許歡

摘 要：有限差分法是地球物理波長(zhǎng)正演中常用的一種方法，該方法以差分方程的形式來(lái)代替微分方程，從而使整個(gè)計(jì)算過(guò)程變成差分方程的代數(shù)方程組的計(jì)算，以此實(shí)現(xiàn)微分積分方程的數(shù)值求解。區(qū)域離散化，近似替代，逼近求解是有限差分的主要方法，通過(guò)該方法能求得波場(chǎng)正演的數(shù)值解。

關(guān)鍵詞：有限差分；離散；近似；波場(chǎng)

一、引言

地震波是指從震源產(chǎn)生向四外輻射的彈性波。地震發(fā)生時(shí)，震源區(qū)的介質(zhì)發(fā)生急速的破裂和運(yùn)動(dòng)，這種擾動(dòng)構(gòu)成一個(gè)波源。由于地球介質(zhì)的連續(xù)性，這種波動(dòng)就向地球內(nèi)部及表層各處傳播開去，形成了連續(xù)介質(zhì)中的彈性波。波場(chǎng)、地震波場(chǎng)，指有地震波傳播的空間。在這個(gè)空間的每一點(diǎn)上，一定時(shí)刻都有一定的波前通過(guò)，波的能量也按—定的規(guī)律傳播。當(dāng)我們按照順時(shí)間軸方向研究波場(chǎng)的狀態(tài)問題的時(shí)候，如果研究的就是波場(chǎng)的正演問題，進(jìn)行的計(jì)算機(jī)數(shù)值模擬，就是正演模擬。地震波正演模擬，實(shí)際上，是在給出地球模型，包括整個(gè)地球或者地球局部地質(zhì)結(jié)構(gòu)。在假定地球?yàn)閺?fù)雜彈性介質(zhì)的前提下，用相應(yīng)的地球物理學(xué)的某種場(chǎng)方程，去求解地表或地下相應(yīng)的某種場(chǎng)的響應(yīng)函數(shù)，就地震波場(chǎng)而言，就是震源。

二、有限差分法

地球物理學(xué)科中的地震勘探，運(yùn)用計(jì)算機(jī)數(shù)值模擬波動(dòng)方程的正反演情況，就是把復(fù)雜地質(zhì)結(jié)構(gòu)中的彈性地震波，用數(shù)學(xué)物理方程的雙曲方程的波動(dòng)方程表達(dá)出來(lái)，之后采用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行處理。地震波波長(zhǎng)數(shù)值模擬的研究，可以直接應(yīng)用在地震資料的采集、處理和解釋工作中。其研究的方向主要是波動(dòng)方程的數(shù)學(xué)表達(dá)式、數(shù)值求解方法和計(jì)算機(jī)算法設(shè)計(jì)。為了得到更優(yōu)化的數(shù)值求解方法，該學(xué)科還會(huì)研究網(wǎng)格剖分的離散化方法和傅立葉有限差分等轉(zhuǎn)化方法。雙曲型偏微分方程（Hyperbolic partial differential equations）：是描述振動(dòng)或波動(dòng)現(xiàn)象的偏微分方程。它的一個(gè)典型例子，是波動(dòng)方程和n=1時(shí)的波動(dòng)方程?？捎脕?lái)描述弦的微小橫振動(dòng)，稱為弦振動(dòng)方程。這是最早得到系統(tǒng)研究的一個(gè)偏微分方程。聲波方程是波動(dòng)方程，波動(dòng)方程是雙曲型偏微分方程。

有限差分法的第一步是對(duì)求解域進(jìn)行網(wǎng)格剖分。網(wǎng)格剖分的方式，會(huì)直接影響到差分格式的形式，和計(jì)算的精確度。是有限差分法的最重要步驟之一。根據(jù)不同的網(wǎng)格剖分方法，還可以得到不同的有限差分方法，因?yàn)樗鼈儽旧硪蟮木W(wǎng)格剖分方式、差分格式等，都不同?，F(xiàn)在主流的網(wǎng)格剖分方法主要是正交網(wǎng)格法和交錯(cuò)網(wǎng)格法。交錯(cuò)網(wǎng)格是相對(duì)于正交網(wǎng)格而言的，主要目的是通過(guò)尋找一種新的網(wǎng)格剖分方法提高計(jì)算的精確度。一般有限差分教材上使用的都是正交網(wǎng)格的剖分方式。所謂交錯(cuò)網(wǎng)格就是將u、v及壓力p（以及其他標(biāo)量和物性參數(shù)）分別存儲(chǔ)于三套不同網(wǎng)格，此時(shí)相鄰兩節(jié)點(diǎn)的壓力構(gòu)成了動(dòng)量方程中的壓力梯度，這就很好地解決了采用非交錯(cuò)網(wǎng)格時(shí)遇到的問題，因而，在二維直角坐標(biāo)系下交錯(cuò)網(wǎng)格布局得到廣泛的應(yīng)用。

三、有限差分原理

有限差分法的基本思想，是把連續(xù)的微分方程定值解的求解區(qū)域，用有限個(gè)節(jié)點(diǎn)來(lái)離散的表示。每個(gè)節(jié)點(diǎn)的參數(shù)，都是原方程的參數(shù)或者相關(guān)參數(shù)。其求解過(guò)程，就是在整個(gè)求解區(qū)域上，進(jìn)行網(wǎng)格剖分后的遞推求解。把連續(xù)的求解區(qū)域用網(wǎng)格剖分成有限個(gè)節(jié)點(diǎn)之后，原來(lái)的連續(xù)函數(shù)再由泰勒展式展開，就可以得到原微分方程的差分方程。把求解區(qū)域離散化，得到原微分方程的近似解，再用插值等方法近似的得到原連續(xù)方程的解。這是一種近似化的求解方法。在采用數(shù)值計(jì)算方法求解偏微分方程時(shí)，若將每一處導(dǎo)數(shù)由有限差分近似公式替代，從而把求解偏微分方程的問題轉(zhuǎn)換成求解代數(shù)方程的問題，即所謂的有限差分法。有限差分法求解偏微分方程的步驟如下：

（1）區(qū)域離散化，即把所給偏微分方程的求解區(qū)域細(xì)分成由有限個(gè)格點(diǎn)組成的網(wǎng)格；

（2）近似替代，即采用有限差分公式替代每一個(gè)格點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)；

（3）逼近求解。換而言之，這一過(guò)程可以看作是用一個(gè)插值多項(xiàng)式及其微分來(lái)代替偏微分方程的解的過(guò)程。

當(dāng)?shù)玫讲罘址匠痰慕庵?，這個(gè)解就是我們所求的原微分方程的數(shù)值解。這個(gè)數(shù)值解，是原微分方程的連續(xù)解的逼近。我們可以通過(guò)插值等擬合方法，去得到原微分方程的更逼近的解。

網(wǎng)格剖分的方法，有：均勻剖分和不均勻剖分。均勻網(wǎng)格剖分容易編程，但是不均勻網(wǎng)格剖分易于表達(dá)不均勻介質(zhì)。有限差分法還有幾個(gè)重要概念，是相容性、收斂性和穩(wěn)定性。相容性，是指差分方程與原方程接近的性質(zhì)。可以數(shù)學(xué)證明，當(dāng)網(wǎng)格剖分至無(wú)窮小時(shí)，差分方程與原微分方程的接近程度滿足給定誤差。只有相容的差分方程才有意義，否則與原方程不具有等價(jià)性，無(wú)法使用。收斂性，是指當(dāng)空間步長(zhǎng)x和時(shí)間步長(zhǎng)t趨近于0時(shí)，有限差分方程的解也無(wú)線逼近于原方程的連續(xù)解的性質(zhì)。收斂性是對(duì)一個(gè)差分方程能否用來(lái)表達(dá)一個(gè)微分方程離散形式的指標(biāo)。不收斂的差分方程不能用來(lái)表達(dá)給定的微分方程，因?yàn)樗鼰o(wú)法得到該微分方程的真解。收斂性和相容性有區(qū)別而且缺一不可。相容的差分方程如果不收斂于給定的微分方程，則不能用于作為其離散形式。穩(wěn)定性，是指差分方程在數(shù)值求解的過(guò)程中，對(duì)誤差傳遞的控制能力。穩(wěn)定性有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明。其原理，是微分方程有限差分法數(shù)值解，是按照時(shí)間步長(zhǎng)和空間步長(zhǎng)逐層遞進(jìn)的，穩(wěn)定性原理就是從這個(gè)過(guò)程的角度來(lái)設(shè)計(jì)算法，達(dá)到對(duì)誤差的控制的。不穩(wěn)定的差分方程，不具有可用性。

四、結(jié)論

有限差分?jǐn)?shù)值法作為地震波長(zhǎng)正演的一種重要方法正在被廣泛使用。微分方程有限差分?jǐn)?shù)值求解法，就是把原微分方程在求解區(qū)域上通過(guò)網(wǎng)格剖分的離散化方式，通過(guò)對(duì)時(shí)間間隔和空間間隔的逐層遞推計(jì)算，得到原微分方程的連續(xù)解的近似解，這種解就是數(shù)值解，其中，在離散網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上得到差分格式的數(shù)學(xué)方法是用泰勒展開式求得該節(jié)點(diǎn)處的差分格式。差分方程有其必須滿足的性態(tài)，包括：網(wǎng)格剖分方法、相容性、穩(wěn)定性和收斂性等。

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（作者單位：成都理工大學(xué)地球物理學(xué)院）