孔繁盛 王運貞

【摘要】0能不能做除數(shù)，在數(shù)學(xué)教科書里總是把它說成“0做除數(shù)無意義”而被處以“死刑”.科技發(fā)展到21世紀(jì)的今天，這個古老而又基本的數(shù)學(xué)問題，是應(yīng)到了該解決的時候了.我認為應(yīng)把0從“0做除數(shù)無意義”中解放出來，這對于人類從理論上，從客觀上認識宇宙，具有很重要的意義.經(jīng)過我多年的探索和論證，將“0做除數(shù)有意義”的結(jié)論和想法寫出來，誠心與各界人士切磋，以求為祖國的數(shù)學(xué)事業(yè)的發(fā)展盡微薄之力.

【關(guān)鍵詞】“0” 做除數(shù)；有意義；超限數(shù)論；∝ 是個數(shù) 參加四則運算

根據(jù)我多年的教學(xué)經(jīng)驗，我認為無論是從代數(shù)、幾何，還是從物理、化學(xué)、哲學(xué)的角度考慮，0是能做除數(shù)的.現(xiàn)在我把我的結(jié)論和想法寫出來，來和大家一起磋商和研討這個問題.

結(jié)論：00=∝∝=1（宇宙）.

推論：1.∝A=∝ （無限） A∝（無限）=0.

2.A0=∝ （有限），0A=0.

想法：

1.我認為我的結(jié)論是宇宙間的一條公理.如果是公理，那么只能公認，不能證明.所以我這里用了“想法”這個詞，意思是說明這不算是什么論證，只算是一種論理.

2.我這里說的0，即為宇宙間的任意點，意義是無限小，他存在而不可達.我這里所說的∝ ，即為宇宙間無窮點的全體，意義是無窮大，它存在而不可越.這正好說明了宇宙的存在，并且只有一個.他是一個從無限小到無窮大的對立統(tǒng)一體.而我們正好生活在比0大而又比∝ 小的相對空間里.不管將來我們的文明人類（甚至多少個文明類聯(lián)合起來）從意念中認識到多大的宇宙空間，但這個空間同整個浩瀚宇宙比起來，仍然是極小的一部分.公式A∝（無限）=0就說明了這個問題.不管將來我們的文明人類在意念中認識了多么小的微觀世界，例如遺傳基因，但它的體積同無限小的0相比，仍然是無窮大.公式A0=∝就說明了這個問題.有人把探明基因的結(jié)構(gòu)比喻成登上月球，那么我們什么時候才能登上質(zhì)子，登上電子呢？比電子更小的物質(zhì)微粒又是什么呢？我看不管人類是向宏觀世界進軍，還是向微觀世界進軍，其難度都是一樣大的，他都決定于科技的發(fā)展與進步.

3.00=∝∝=1（宇宙）與AA=1及其推論的關(guān)系：對于00=∝∝=1（宇宙），無論是從0→∝ 不可越，還是從∝→0不可達，他都說明宇宙只有一個，并且宇宙是沒有中心的，也是沒有邊緣的，這是絕對的.而AA=1 和推論都是相對的，是既可達又可越的.例如前面說的A∝（無限）=0，這里的A代表了多大的宇宙空間數(shù)字??！但它和浩瀚宇宙相比，其結(jié)果仍然為0.這說明我們在0點里，可達.而公式A0=∝（有限），這里的A代表了多小的微渺空間微數(shù)啊！但它和無限小的0相比，其結(jié)果仍然是∝（有限）.這說明我們在∝（有限）之外，可越.

4.我相信00=∝∝=1（宇宙）及其推論與初等數(shù)學(xué)的運算規(guī)律和高等數(shù)學(xué)的運算規(guī)律不會相矛盾.但我清楚地認識到，0做除數(shù)以后，特別是∝也作為一個數(shù)參加到數(shù)學(xué)運算中去，一定會給運算帶來一些新的問題，但這也不用怕，只要做一些新規(guī)定就可以了，問題總會解決的.我曾想把∝規(guī)定成一個最大自然數(shù)，成不成，看大家認可不認可.這里最重要的是：0仍然是一個中性數(shù).應(yīng)承認0﹡∝=1（宇宙）即0和∝互為倒數(shù).

我們再來看結(jié)論00=∝∝=1（宇宙）.既然0和∝都是數(shù)，那么它們和其他數(shù)A也有共同的屬性，那就是任何兩個相同的數(shù)相除都等于1.只不過這里的1，從0和∝ 的定義看，也只能是宇宙1.這也是兩個特殊數(shù)的特殊性造成的，這是絕對的.再來看推論：1.∝A=∝（無限），A0=∝（有限）；2.A∝（無限）=0，0A=0.由∝A=∝（個）得0=A∞=1∞（個） 即0﹡∝（個）=1.∵這里的∝是無限∝，根據(jù)0﹡∝=1（宇宙），∴∝（個）也是無限無窮.可看出，絕對無窮被一個常量去除，其結(jié)果仍然是一個絕對無窮.我們把∝A=∝（個）化成∝=A ﹡∝（個），可看出，任何一個常量與一個絕對無窮的積等于一個絕對無窮.由A0=∝（個），可看出任何一個常量除以0，都等于一個相對無窮.我們把A0=∝（個） 化成A=0﹡∝（個）可看出，任何一個常量都等于0與一個相對無窮的積.例如，我們設(shè)a、b是任意兩個不同的實數(shù)，令A(yù)=︱a-b︱，則A0=︱a-b︱/0=∝（個），這和數(shù)軸上a與b之間有無窮個實數(shù)，而這無窮個實數(shù)又正好與a與b之間所表示的線段上的無窮個點形成一一對應(yīng)的關(guān)系，完全統(tǒng)一，完全一致.如圖.（關(guān)于什么是絕對無窮，什么是相對無窮，請看我的第二篇論文《論“超限數(shù)論”的理論基礎(chǔ)》）關(guān)于A∝（無限）=0，我在想法2和想法3里已作了闡述.對于0A=0，大家一看便知，這里就不再細說了.

以上所談，我們可以看出，不管是結(jié)論還是推論，對于0和∞這兩個數(shù)參與數(shù)的四則運算，與初等數(shù)學(xué)運算規(guī)律和高等數(shù)學(xué)運算規(guī)律都不矛盾，并且是統(tǒng)一的，一致的.

5.從00=∝∝=1（宇宙）還可以看出，不論是0→∝還是∝→0都是表示的點，而這些點又都是表示的數(shù).所以，只要我們在宇宙間建立一個數(shù)軸，或一個什么數(shù)標(biāo)系，在規(guī)定上長度單位（這很重要），那么宇宙間的任何點與我們意念中的什么數(shù)都能建立一一對應(yīng)的關(guān)系.即點和點表示的數(shù)都有它特定的位置.從自然數(shù)、實數(shù)、復(fù)數(shù)、到三維向量空間，這一數(shù)的發(fā)展過程，不正說明了這個道理嗎？看來，數(shù)只有和點和形相結(jié)合，才是完美的完整的數(shù)學(xué).

6.說到這里，我要給“超限數(shù)論”提一個標(biāo)準(zhǔn).我看了2000年4月19日河北出版的《初中生周報》第二版“伽利略的難題”（看后面復(fù)印件）一文后，深有感觸，說康托爾抓住了“關(guān)鍵”——“一一對應(yīng)”.1，2，3，…與12，22，32…真的一一對應(yīng)嗎？同樣多嗎？在數(shù)學(xué)里的一一對應(yīng)，其意義有二，下面我以實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)為例來說明.

意義其一，實數(shù)是個無窮集，實數(shù)在實際生活中有它的特定意義，或表示長度，或表示面積、重量等.所以實數(shù)是數(shù)，有數(shù)的特定意義和性質(zhì).

意義其二，數(shù)軸本身是一條直線，數(shù)軸上的點，是另一個無窮集.所以數(shù)軸和數(shù)軸上的點是表示幾何意義和性質(zhì)的.

顯然，數(shù)學(xué)里描述的一一對應(yīng)的兩個無窮集，其意義和性質(zhì)是完全不同的，是數(shù)與形的結(jié)合.

問題就出在這里，再來看1，2，3…與12，22，32…它們都屬于同一屬性的自然數(shù)集合，這樣搞一一對應(yīng)顯然是錯誤的.這里我再講一個與本文有關(guān)的故事：我1963年入邢臺市一中上高中，其間，我曾與數(shù)學(xué)老師宋成賓發(fā)生過一段爭論.宋在我的作業(yè)本上畫了兩條長短不等的線段說：“你說這兩條線段，那條線段上的點多.”我立即回答：“長線段上的點多.”宋說：“我說一樣多.你看，我在這兒找一光點，射這兩條線段，如圖，這不是一樣多嗎？” 我想了一下：“你那樣找光點，如果我用一束平行光線垂直照射，如圖，那么多余的部分應(yīng)怎樣解釋呢？”宋老師無言答對，最后我落了個“鉆死牛角尖”.為什么你用一種方法找到了一種“一一對應(yīng)”關(guān)系，而我用同樣的方法否定了你的“一一對應(yīng)”關(guān)系.你找到的就應(yīng)承認，而我找到的，有道理也不認可.最后用“只要找到就行”，硬把理奪去呢？現(xiàn)在看來，問題的“關(guān)鍵”還在“標(biāo)準(zhǔn)”.因為比較的兩條線段，都是由點組成的，屬于同一屬性的幾何點集.我們不能把這部分無窮點集與那部分無窮點集搞“一一對應(yīng)”.

那么能不能比較1，2，3…與12，22，32…； 與 的多少大小呢？答案是：肯定能.標(biāo)準(zhǔn)只有一個，數(shù)學(xué)里的一一對應(yīng).要比較1，2，3…與12，22，32…的多少，就把它們置于數(shù)軸之上，看它們在相同的數(shù)域里，誰的數(shù)多.顯然，在數(shù)軸的正半軸上，不管把數(shù)域擴展多遠，在同樣大的數(shù)域里，表示自然數(shù)的點總比表示平方數(shù)的點多得多.所以我們毫不客氣地說：“1，2，3…比12，22，32…多.”同樣我們把 和 也放在數(shù)軸上任何部位，都可以看出，線段a表示的數(shù)域要比線段b表示的數(shù)域小的多.數(shù)域小，與數(shù)對應(yīng)的點就少；數(shù)域大，與數(shù)對應(yīng)的點就多.所以，線段a上的點要比線段b上的點少.我們給這種比較法起個名字，叫做“數(shù)域比較法”.看來，“超限數(shù)論”的研究必須把數(shù)與形結(jié)合起來，否則，將不是一門完美的數(shù)學(xué).

對于“數(shù)域比較法”，我想其基本內(nèi)容應(yīng)當(dāng)有四點.其一，要比較兩條線段上含點的多少，要把它們放在數(shù)軸上，用實數(shù)域去比較.其二，要比較兩塊面積里含點多少，要把它們放在平面直角坐標(biāo)系里，用實數(shù)對（或復(fù)數(shù)域）去比較.其三，要比較兩塊體積里含點的多少，要把它們放在空間直角坐標(biāo)系中，用三個有序?qū)崝?shù)組（或三位向量域）來比較.其四，要比較一塊體積，一塊面積，一條直線之間誰含點的多少，那將是一個更加復(fù)雜，更加困難的數(shù)學(xué)方法問題.說復(fù)雜困難 ，意思是說應(yīng)承認0能做除數(shù).對這四個基本內(nèi)容，我想應(yīng)寫一本書，來專門闡述它.為了加深讀者對數(shù)域比較法和0與∝參與數(shù)學(xué)運算的理解，請看我的第二篇論文《論“超限數(shù)論”的理論基礎(chǔ)》.

7.由00=∝∝=1（宇宙）推想到的：既然宇宙是一個從0→∝的對立統(tǒng)一體，那么宇宙間的物質(zhì)就應(yīng)是從無限小的微粒到無限大的粒體構(gòu)成.“無限小”和“無限大”怎樣理解，這應(yīng)由天文學(xué)家、物理學(xué)家和化學(xué)家來推斷，來定義.而浩瀚的宇宙就應(yīng)是這些大小不同、性質(zhì)不一的物質(zhì)粒體的物質(zhì)實體.且不說這些大小不同的物質(zhì)粒體其本身性質(zhì)的區(qū)別和它們之間的聯(lián)系，但可懇切地說，它們都有一個共同的屬性，那就是運動.也正是有了這些運動的物質(zhì)，才出現(xiàn)了各種形式的能，才形成了這個活生生客觀存在的過去宇宙，現(xiàn)代宇宙和未來宇宙.宇宙間的一切現(xiàn)象和存在，都是物質(zhì)運動的結(jié)果.光、電、聲、磁、場、星體、星云、“以太”等，無不是物質(zhì)運動的結(jié)果.沒有物質(zhì)的運動，就沒有我們居住的地球，也沒有現(xiàn)在這個生機勃勃的世界.更沒有我們現(xiàn)代的文明人類.如果說生命是物質(zhì)的高級運動，那么文明是物質(zhì)的超級運動.先有物質(zhì)，后有精神.精神是物質(zhì)的超級運動，是后天形成的.我們驚呼：物質(zhì)萬歲！唯物論萬歲！沒有物質(zhì)和物質(zhì)的運動就沒有一切！

8.結(jié)語：0能不能做除數(shù)，在數(shù)學(xué)教科書里總是把它說成“0做除數(shù)無意義”而被處以“死刑”.科技發(fā)展到21世紀(jì)的今天，這個古老而又基本的數(shù)學(xué)問題，是應(yīng)到了該解決的時候了.我認為應(yīng)把0從“0做除數(shù)無意義”中解放出來.這對于人類從理論上，從客觀上認識宇宙，具有很重要的意義.數(shù)是人類對客觀世界的抽象，反過來，他也反映和揭示了客觀世界.我認為我想的寫的是真理.“真理哪怕只見到一線我們也不能讓它的光輝變得暗淡.”可是自己的科技水平、數(shù)學(xué)水平有限，本文一般都是在自然數(shù)或正數(shù)范圍內(nèi)闡述的，只是一個框架.因此，我誠心希望貴刊貴報能全文發(fā)表我的稿文，引起爭鳴.好讓廣大的教師、數(shù)學(xué)界、科技界一起來法難，來充實完善，來認可.以求得祖國數(shù)學(xué)事業(yè)的發(fā)展，人類科技的進步.