趙彥青 蕭蘊(yùn)詩(shī)

（同濟(jì)大學(xué)電子與信息工程學(xué)院，上海201804）

基于稀疏表示的非零井源距VSP波場(chǎng)分離方法

趙彥青*蕭蘊(yùn)詩(shī)

（同濟(jì)大學(xué)電子與信息工程學(xué)院，上海201804）

隨著垂直地震剖面（VSP）技術(shù)的不斷發(fā)展，高保真的波場(chǎng)分離成為VSP資料處理與應(yīng)用的關(guān)鍵之一。引入欠定盲源分離思想，利用VSP波場(chǎng)的極化特征及多分量資料在時(shí)頻域的稀疏性，提出一種基于稀疏表示的波場(chǎng)分離方法。該方法分為兩步：第一步將地震信號(hào)變換到時(shí)頻域，并估計(jì)極化矩陣；第二步在時(shí)頻域分離各單一波場(chǎng)，再反變換回時(shí)間域。在第二步波場(chǎng)分離過(guò)程中，針對(duì)時(shí)頻域波場(chǎng)稀疏性不足的情況，提出一種改進(jìn)的最短路徑分解法，在一定程度上解決了時(shí)頻域局部信號(hào)混疊的問(wèn)題。模型試算與實(shí)際資料處理結(jié)果表明，與傳統(tǒng)方法相比該方法能夠更準(zhǔn)確地分離上、下行P-P波、P-SV波，分離后的波場(chǎng)保幅性較好，不存在混波、假頻以及邊界問(wèn)題。

非零井源距VSP 多分量 波場(chǎng)分離 欠定盲源分離 稀疏表示

1 引言

垂直地震剖面（VSP）是一種地面激發(fā)、井中觀測(cè)的地震勘探技術(shù)。與地面地震資料相比，VSP資料信噪比和分辨率高，具有更明顯的地震波運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)特征。由于觀測(cè)方式的特殊性，VSP資料波場(chǎng)非常豐富，不同的波場(chǎng)能夠解釋不同的地球物理現(xiàn)象，因而高保真的波場(chǎng)分離是VSP資料處理的關(guān)鍵之一。

傳統(tǒng)的VSP波場(chǎng)分離方法有很多，按照數(shù)據(jù)類型可分為兩類：一類是針對(duì)單分量數(shù)據(jù)的波場(chǎng)分離，其中有的方法根據(jù)不同波場(chǎng)視速度差異進(jìn)行數(shù)學(xué)變換，在變換域內(nèi)完成波場(chǎng)分離再反變換，如f-k濾波、Radon變換等［1］，還有的方法對(duì)某一類型波場(chǎng)進(jìn)行衰減或增強(qiáng)，達(dá)到波場(chǎng)分離的目的，如中值濾波、均值濾波等；另一類是基于多分量數(shù)據(jù)的波場(chǎng)分離，如根據(jù)不同波場(chǎng)極化特征的極化濾波方法、變速視慢度法等［2-5］。這些方法都有各自的優(yōu)勢(shì)，但也存在一定的缺陷。常規(guī)f-k濾波、Radon變換法都會(huì)引起波場(chǎng)的畸變；中值濾波在分離上行P-P波、P-SV波時(shí)會(huì)造成有效波場(chǎng)損傷，并且存在邊界問(wèn)題；常規(guī)極化濾波雖然具有較好的保幅性，但采用直達(dá)波傳播方向確定極化角僅在直達(dá)P波與上行P-P波極化方向完全正交時(shí)分離效果較好。針對(duì)傳統(tǒng)方法的不足，Wang等［6］提出了利用檢波點(diǎn)位置的速度與密度等參數(shù)在τ-P域?qū)崿F(xiàn)多分量地震數(shù)據(jù)P波與SV波的分離；Blias［7］提出一種 wave-by-wave波場(chǎng)分離方法，根據(jù)振幅與視速度的不同實(shí)現(xiàn)逐波分離；王成禮［8］根據(jù)不同觀測(cè)方式下VSP的波場(chǎng)特征提出了不同的波場(chǎng)分離方法；杜婧等［9］通過(guò)估計(jì)局部斜率參數(shù)分離VSP波場(chǎng)，克服了傳統(tǒng)方法的濾波閾值鑲邊問(wèn)題；崔汝國(guó)等［10］提出了浮動(dòng)坐標(biāo)系極化濾波，建立極化方向隨深度變化的濾波坐標(biāo)系，提高了極化濾波的精度；孫文博等［11］提出一種基于參數(shù)反演的矢量波場(chǎng)分離方法，在分離波場(chǎng)的同時(shí)反演出速度、極化角等參數(shù)；馬志霞等［12］進(jìn)一步對(duì)多種VSP波場(chǎng)分離方法進(jìn)行了對(duì)比，取得了良好的應(yīng)用效果；Jiang等［13］利用高精度拋物線Radon變換分離P-P波與P-SV波波場(chǎng)，提高了波場(chǎng)分離的精度。

盲源分離（BSS）理論是現(xiàn)代信號(hào)處理領(lǐng)域的一個(gè)嶄新的研究方向。這里的“盲”有兩層含義：一是源信號(hào)不能被觀測(cè)；二是傳輸信道不可知或者難以估計(jì)。盲源分離算法對(duì)系統(tǒng)的先驗(yàn)知識(shí)要求甚少，具有廣闊的應(yīng)用前景，近年被引入地震資料波場(chǎng)分離領(lǐng)域［14］。Van der Baan［15］提出了在τ-P域利用獨(dú)立分量分析（ICA）分離PP波與PS波，僅利用二者統(tǒng)計(jì)上的區(qū)別，而無(wú)須知道速度、密度等參數(shù)；Vrabie等［16］提出高階奇異值分解（HOSVD）和單峰獨(dú)立分量分析子空間算法，在波場(chǎng)分離過(guò)程中具有較好的抗噪性；Liu等［17］提出了基于信息最大化原則的地震信號(hào)盲源分離方法，利用高階統(tǒng)計(jì)量分離多次波。

將不同類型的VSP波場(chǎng)看作彼此獨(dú)立的源信號(hào)，多分量VSP波場(chǎng)分離問(wèn)題屬于典型的欠定盲源分離（UBSS）問(wèn)題，即觀測(cè)信號(hào)（VSP分量）個(gè)數(shù)小于源信號(hào)（VSP波場(chǎng)）個(gè)數(shù)。目前，基于稀疏表示（SR）的方法已經(jīng)成為欠定盲源分離主要方法。本文利用VSP波場(chǎng)的極化特征，提出一種基于稀疏表示的VSP波場(chǎng)分離方法，該方法能夠同時(shí)分離出上、下行P-P波、P-SV波，既保留了極化濾波保幅性較好的優(yōu)勢(shì)，又不存在二維濾波產(chǎn)生的波場(chǎng)畸變問(wèn)題。

2 欠定盲源分離問(wèn)題

假設(shè)有N個(gè)未知的源信號(hào)s1（t），s2（t），…，s N（t），經(jīng)過(guò)一個(gè)未知的混合系統(tǒng)后，得到M個(gè)觀測(cè)信號(hào)x1（t），x2（t），…，x M（t），不考慮噪聲的影響，則瞬時(shí)線性混合模型的數(shù)學(xué)描述為

式中aij為混合系數(shù)。式（1）可以寫(xiě)成矩陣形式

其中：X是M×T維的觀測(cè)信號(hào)矩陣；S為N×T維的源信號(hào)矩陣；A表示M×N維混合矩陣。盲源分離的主要任務(wù)就是在僅通過(guò)觀測(cè)信號(hào)X來(lái)獲取源信號(hào)S的估計(jì)。對(duì)于M=N的情況，經(jīng)典的盲源分離方法通過(guò)尋找一個(gè)分離矩陣W來(lái)完成源信號(hào)的估計(jì)，即

對(duì)于非零井源距VSP（Offset VSP），定義三分量檢波器三個(gè)分量接收的記錄為r x、r y、rz，在各向同性介質(zhì)中，SH波經(jīng)過(guò)檢波器定位后完全被旋轉(zhuǎn)到y(tǒng)分量（即與炮檢平面垂直的方向），P-P波與P-SV波則旋轉(zhuǎn)到x-z平面（即炮點(diǎn)檢波點(diǎn)所在的平面）。因?yàn)镾H波較容易分離，本文主要考慮P-P波與P-SV波的分離。為了書(shū)寫(xiě)方便，仍用r x表示檢波器定位后的x分量。

圖1 檢波器定位后的VSP波場(chǎng)（x-z平面）

檢波器定位后的x-z平面如圖1所示。在某一時(shí)刻t，定義檢波器接收的上行P-P波為uP，上行P-SV波為uSV，下行P-P波為dP，下行P-SV波為dSV，水平分量為r x，垂直分量為rz，θuP、θuSV、θdP、θuSV分別為上行P-P波、上行P-SV波、下行P-P波、下行P-SV波傳播方向與x軸的夾角，即各個(gè)單一波場(chǎng)的極化角，存在如下關(guān)系

上式可以簡(jiǎn)寫(xiě)為

式中：r為t時(shí)刻x、z兩分量記錄；p為極化矩陣，其元素即為各個(gè)單一波場(chǎng)的傳播方向分別在x、z軸上的單位矢量投影；s為t時(shí)刻各上、下行P-P波、P-SV波單一波場(chǎng)。可以看出，在p未知、s也未知的情況下，僅憑r來(lái)估計(jì)s是典型的欠定盲源分離問(wèn)題，極化矩陣p即為盲源分離問(wèn)題中的混合矩陣，s為源信號(hào)。

3 基于稀疏表示的VSP波場(chǎng)盲分離

稀疏表示的數(shù)學(xué)模型與盲源分離模型一致，也可以用式（5）表示，稀疏表示的目標(biāo)就是估計(jì)恰當(dāng)?shù)膒與s，使s盡可能稀疏。稀疏性有兩層含義：其一是指源信號(hào)本身服從稀疏分布，大多數(shù)時(shí)刻取值為零或接近于零；其二是在某一時(shí)刻，只有很少的源信號(hào)取值較大。如果信號(hào)本身的稀疏性并不理想，則需要進(jìn)行某種線性變換T，使信號(hào)在變換域內(nèi)更具有稀疏性。由于T是線性變換，極化矩陣在變換前后保持不變，由式（5）可得

由于VSP波場(chǎng)復(fù)雜，單一波場(chǎng)在時(shí)間域的稀疏性較差，因而首先采用短時(shí)傅里葉變換（STFT）或小波變換將地震信號(hào)從時(shí)間域變換到時(shí)頻域，在時(shí)頻域進(jìn)行波場(chǎng)分離后，再將分離的波場(chǎng)變換回時(shí)間域。

3.1 極化矩陣的估計(jì)

傳統(tǒng)的極化濾波方法認(rèn)為直達(dá)P波的極化方向與上行P-SV波極化方向相同，而上行P-P波與下行P-SV波的極化方向相同，因而利用直達(dá)P波計(jì)算極化角，通過(guò)極化濾波分離上行P-P波與上行P-SV波。這種做法有很大缺陷：一是時(shí)直達(dá)P波與上行P-SV波極化方向不同；二是隨著地層深度的增加，各個(gè)波場(chǎng)的極化角是變化的，利用單一的直達(dá)P波極化角對(duì)整道數(shù)據(jù)進(jìn)行極化濾波顯然不合理，因此必須對(duì)極化角進(jìn)行時(shí)變估計(jì)。

首先將地震記錄r變換到時(shí)頻域，r的STFT可以表示為

式中：h為窗函數(shù)；t為時(shí)間；ω為角頻率。由于STFT是線性變換，式（6）可以寫(xiě)為

在時(shí)頻域?qū)烙?jì)極化角做如下假設(shè)。

（1）在以某一時(shí)刻tj為中心的時(shí)頻窗（tj，ωk）內(nèi)僅有單一波場(chǎng)Si發(fā)育，即

式中：Si是時(shí)間域源信號(hào)s i的STFT；j為時(shí)間采樣點(diǎn)；k為頻率采樣點(diǎn)。顯然存在

式中：Rz（tj，ωk）、Rx（tj，ωk）分別為z分量和x分量的STFT變換；αi為各單一波場(chǎng)的極化角。

（2）在以t j為中心開(kāi)始的連續(xù)K個(gè)時(shí)頻窗內(nèi)，各單一波場(chǎng)的極化角保持不變，即

計(jì)算K個(gè)時(shí)窗內(nèi)的極化角均值與方差，即

如果在K個(gè)時(shí)頻窗內(nèi)存在var（αi）=0，則說(shuō)明此時(shí)僅存在單一波場(chǎng)Si，且其極化角為（t j，ωk）。逐一計(jì)算掃描整個(gè)時(shí)頻域數(shù)據(jù)，得到所有的單源時(shí)頻點(diǎn)及相應(yīng)的極化角簇（l=1，2，…，L）。采用K-means聚類算法，將按照波場(chǎng)類型聚成4類φ=｛φ1，φ2，φ3，φ4｝，假設(shè)每類中的元素?cái)?shù)為H=｛H1，H2，H3，H4｝，類心為，同一類之間的緊密程度定義為

3.2 單一波場(chǎng)的估計(jì)

對(duì)于欠定盲源分離，即使已知混合矩陣，源信號(hào)依然是多解的。稀疏表示的最終目標(biāo)是得到最稀疏的s，也就是說(shuō)使s中盡可能多的元素取值為零，數(shù)學(xué)上可以歸結(jié)為L(zhǎng)0范數(shù)優(yōu)化問(wèn)題

式中：為s的估計(jì)；為L(zhǎng)0范數(shù)稀疏測(cè)度。雖然L0范數(shù)最能體現(xiàn)稀疏性的含義，但是求解對(duì)噪聲太敏感、魯棒性差，因而難以有效實(shí)現(xiàn)，所以Donoho等［19］建議采用L1范數(shù)稀疏測(cè)度代替L0范數(shù)，即

單一波場(chǎng)的估計(jì)仍在時(shí)頻域進(jìn)行，按照稀疏性理想程度分以下幾種情形進(jìn)行分析。

（1）如果在時(shí)頻域單一波場(chǎng)源信號(hào)足夠稀疏，即在每一個(gè)以t j為中心的時(shí)頻窗（t j，ωk）內(nèi)僅有唯一的單一波場(chǎng)Si發(fā)育，則最小L1范數(shù)解能夠非常好地逼近單一波場(chǎng)源信號(hào)，有

式中αi（t j，ωk）為當(dāng)前時(shí)頻窗內(nèi)單一波場(chǎng)Si的極化角。

（2）如果在每一個(gè)以tj為中心的時(shí)頻窗（tj，ωk）內(nèi)僅有兩種波場(chǎng)發(fā)育，此時(shí)可以用最短路徑分解法對(duì)波場(chǎng)進(jìn)行估算。圖2a為最短路徑分解法示意圖，在Rx-R z平面中，O為原點(diǎn)，R為觀測(cè)信號(hào)在時(shí)頻域中的某一點(diǎn)，其矢量方向與R x軸的夾角為θ，即當(dāng)前時(shí)刻的極化角可由式（10）計(jì)算。a1和a2為離θ最近的兩種波場(chǎng)的基矢量，也是極化矩陣的列向量。沿著a1和a2的方向做平行四邊形，分解向量R，則有

（3）如果在每一個(gè)以t j為中心的時(shí)頻窗（tj，ωk）內(nèi)不少于三種波場(chǎng)發(fā)育，由于多源干涉，最短路徑分解法對(duì)源信號(hào)的估計(jì)效果會(huì)較差。下面以三種單一波場(chǎng)源信號(hào)為例，提出一種改進(jìn)的最短路徑分解法。

如圖2b所示，a1和a2仍為離θ最近的兩種波場(chǎng)的基矢量，a3為離θ較遠(yuǎn)的波場(chǎng)基矢量，有

圖2 最短路徑分解法及其改進(jìn)方法示意圖

首先通過(guò)以上方法估計(jì)離tj最近時(shí)刻t′j的單源頻率點(diǎn)。由VSP真振幅恢復(fù)的補(bǔ)償公式可推導(dǎo)出與的關(guān)系

式中n為補(bǔ)償因子，可利用tj與t′j段的時(shí)間—能量對(duì)進(jìn)行最小平方擬合獲得。

根據(jù)以上假設(shè)條件，基矢量a3在一定時(shí)間段內(nèi)保持不變，即

將向量R與a3方向的向量作矢量相減，有

然后再利用最短路徑法分解R′，估計(jì)出與，就完成了全部單一波場(chǎng)的估計(jì)。

綜上所述，基于稀疏表示的VSP波場(chǎng)盲分離包括以下幾個(gè)步驟：

（1）對(duì)原始的VSP水平分量做檢波器定位，得到定位后的x分量；

（2）對(duì)定位后的x分量與原始z分量做STFT，將信號(hào)變換到時(shí)頻域；

（3）將時(shí)頻窗按時(shí)間分段，估算各時(shí)間段內(nèi)單一波場(chǎng)的極化角；

（4）在時(shí)頻域內(nèi)應(yīng)用改進(jìn)的最短路徑分解法，估算各時(shí)間段內(nèi)的單一波場(chǎng)；

（5）對(duì)時(shí)頻域的單一波場(chǎng)做STFT反變換，得到時(shí)域的單一波場(chǎng)。

4 數(shù)值計(jì)算

4.1 模型試算

采用如圖3a所示的三層水平模型，檢波器起始深度為500m，共100級(jí)，級(jí)間距為20m，井源距為1000m。圖3b、圖3c分別為正演模擬的非零井源距VSP水平分量記錄與垂直分量記錄，可以看出，記錄中包含上、下行P-P波與上、下行P-SV波多種類型的波場(chǎng)。由于極化方向不同，各個(gè)波場(chǎng)在水平分量與垂直分量記錄上的強(qiáng)弱關(guān)系也不同。

圖3 模型示意圖及正演模擬記錄

圖4為模型數(shù)據(jù)波場(chǎng)分離結(jié)果，可以看出，f-k濾波分離的上行P-P波中仍含有下行波的痕跡（圖4a中橢圓內(nèi)），這是由于二維傅里葉變換會(huì)產(chǎn)生空間假頻問(wèn)題。中值濾波分離的上行P-P波中仍存在下行波、上行P-SV波的痕跡（圖4b中橢圓內(nèi)）。一方面中值濾波對(duì)排齊要求較高，而對(duì)于非零井源距VSP，不同深度界面反射的波場(chǎng)無(wú)法同時(shí)排齊，造成濾波后仍存在殘余波場(chǎng)能量；另一方面中值濾波存在邊界效應(yīng)，在邊界處無(wú)法完全分離單一波場(chǎng)。由于在時(shí)頻域單一波場(chǎng)的稀疏性較好，通過(guò)本文方法分離的上行P-P波質(zhì)量較高，既沒(méi)有二維濾波帶來(lái)的波場(chǎng)畸變，又考慮了波場(chǎng)的偏振特征，因而具有較好的保幅性。

4.2 實(shí)際資料處理

圖5是實(shí)際非零井源距VSP資料。由于原始地震記錄上存在噪聲，而本文討論的數(shù)學(xué)模型是無(wú)噪的，因而先對(duì)記錄進(jìn)行隨機(jī)噪聲衰減，再進(jìn)行波場(chǎng)分離。圖6為實(shí)際資料波場(chǎng)分離結(jié)果?？梢钥闯觯篺-k濾波分離的波場(chǎng)存在混波現(xiàn)象（圖6a中橢圓內(nèi)）；中值濾波分離的波場(chǎng)信噪比較低，存在明顯的下行波殘余能量（圖6b中橢圓內(nèi)），且同相軸連續(xù)性較差；本文方法分離的波場(chǎng)同相軸清晰，波場(chǎng)連續(xù)，分離效果優(yōu)于f-k濾波與中值濾波。

5 結(jié)論

本文介紹了盲源信號(hào)分離的基本原理，在此基礎(chǔ)上提出了一種基于稀疏表示的VSP波場(chǎng)分離方法。該方法首先將VSP地震信號(hào)變換到時(shí)頻域，然后基于稀疏性假設(shè)對(duì)各個(gè)單一波場(chǎng)的極化角進(jìn)行估計(jì)，進(jìn)而估算極化矩陣，再根據(jù)各個(gè)單一波場(chǎng)在時(shí)頻域的極化特征，采用改進(jìn)的最短路徑法對(duì)單一波場(chǎng)進(jìn)行分離。由于極化矩陣在線性變換下保持不變，該方法能夠得到保真性較好的上、下行P-P波、PSV波，處理效果優(yōu)于傳統(tǒng)的f-k濾波與中值濾波。模型試算與實(shí)際資料處理效果驗(yàn)證了本文方法的有效性。

圖4 模型數(shù)據(jù)波場(chǎng)分離結(jié)果

圖5 檢波器定位后的實(shí)際非零井源距VSP資料

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A

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趙彥青，蕭蘊(yùn)詩(shī).基于稀疏表示的非零井源距VSP波場(chǎng)分離方法.石油地球物理勘探，2017，52（1）：27-33，55.

1000-7210（2017）01-0027-07

*上海市嘉定區(qū)曹安公路4800號(hào)同濟(jì)大學(xué)電子與信息工程學(xué)院，201804。Email：forrest_zyq＠163.com

本文于2016年3月28日收到，最終修改稿于同年11月13日收到。

本項(xiàng)研究受國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（40872090）資助。

（本文編輯：宜明理）

趙彥青 博士研究生，1981年生；2002年畢業(yè)于青島大學(xué)，獲工業(yè)自動(dòng)化專業(yè)學(xué)士學(xué)位；2006年畢業(yè)于同濟(jì)大學(xué)，獲控制理論與控制工程專業(yè)碩士學(xué)位；現(xiàn)為同濟(jì)大學(xué)控制理論與控制工程專業(yè)博士研究生，主要從事盲信號(hào)和地震信號(hào)處理及其方法研究。