朱博 高亮 朱建良

摘 要： 為了產(chǎn)生更為復(fù)雜的混沌吸引子，提出了一個(gè)十維三次混沌系統(tǒng)。通過Lyapunov指數(shù)分析，證明了該系統(tǒng)混沌吸引子的存在。為了驗(yàn)證系統(tǒng)的可實(shí)現(xiàn)性，設(shè)計(jì)了相應(yīng)的實(shí)現(xiàn)電路，結(jié)果表明，電路仿真與系統(tǒng)仿真的結(jié)果完全一致。最后將系統(tǒng)應(yīng)用于信號(hào)加密，收到了滿意的效果。為保密通信和信息加密等基于混沌的實(shí)際應(yīng)用提供了新的混沌信號(hào)源。

關(guān)鍵詞： 十維混沌系統(tǒng)； 仿真； 電路實(shí)現(xiàn)； 信號(hào)加密

中圖分類號(hào)： O 415.5，TM 132 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A 文章編號(hào)： 1671-2153（2016）03-0078-05

0 引 言

隨著信息技術(shù)的迅速發(fā)展，人們對(duì)信息的安全存儲(chǔ)和傳輸?shù)囊笠苍絹碓礁摺；煦缧盘?hào)因其具有非周期、連續(xù)寬頻帶、類噪聲以及長期不可預(yù)測等特點(diǎn)，特別適合于信息加密通信等各個(gè)領(lǐng)域。

目前，低維混沌的理論和方法已在諸多領(lǐng)域有了成功的應(yīng)用，但隨著研究的進(jìn)一步深入，發(fā)現(xiàn)高維混沌系統(tǒng)具有更為復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為，更好的隨機(jī)性和不可預(yù)測性，將高維混沌系統(tǒng)用于保密通信、圖像加密、文本加密和語音加密等領(lǐng)域中，將會(huì)具有更大的密鑰空間和更高的安全性。所以，研究高維混沌系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型及其實(shí)現(xiàn)電路具有重要的理論和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值[1-3]。

本文提出了一個(gè)十維三次混沌系統(tǒng)，具有較大的Lyapunov指數(shù)和更為復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為。并設(shè)計(jì)了相應(yīng)的實(shí)現(xiàn)電路，系統(tǒng)的Matalab仿真結(jié)果與所設(shè)計(jì)電路的Mutisim仿真結(jié)果完全一致，驗(yàn)證了系統(tǒng)的可實(shí)現(xiàn)性。最后應(yīng)用十維三次混沌系統(tǒng)進(jìn)行了信號(hào)加密，收到了滿意的結(jié)果。

1 十維三次混沌系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

由式（3）可以看出，包含系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)軌線的每個(gè)體積元都將以指數(shù)率e-95t收斂，它的漸近動(dòng)力學(xué)行為最終會(huì)被限制在一個(gè)固定點(diǎn)上。這說明十維三次混沌系統(tǒng)的混沌吸引子是存在的。

Lyapunov指數(shù)是表征某一系統(tǒng)是否處于混沌狀態(tài)的一個(gè)重要定量指標(biāo)，系統(tǒng)是否存在著非線性混沌動(dòng)力學(xué)行為，可以從其最大的Lyapunov指數(shù)是否大于零而非常直觀的判斷出來：系統(tǒng)只要有一個(gè)正的Lyapunov指數(shù)，就說明在系統(tǒng)的相空間中，無論兩條相軌跡線的初始間距多么小，其差別都將會(huì)隨著時(shí)間的演化而成指數(shù)率的增加最終導(dǎo)致無法預(yù)測，這就是混沌現(xiàn)象。正的Lyapunov指數(shù)越大，說明系統(tǒng)的混沌動(dòng)力學(xué)特性越復(fù)雜以及更加難以預(yù)測。

對(duì)十維三次混沌系統(tǒng)進(jìn)行Lyapunov指數(shù)分析，計(jì)算結(jié)果如圖1所示。

其中：LE1=1.29384，LE2=0，LE3=-2.01961，LE4=-6.57374， LE5=-9.66362， LE6=-11.1757，LE7=-13.0704， LE8=-16.0464， LE9=-18.2757，LE10=-20.4586；可見系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，而且具有較為復(fù)雜的混沌動(dòng)力學(xué)特性。

2 十維三次混沌系統(tǒng)的Matalab仿真結(jié)果

對(duì)十維三次混沌系統(tǒng)進(jìn)行Matalab仿真，結(jié)果顯示該系統(tǒng)存在所有的二維和三維混沌吸引子，其中部分吸引子如圖2所示。

3 十維三次混沌系統(tǒng)的電路設(shè)計(jì)與仿真結(jié)果

十維三次系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)電路如圖3所示。該電路由10路通道組成，每一個(gè)通道對(duì)應(yīng)一個(gè)變量x；每一通道電路由乘法器、反相加法比例運(yùn)算器、反相積分器和反相器組成；反相加法比例運(yùn)算器中的比例系數(shù)與系統(tǒng)方程系數(shù)一一對(duì)應(yīng)，其中乘法器可由兩個(gè)模擬乘法器元件AD633組合實(shí)現(xiàn)[5-7]。

對(duì)所設(shè)計(jì)的電路，做Mutisim電路仿真運(yùn)算，結(jié)果顯示出該電路存在所有的二維混沌吸引子，而且與系統(tǒng)的Matalab仿真結(jié)果完全一致。其中部分吸引子如圖4所示。

4 基于十維三次混沌系統(tǒng)的信號(hào)加密

混沌信號(hào)加密就是對(duì)原始信號(hào)采用混沌信號(hào)掩蓋，利用混沌掩蓋技術(shù)可以傳輸數(shù)字信號(hào)和模擬信號(hào)，其基本思想是以混沌同步信號(hào)為基礎(chǔ)，把需要加密的信號(hào)疊加到混沌信號(hào)上，達(dá)到信號(hào)保密傳輸?shù)哪康腫8-9]。

信號(hào)解密的基本原理就是將與發(fā)射端自相同步的混沌信號(hào)解調(diào)裝置放置在信號(hào)傳輸系統(tǒng)的接收端，將隱藏的混沌信號(hào)從接收到的信號(hào)中去掉，還原為原始信號(hào)，從而實(shí)現(xiàn)信號(hào)的解密。

圖5為信號(hào)加密的仿真模型。圖5（a）為1次信號(hào)迭加加密仿真模型；圖5（b）為待傳輸?shù)姆讲ㄐ盘?hào)；圖5（c）為方波信號(hào)經(jīng)過1次迭代加密后已經(jīng)失去原有特點(diǎn)變得無法辨認(rèn)。由圖5（d）可以看出，原始方波信號(hào)在經(jīng)過十維三次混沌系統(tǒng)多次加密后發(fā)生了更大程度的改變，已經(jīng)無法被識(shí)別出來，確保了信號(hào)在傳輸過程中的安全。

信號(hào)的解密過程就是信號(hào)加密的逆過程，只有知道原始混沌源和加密的相加減方式以及相應(yīng)的迭代次數(shù)才能進(jìn)行信號(hào)的解密，否則將無法破譯，如圖6所示。

如果把原始混沌信號(hào)源的各個(gè)混沌信號(hào)乘以某一倍數(shù)，以及相加減方式和迭代次數(shù)設(shè)置為密鑰將會(huì)大大增加解密難度，將會(huì)更加提高信號(hào)傳輸?shù)陌踩訹10]。

5 結(jié) 論

本文提出了一個(gè)十維三次混沌系統(tǒng)以及相應(yīng)的硬件實(shí)現(xiàn)電路，通過Lyapunov指數(shù)分析及系統(tǒng)仿真，得出如下結(jié)論：

（1）十維三次混沌系統(tǒng)具有較大的Lyapunov指數(shù)和更為復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為。系統(tǒng)的MATLAB仿真結(jié)果與相應(yīng)的實(shí)現(xiàn)電路的MULTISIM仿真結(jié)果完全一致，證明了該系統(tǒng)的可實(shí)現(xiàn)性。

（2）所設(shè)計(jì)的電路結(jié)構(gòu)對(duì)稱簡單，容易實(shí)現(xiàn)和調(diào)試。

（3）利用十維三次混沌系統(tǒng)對(duì)方波信號(hào)進(jìn)行加密、解密，得到了滿意的結(jié)論，說明了該系統(tǒng)的可應(yīng)用性。

隨著混沌研究的進(jìn)一步深入，設(shè)計(jì)并構(gòu)造出新的更高維數(shù)的混沌系統(tǒng)以及相應(yīng)的硬件實(shí)現(xiàn)電路，必將成為混沌理論和應(yīng)用研究的一個(gè)方向。

參考文獻(xiàn)：

[1] ZHU J L，ZHAO H C.Five-Dimensional Chaotic System and Its Circuitry mplementation[C]. 2nd International Congress on Image and Signal Processing，Tianjin，2009：4232-4236.

[2] ZHU J L，ZHANG D Q. Eight Dimension Seven-order Hyperchaotic System and Its Circuit Implementation [J]. IEEE International Conference on Measurement， Information and Control，2013：950-954.

[3] 禹思敏，丘水生，羅偉民. 混沌通信的研究進(jìn)展與綜合評(píng)述[J]. 桂林電子工業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào)：2000，20（1）：56-72.

[4] 王繁珍，齊國元，陳增強(qiáng). 一個(gè)四翼混沌吸引子[J]. 物理學(xué)報(bào)，2007，56（6）：3137-3144.

[5] 楊曉松，李清都. 混沌系統(tǒng)與混沌電路[M]. 北京：科學(xué)出版社，2007：26-45.

[6] 王光義，丘水生，許志益. 一個(gè)新的三維二次混沌系統(tǒng)及其電路實(shí)現(xiàn)[J]. 物理學(xué)報(bào)，2006，55（7）：3295-3300.

[7] 聶典. Multisim9計(jì)算機(jī)仿真在電子電路中的應(yīng)用[M]. 電子工業(yè)出版社，2007：1-50.

[8] 張博亞，張大慶，朱建良. 七維四次超混沌系統(tǒng)及其在信號(hào)加密中的應(yīng)用[J]. 自動(dòng)化技術(shù)與應(yīng)用，2013，32（11）：56-60.

[9] 張大慶，朱建良. 六維三次超混沌系統(tǒng)及其在圖像家加密的應(yīng)用[J]. 寧波職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2013，17（4）：79-82.

[10] 李昌剛，韓正之，張浩然. 一種隨機(jī)密鑰及“類標(biāo)準(zhǔn)映射”的圖像加密[J]. 計(jì)算機(jī)學(xué)報(bào)，2003，26（4）：465-470.

Abstract： In order to produce a more complex chaotic attractors， we presented a ten-dimensional three-order chaotic system. It has been proved that the system is chaotic attractors existence by Lyapunov exponent analysis. In order to verify that the system can be realized， in this paper， a corresponded circuit has been designed to implement it and the result of circuit simulation and system simulation was exactly same. Finally， applying the system to signal encryption and have received a satisfied result. This provides a new signal source of confidential communications and information encryption based on chaos practical application.

Keywords： 10-D chaos system； simulation； circuit implementation； signal encryption

（責(zé)任編輯：徐興華）