夠保持平衡位置一側(cè)的溫度始終高于(或低于)另一側(cè)的溫度。氣團的連續(xù)往復(fù)運動維持了穩(wěn)定的熱量搬移過程，從而在板疊上形成溫度梯度。

通過上述結(jié)論，可知在駐波型聲場的板疊中具備熱量搬移的條件，理論上能夠形成溫度梯度。

3.2 氣體微團與板疊之間的換熱分析

由分析知，聲場中的氣團受到的聲壓數(shù)量級遠大于氣團速度的數(shù)量級，因此雖然聲能量流入或流出氣團，但氣團的溫度變化與壓力同相，振動速度對溫度的影響可忽略不計。當(dāng)諧振腔中形成穩(wěn)定的聲場以后，任一時刻諧振腔內(nèi)延板疊軸線(諧振腔軸線)的能量波形都是已知的。無論是行波型還是駐波型聲場，氣團獲得的總聲能量都會在一個固定平均值上下波動，而氣團獲得總聲能量的變化值即為氣體內(nèi)能的變化值。而系統(tǒng)中的能量是具有傳遞和轉(zhuǎn)化特性的，流入或流出氣團的總聲能量轉(zhuǎn)化成氣團自身內(nèi)能的變化，從而使氣團溫度發(fā)生改變。在一個循環(huán)周期內(nèi)，對于氣團溫度與板疊溫度，二者總有趨于相同的趨勢。因此，氣團溫度高于與之接觸的固體板疊溫度時，氣團將會對固體板疊釋放熱量，同理氣團溫度低于板疊溫度時，氣團將會從板疊吸收熱量。

3.2.1 行波型聲場中熱量的傳遞

為分析氣團在一個運動周期內(nèi)與板疊之間的換熱關(guān)系，將氣團的運動分為四個熱力過程，把氣團處于平衡位置左側(cè)的極限位置作為循環(huán)的起始點，4個時間段為：0<ωt<π/2，π/2<ωt<π，π<ωt<3π/2，3π/2<ωt<2π，分別對應(yīng)圖1壓力曲線中所標(biāo)示的熱力過程①至熱力過程④。

其對應(yīng)的氣團運動示意圖如圖3所示。

圖3 行波型聲場中氣體微團運動示意圖Fig.3 Motion diagram of gas micelle in travelling-wave sound field

由圖1中能量隨時間變化的曲線可知，流入或流出氣團的總聲能量按余弦規(guī)律改變。在熱力學(xué)中，溫度被定義為：

(15)

設(shè)氣團未受到聲擾動時的初始溫度為T0，則在行波型聲場中，氣團位于左右兩側(cè)極限位置時所受聲壓力為零，溫度為T0。下面分別分析4個不同的熱力循環(huán)過程。

(1)熱力過程①

如圖2所示，氣團從位置a運動到位置b，壓力增加，氣團內(nèi)有聲能量流入，氣團溫度從T0開始增加，溫度隨時間的變化關(guān)系為：

(16)

(17)

在這一過程中，氣團溫度逐漸增加，高于板疊溫度，因此會將熱量傳遞給板疊。由于越接近平衡位置b處，氣團溫度越高，與板疊之間的溫度差越大，從而傳遞給板疊的熱量越多。

(2)熱力過程②

這一過程中氣團繼續(xù)向右運動，從位置b運動到位置c，壓力與速度由最大值減小為零。聲能量流出體積元，即氣團內(nèi)能減小，溫度降低。到達位置c時，氣團達到與a位置相同的狀態(tài)，溫度減小為T0。溫度隨時間的變化關(guān)系為：

(18)

在這一過程中，氣團溫度逐漸減小，但仍高于板疊溫度，因此會繼續(xù)將熱量傳遞給板疊。由于越遠離平衡位置b處，氣團溫度越低，與板疊之間的溫度差越小，從而傳遞給板疊的熱量越少。當(dāng)?shù)竭_位置c時，不再發(fā)生熱量交換。

(3)熱力過程③

此過程內(nèi)，氣團開始向左運動，從位置c返回到位置b，壓力從零繼續(xù)減小，聲能量繼續(xù)流出體積元，即氣團內(nèi)能減小，溫度從T0繼續(xù)降低。溫度隨時間變化關(guān)系為：

(19)

(20)

因此在第2次到達b位置時，氣團溫度達到最低。在這一過程中，氣團溫度繼續(xù)減小，低于板疊溫度，因此會從板疊吸收熱量。越接近平衡位置b處，氣團溫度越低，與板疊之間的溫度差越大，從而從板疊吸收的熱量越多。這一過程氣團所吸收的熱量恰好與過程②氣團釋放的熱量相等，相互抵消。

(4)熱力過程④

同理分析這一過程氣團的運動情況，氣團溫度逐漸增加，但仍低于板疊溫度，因此會繼續(xù)從板疊吸收熱量。溫度隨時間變化關(guān)系為：

(21)

由于越遠離平衡位置b處，氣團溫度越高，與板疊之間的溫度差越小，從板疊吸收的熱量越少。返回位置a時溫度變?yōu)槌跏紲囟萒0，不再發(fā)生熱量交換。這一過程氣團所吸收的熱量恰好與過程①氣團釋放的熱量相等，相互抵消。

根據(jù)上述分析可知，在行波型聲場中，氣體微團與固體板疊之間只進行熱量的傳遞，一個氣團在第一次經(jīng)過平衡位置時產(chǎn)生的熱量，恰好與第二次返回平衡位置時吸收的熱量相互抵消，而在板疊上沒有發(fā)生熱量的搬移過程。隨著波不斷的向前傳播，行波型聲場中，任一位置的氣團均會發(fā)生相同的熱力循環(huán)過程。每一個氣團在運動過程中都會與板疊之間進行熱量的交換，但無法將熱量從板疊的一側(cè)搬移到另一側(cè)，在板疊上無法形成溫度梯度。

3.2.2 駐波型聲場中熱量的搬移

按照行波型聲場的分析方法對駐波型聲場中的氣團進行分析，同樣將氣團的運動分為4個熱力過程，分別對應(yīng)圖2中壓力曲線所標(biāo)示的位置，其對應(yīng)的氣團運動示意圖如圖4所示。

圖4 駐波型聲場中氣體微團運動示意圖Fig.4 Motion diagram of gas micelle in standing-wave sound field

(1)熱力過程④和熱力過程①

與行波型聲場不同，駐波型聲場中的氣團在運動到平衡位置時所受壓力為零，即平衡位置時氣團未受聲擾動，處于初始狀態(tài)，氣團溫度為T0。假設(shè)氣團從平衡位置b處開始做往復(fù)運動，首先分析熱力過程④。氣團從位置b運動到位置a，壓力增加，氣團內(nèi)有聲能量流入，氣團溫度從T0開始增加，溫度隨時間的變化關(guān)系為：

(22)

(23)

可見溫度的變化與相位有直接關(guān)系。首先只討論某處一個氣團，在這一過程中，氣團溫度逐漸增加，高于板疊溫度，因此會將熱量傳遞給板疊。由于越遠離平衡位置b處，氣團溫度越高，與板疊之間的溫度差越大，從而傳遞給板疊的熱量越多。氣團繼續(xù)運動，經(jīng)歷熱力過程①，此過程中氣團的運動恰好與過程④相反，氣團所受壓力減小，溫度由最高值降低為初始狀態(tài)，溫度隨時間的變化關(guān)系為：

(24)

此過程氣團溫度逐漸降低，但仍高于板疊溫度，且氣團運動到每個位置時的溫度都與過程④中氣團運動到相同位置時的溫度相等。因此可將過程④和過程①看作一個絕熱壓縮過程和一個等溫放熱過程。即氣團向左側(cè)極限位置a處運動，經(jīng)過絕熱壓縮過程，溫度升高；返回平衡位置b的過程中，經(jīng)歷等溫放熱過程，將熱量傳遞給板疊。

(2)熱力過程②和熱力過程③

氣團繼續(xù)向右運動，經(jīng)歷熱力過程②，從位置b運動到位置c，壓力繼續(xù)減小為反向拉力，聲能量流出體積元，氣團溫度從T0開始減小，溫度隨時間的變化關(guān)系為：

(25)

(26)

對于任意位置一個氣團，在這一過程中，氣團溫度逐漸降低，低于板疊溫度，因此會從板疊吸收熱量。由于越遠離平衡位置b處，氣團溫度越低，與板疊之間的溫度差越大，從板疊吸收的熱量越多。氣團繼續(xù)運動，經(jīng)歷熱力過程③，氣團所受壓力開始增加，溫度升高，到達平衡位置b時，氣團回到初始狀態(tài)，溫度變?yōu)門0。溫度隨時間的變化關(guān)系為：

(27)

此過程氣團溫度逐漸升高，但仍低于板疊溫度，氣團運動到每個位置時的溫度都與過程②中氣團運動到相同位置時的溫度相等。因此可將過程②和過程③看作一個絕熱膨脹過程和一個等溫吸熱過程。即氣團向右側(cè)極限位置c處運動，經(jīng)過絕熱膨脹過程，溫度降低；返回平衡位置b的過程中，經(jīng)歷等溫吸熱過程，從板疊吸收熱量。綜上所述，同一個氣團在平衡位置右側(cè)吸熱，到左側(cè)放熱，實現(xiàn)熱量的搬移。

4 結(jié)果分析

對一個氣體微團來說，往復(fù)運動一個周期，就會在一個微段上形成微小的溫度差，一個氣團就是一個微型制冷機。由溫度隨時間的變化曲線可知，氣團溫度的變化與氣團在聲場中的位置有關(guān)。氣團在左右兩側(cè)極限位置時溫度分別達到最高與最低，溫度差為：

(28)

駐波型聲場的諧振腔內(nèi)，每個氣團都在其平衡位置附近做往復(fù)運動，且每個氣團都有微小的熱量搬移作用。氣團與鄰近氣團之間形成接力，在板疊上形成溫度梯度。在無數(shù)個微型制冷氣團循環(huán)運動進行接力以后，在板疊上應(yīng)出現(xiàn)固定的高溫區(qū)域與低溫區(qū)域。當(dāng)諧振腔內(nèi)聲場達到穩(wěn)定狀態(tài)，諧振腔內(nèi)的氣體會從外界吸收聲能量，從而維持駐波振蕩。將時間作為定值，以位置x作為變量，得到諧振腔內(nèi)壓力與氣團總能量隨位置的變化曲線，如圖5所示。

圖5 壓力與氣團總能量隨位置變化曲線Fig.5 Curve of sound pressure and total energy with position change

5 結(jié) 論

本文從拉格朗日的觀點分析了板疊內(nèi)氣體微團的熱力過程和熱力循環(huán)。通過分析一個氣團的運動過程，得到如下結(jié)論：

(1)行波型聲場和駐波型聲場中，能量的變化方式是不同的。行波型聲場中的能量時刻按最大的振幅波動，每個位置處的氣團溫度都是在理論上能夠達到的最大值與最小值之間波動，放熱量與吸熱量都能達到最大狀態(tài)，因此能夠保證熱量傳遞效率的最大化。但由于隨著位置的改變，溫度最高點始終在移動，因此不能在板疊上形成穩(wěn)定的溫度差。而駐波型聲場中存在波節(jié)點，使得在某一特定區(qū)域，總能保證平衡位置一側(cè)氣團的溫度始終高于另一側(cè)氣團的溫度，從而在板疊上能夠形成恒定的溫度差。

(2)在進行熱量交換時，行波型聲場中的氣團在第1次運動到平衡位置時，溫度最高，將熱量傳遞給板疊，而第2次返回到平衡位置時，溫度達到最低，從板疊吸收熱量，整個過程中，氣團只是與板疊之間傳遞熱量，并沒有將板疊上的熱量從一端搬移到另一端。駐波型聲場中，由于氣團在平衡位置兩側(cè)的極限位置時分別達到最高溫度與最低溫度，從而能夠?qū)崿F(xiàn)熱量的搬移。

(3)在駐波型聲場中，由于聲壓力波的不斷擾動，內(nèi)部氣團的能量將發(fā)生振蕩，能量振蕩導(dǎo)致氣團自身發(fā)生溫度的振蕩。振蕩過程中，氣團溫度高于板疊溫度時，會將熱量傳遞給板疊；氣團溫度低于板疊溫度時，將從板疊吸收熱量。通過推導(dǎo)得到了達到平衡狀態(tài)時板疊兩端的溫度梯度。

(4)本文只從微觀層面上進行分析，即一個單位體積氣團與板疊之間相互作用能夠產(chǎn)生熱量搬移，從而求得在板疊上形成的溫度梯度。若要求宏觀上總的換熱量與板疊上總的溫度梯度，就要從板疊的形狀，尺寸等參數(shù)和氣體的熱滲透深度和粘性滲透深度等方面進行考慮，這些問題將在后續(xù)的工作中繼續(xù)研究分析。

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Analysis of micro thermodynamic cycle of gas in the stacks of thermoacoustic refrigerator

Wang Jianxin Kan Xiaomei Meng Nan Li Dong

( Mechanical and Engineering Institute,Inner Mongolia University of Science and Technology, Baotou 014010,China)

Based on the theory of linear small amplitude sound field, the energy transfer between the gas micro mass and the solid plate was discussed. The thermal process of the cavity plate stack was analyzed systematically.Lagrange method was adopted to study the heat exchange between the solid pack and gas mass.By analyzing the variation of the diagrams of total acoustic energy in one mass,the change in value of the heat exchange between gas micro mass and solid plate can be obsrved.The results show that different gas micro masses in the standing wave sound field, like some mini refrigerators, which cooperate with each other delicately and have complete functions. Through the relay action of gas micro mass,the heat on the plate is remored and obtained refrigerating capacity at the low temperature end is obtained.

thermoacoustic refrigerator;micro thermodynamic cycle;sound field distribution;stack;heat-transfer

2016-07-07；

2016-09-29

國家自然科學(xué)基金資助項目(No.51365033)。

汪建新，男，54歲，博士，教授。

TB61,TB66

A

1000-6516(2016)05-0022-08