朱慶云
【摘要】 數(shù)學(xué)解題是作為數(shù)學(xué)教師的教學(xué)基本功,體現(xiàn)了對數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)的掌握. 析題是把審題、分析、解答和回顧的思維過程按一定規(guī)律一定順序說出來,要求析題者暴露面對題目的思維過程,即說數(shù)學(xué)思維. 本文結(jié)合案例,探討初中數(shù)學(xué)的解題與析題.
一、解題與析題
近幾年隨著課程改革的不斷深入,讓我們看到豐富多彩、千變?nèi)f化的數(shù)學(xué)題目,雖然題型新穎、知識覆蓋面大,而且技巧性強,個別問題甚至奇妙獨特,但仔細推敲,還是運用一些常見的數(shù)學(xué)思想方法. 解題注重的是題目或源于數(shù)學(xué)問題的求解過程,即展示的重點是題目求解的結(jié)論.
析題關(guān)注的是學(xué)生對題目的理解以及數(shù)學(xué)問題的解決,這需要對問題的來源背景、延伸拓展、怎樣解題和為什么這樣解題等進行闡述,并對于題目的拓展和一題多解、一題多變等進行說明.
二、案例分析
案例 如圖,⊙O的直徑AB = 2,AM和BN是它的兩條切線,C,D分別是射線AM和BN上的動點(不與A,B重合且在直線AB的同側(cè)),設(shè)AC = x,BD = y,且滿足關(guān)系式y(tǒng) = 1/x.
(1)試判定直線CD與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由.
(2)當x為何值時,點B關(guān)于直線CD的對稱點B′恰好落在射線AM上?
本題涉及的知識點有:圓的知識;折疊問題;勾股定理;全等三角形的判定與性質(zhì);相似三角形的判定與性質(zhì). 題目的難點是學(xué)生無法將分散的條件集中到有效的圖形上進行解決,用好圓的知識和利用對稱原理是解決此題的關(guān)鍵.
(一)一題多思,培養(yǎng)思維的獨創(chuàng)性
牛頓說過:“沒有大膽的猜想就做不出偉大的發(fā)現(xiàn). ”中學(xué)生的想象力豐富,因此,可以通過例題所提供的結(jié)構(gòu)特點,鼓勵、引導(dǎo)學(xué)生大膽地猜想,以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維和發(fā)散思維.
(1)若要證明CD為切線,常用的方法是?O到CD的距離為多少?能算出來嗎?
(2)連接OC、OD, 則∠COD是什么角, 并證之.
(3)若CD為切線, 無論DC的兩個端點在AM、BN上如何移動請問線段AC, BD有什么關(guān)系, 并證明.
(4)假設(shè)點B關(guān)于直線CD的對稱點B′恰好落在射線AM上,應(yīng)有哪些策略?
1. 題型有何特征,解法有何規(guī)律?
2. 題目有哪些證法,其中哪些方法最簡便?
3. 題目的幾種證法中,輔助線添置有何規(guī)律?
4. 在題目的解決過程中,解題的關(guān)鍵何在?涉及哪些基礎(chǔ)知識?
5. 在題目的解決過程中,有哪些地方容易發(fā)生錯誤?應(yīng)注意什么問題?
評析:通過一題多思,不但能開闊學(xué)生的解題思路,而且啟發(fā)學(xué)生建立了課本例題,習題之間的聯(lián)系,使學(xué)生在做題時做到“遇新題,憶舊題,多思考,善聯(lián)想、多變換、找規(guī)律”. 從而培養(yǎng)了學(xué)生的應(yīng)變能力和創(chuàng)造性思維能力.
(二) 一題多解,培養(yǎng)思維的發(fā)散性
一題多解是從不同的視角、不同的方位審視分析同一問題中的數(shù)量、位置關(guān)系,用不同解法求得相同結(jié)果的思維過程. 通過探求同一問題的不同解法,可以引出相關(guān)的多個知識點和解題方案,有助于培養(yǎng)學(xué)生的洞察力和思維的變通性、獨創(chuàng)性,從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維的意識.
思路一:本小題欲證CD是切線,在沒有明確交點的情況下,可利用“r = d”的方法證明,即過O點作OE⊥CD,由于半徑為1,故求出OE = 1即可. 進而聯(lián)想到連接OC與OD,由題中y與x滿足的關(guān)系式y(tǒng) = 1/x,可以容易得出AC/OB =AO/OB,進而得出△AOC∽△BDO,利用∠AOC = ∠ODB,可證出△COD是Rt△,從而利用勾股定理可求出OC、OD、CD,最后通過等面積方法求得OE = 1.
思路二:欲證CD是切線,只需證得OE = OB,考慮到OE⊥CD,AB⊥BD,可證出OD是∠CDB的平分線即可,從而聯(lián)想到可構(gòu)造與△DOC全等的三角形. 考慮到點O為AB的中點,可知延長CO,即可得到△AOC ≌ △BOF,進而證得OC = OF. 由于∠COD = 90°,易得△DOC ≌ △DOF,故 OE = OB;
(三)一題多變,挖掘習題涵量
一題多變是題目結(jié)構(gòu)的變式,是指變換題目的條件或結(jié)論,或者變換題目的形式,而題目的實質(zhì)不變,以便從不同角度,不同方面揭示題目的本質(zhì),用這種方式進行教學(xué),能使學(xué)生隨時根據(jù)變化了的情況積極思索,設(shè)法想出解決的辦法,從而防止和消除呆板和僵化,培養(yǎng)思維的靈活性. 一題多變可以改變條件,保留結(jié)論;也可以保留條件,改變結(jié)論;或者同時改變條件和結(jié)論;也可以將某項條件與結(jié)論對換,等等.
多年的教學(xué)實踐使我深深地體會到:作為一名數(shù)學(xué)教師,應(yīng)加強對例題和習題教學(xué)的研究,具有較強代表性和典型性的習題是數(shù)學(xué)問題的精華,教學(xué)不要忽視了這些小題,要善于“借題發(fā)揮”,進行一題多解,一題多變,多題組合,引導(dǎo)學(xué)生去探索數(shù)學(xué)問題的規(guī)律性和方法,以達到“做一題、通一類、會一片”的教學(xué)效果,讓學(xué)生走出題海戰(zhàn)術(shù),真正做到輕負高質(zhì),這對激發(fā)學(xué)生學(xué)習的興趣,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維,創(chuàng)新能力,數(shù)學(xué)素質(zhì),都將起到積極的推動作用. 通過科學(xué)合理地使用教學(xué)素材進行一題多變教學(xué),為培養(yǎng)學(xué)生的個性特征和創(chuàng)新思維能力創(chuàng)造更廣闊的天地,正所謂“一題多變天地寬”.