憧迷普巴

作為高中數(shù)學(xué)教學(xué)的貫穿線，高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，整個(gè)高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，函數(shù)的重要性總所周知。函數(shù)的性質(zhì)更是數(shù)學(xué)競(jìng)賽和數(shù)學(xué)高考的重點(diǎn)，更是高考熱點(diǎn)問(wèn)題，函數(shù)的對(duì)稱性是函數(shù)的眾多性質(zhì)中的一個(gè)，對(duì)稱性質(zhì)廣泛存在于數(shù)學(xué)各類問(wèn)題中，使用對(duì)稱性能更簡(jiǎn)捷地使問(wèn)題解決，對(duì)稱關(guān)系還充分體現(xiàn)中國(guó)建筑推崇的對(duì)稱之美。通過(guò)函數(shù)的對(duì)稱性來(lái)探討函數(shù)與對(duì)稱相關(guān)的知識(shí)。

一、 函數(shù)對(duì)稱性探究

首先我們先來(lái)一起研究函數(shù)對(duì)稱性的一些首要條件和結(jié)論，這對(duì)我們進(jìn)一步深入探究對(duì)稱性有很大的幫助。

定理1：函數(shù) y = f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)A（a，b）對(duì)稱的充要條件是：

f（x）+ f（2a-x）= 2b

證明：（必要性）設(shè)點(diǎn)P（x，y）是y = f（x）圖像上任一點(diǎn)，∵點(diǎn)P（x，y）關(guān)于點(diǎn)A（a，b）的對(duì)稱點(diǎn)P‘（2a-x，2b-y）也在y = f（x）圖像上，

∴ 2b-y = f（2a-x）

即y + f（2a-x）=2b故f（x）+ f（2a-x）= 2b，必要性得證。

（充分性）設(shè)點(diǎn)P（（x0，y0））是y = f（x）圖像上任一點(diǎn)，則y0 = f（x0）

∵ f（x）+ f（2a-x）=2b∴f（x0）+ f（2a-x0）=2b，

即2b-y0 = f（2a-x0）。

故點(diǎn)P‘（2a-x0，2b-y0）也在y = f（x）圖像上，而點(diǎn)P與點(diǎn)P‘關(guān)于點(diǎn)A（a，b）對(duì)稱，充分性得征。

由人教版2003年的數(shù)學(xué)教程所得到的以下一些相關(guān)的結(jié)論：

推論：函數(shù) y = f（x）的圖像關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的充要條件是f（x）+ f（-x）= 0

定理2.函數(shù) y = f（x）的圖像關(guān)于直線x = a對(duì)稱的充要條件是f（a +x）= f（a-x）即f（x）= f（2a-x）

推論：函數(shù) y = f（x）的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱的充要條件是f（x）= f（-x）

定理3.①若函數(shù)y = f（x）圖像同時(shí)關(guān)于點(diǎn)A（a，c）和點(diǎn)B（b，c）成中心對(duì)稱（a≠b），則y = f（x）是周期函數(shù)，且2| a-b|是其一個(gè)周期。

②若函數(shù)y = f（x）圖像同時(shí)關(guān)于直線x = a 和直線x = b成軸對(duì)稱（a≠b），則y = f（x）是周期函數(shù)，且2| a-b|是其一個(gè)周期。

③若函數(shù)y = f（x）圖像既關(guān)于點(diǎn)A（a，c）成中心對(duì)稱又關(guān)于直線x =b成軸對(duì)稱（a≠b），則y = f（x）是周期函數(shù)，且4| a-b|是其一個(gè)周期。

以下給出③的證明：

∵函數(shù)y = f（x）圖像既關(guān)于點(diǎn)A（a，c）成中心對(duì)稱，

∴f（x）+ f（2a-x）=2c，用2b-x代x得：

f（2b-x）+ f [2a-（2b-x）] =2c……（*）

又∵函數(shù)y = f（x）圖像直線x =b成軸對(duì)稱，

∴ f（2b-x）= f（x）代入（*）得：

f（x）= 2c-f [2（a-b）+ x]……（**），用2（a-b）-x代x得

f [2（a-b）+ x] = 2c-f [4（a-b）+ x]代入（**）得：

f（x）= f [4（a-b）+ x]，故y = f（x）是周期函數(shù)，且4| a-b|是其一個(gè)周期。

二、 函數(shù)對(duì)稱性應(yīng)用舉例

例1：定義在R上的非常數(shù)函數(shù)滿足：f（10+x）為偶函數(shù)，且f（5-x）= f（5+x），則f（x）一定是（ ）

（A）是偶函數(shù)，也是周期函數(shù)

（B）是偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)

（C）是奇函數(shù)，也是周期函數(shù)

（D）是奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)

解：∵f（10+x）為偶函數(shù)，∴f（10+x）= f（10-x）.

∴f（x）有兩條對(duì)稱軸 x = 5與x =10，因此f（x）是以10為其一個(gè)周期的周期函數(shù)，∴x =0即y軸也是f（x）的對(duì)稱軸，因此f（x）還是一個(gè)偶函數(shù)。

故選（A）

例2：設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)y = f（x）、y = g（x）都有反函數(shù)，并且f（x-1）和g-1（x-2）函數(shù)的圖像關(guān)于直線y = x對(duì)稱，若g（5）= 1999，那么f（4）=（）。（A） 1999;（B）2000;（C）2001;（D）2002。

解：∵y = f（x-1）和y = g-1（x-2）函數(shù)的圖像關(guān)于直線y = x對(duì)稱，

∴y = g-1（x-2）反函數(shù)是y = f（x-1），而y = g-1（x-2）的反函數(shù)是：y = 2 + g（x），∴f（x-1）= 2 + g（x），∴有f（5-1）= 2 + g（5）=2001

故f（4）= 2001，應(yīng)選（C）

例3.設(shè)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且f（1+x）= f（1-x），當(dāng)-1≤x≤0時(shí)，f（x）= - x，則f（8.6）= _________

解：∵f（x）是定義在R上的偶函數(shù)∴x = 0是y = f（x）對(duì)稱軸;

又∵f（1+x）= f（1-x）∴x = 1也是y = f（x）對(duì)稱軸。

故y = f（x）是以2為周期的周期函數(shù)，

∴f（8.6）= f（8+0.6）= f（0.6）= f（-0.6）= 0.3

例4：函數(shù) y = sin（2x +）的圖像的一條對(duì)稱軸的方程是（ ）

（1992全國(guó)高考理科）

（A）x =-（B）x = -

（C）x = （D）x =

解：函數(shù) y = sin（2x +）的圖像的所有對(duì)稱軸的方程是

2x += k +

∴x =-，顯然取k = 1時(shí)的對(duì)稱軸方程是x =-，故選（A）

例5：設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（x+2）= -f（x），當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）= x，則f（7.5）=（）

（A）0.5 （B）-0.5

（C）1.5 （D）-1.5

解：∵y = f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，∴點(diǎn)（0，0）是其對(duì)稱中心;

又∵f（x+2）= -f（x）= f（-x），即f（1+ x）= f（1-x），

∴直線x = 1是y = f（x）對(duì)稱軸，故y = f（x）是周期為2的周期函數(shù)。

∴f（7.5）= f（8-0.5）= f（-0.5）= -f（0.5）=-0.5 故選（B）

通過(guò)以上相關(guān)的結(jié)論證明和相應(yīng)的例子說(shuō)明，我們了解到函數(shù)對(duì)稱性在解決函數(shù)問(wèn)題的實(shí)用性。作為我自己所了解的相關(guān)例題和結(jié)論的解法，這更多代表的是我自己的觀點(diǎn)，不能說(shuō)明這是唯一的做法，更多更好的解法還有待我們共同探討，作為高考的難點(diǎn)和熱點(diǎn)，我們有責(zé)任挖掘出更快捷、更準(zhǔn)確的解題思路，讓函數(shù)的對(duì)稱性應(yīng)用在考試中解決更多的高考難題。