蔣敏杰

（常州市局前街小學(xué)，江蘇 常州 213003）

計算是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)中最基本的技能和最基本的素質(zhì)，在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占有重要的地位，甚至有人將其與思維并稱為“數(shù)學(xué)的本質(zhì)”。德國教育學(xué)家赫爾巴特說：“所有比較確定的知識，都必須從計算開始?！痹谛W(xué)階段，運算能力（技能）的形成，主要通過“理解算理”“構(gòu)造算法”“解決問題”三個層面，體現(xiàn)在整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)的口算和筆算中。其過程發(fā)展體現(xiàn)兩個顯著特點：一是集中學(xué)習(xí)與綜合應(yīng)用相融合，“理解算理”“構(gòu)造算法”的過程經(jīng)驗成為學(xué)生初步應(yīng)用數(shù)學(xué)的方式，是理解、分析、解決現(xiàn)實（數(shù)學(xué)）問題的基礎(chǔ)；二是“理解算理”與“構(gòu)造算法”的螺旋交互，學(xué)生運算技能的形成，一般均經(jīng)歷從算理直觀到算法抽象的過程，由解決具體問題的方法內(nèi)化，實現(xiàn)對計算技能、內(nèi)容本質(zhì)的內(nèi)涵理解，同步形成豐富運算建模的方式及一般方法，為后續(xù)數(shù)學(xué)認知及基本思想方法的形成奠定基礎(chǔ)。

新課程推進以來，數(shù)學(xué)教師對于運算能力提升的認識，經(jīng)歷了簡單“算法”、技能“訓(xùn)練”向“算理”“算法”協(xié)同發(fā)展的教學(xué)思維轉(zhuǎn)變，教學(xué)研究的側(cè)重點同步聚焦在“算法”與“算理”的融合，力圖講清“算理”，還原形式化“算法”的本質(zhì)。但具體運算的“算理”是什么？如何“講清”“算理”？“算理”與“算法”如何螺旋交互，如何綜合地體現(xiàn)于具體的計算學(xué)習(xí)過程……一系列的問題也是現(xiàn)實中困擾一線教師的現(xiàn)實問題，思考不清、定位不準、方式不活，使得有些時候計算教學(xué)仍停滯于具體計算的“技能”形成層面，而無法觸及或較少涉及基于“算理”解讀的“算法”提煉與應(yīng)用。如何在幫助學(xué)生理解“算理”的基礎(chǔ)上，提升運算能力，是小學(xué)計算教學(xué)的基本任務(wù)。

一、小學(xué)數(shù)學(xué)計算中“算理”的認識

“算理”在數(shù)學(xué)的定義上，是指四則計算的理論依據(jù)，它是由數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、定律等內(nèi)容構(gòu)成的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論知識，其內(nèi)涵包括數(shù)和運算的意義，運算的規(guī)律和性質(zhì)。如果說算法是解決“怎樣計算”的問題，是一種經(jīng)過壓縮的、一般化的計算程序，那么算理則是說明“為什么這樣算”的數(shù)學(xué)原理，其為學(xué)生形成可操作化的計算提供了正確可靠的數(shù)學(xué)依據(jù)與思維過程，是學(xué)生運算能力形成與提高的有力支撐?！坝嬎憬虒W(xué)既需要讓學(xué)生在直觀中理解算理，也要讓學(xué)生掌握抽象的法則，更需要讓學(xué)生充分體驗由直觀算理到抽象算法的過渡和演變過程。”[1]厘清算理、對其進行整體的深層理解，才能真正促進學(xué)生對具體算法產(chǎn)生、發(fā)展、應(yīng)用的綜合認識。

從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理的角度來看，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個不斷探究、不斷提高思維能力的過程。對“算理”的理解與表述，除了作用于具體計算“算法”的形成與提升，更是學(xué)生數(shù)學(xué)思維活動的外顯形式，是學(xué)生提升數(shù)學(xué)思維方式的有效平臺。從數(shù)學(xué)知識獲得的過程上分析，“算理”探究與理解，可幫助教師與學(xué)生共同聚焦于抽象的形式化的數(shù)學(xué)問題解決，并在分析“為什么”的過程中實現(xiàn)由經(jīng)驗表述到形式化原理認識具體算法。從數(shù)學(xué)建模的角度來講，“算理”認知的過程是“材料感知，提出問題——探究感悟，理解算理——聚類抽象，形成算法——相互轉(zhuǎn)化，意義內(nèi)化”[2]過程的重要一環(huán)，其本質(zhì)也是學(xué)生對計算本質(zhì)內(nèi)涵的理解、逐步生成與應(yīng)用的過程。如此，小學(xué)數(shù)學(xué)計算教學(xué)中的算理理解與內(nèi)化除了一般意義上服務(wù)于構(gòu)造算法外，還需要關(guān)注算理本身對于“計算”的本質(zhì)認識，從而達到循“理”入“法”，以“理”馭“法”。

二、小學(xué)計算教學(xué)中“算理”認識的整體分析

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中計算主要涉及三個領(lǐng)域、四種運算，即整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)的加、減、乘、除運算及四則混合運算。閱讀分析小學(xué)階段各年級計算學(xué)習(xí)的結(jié)構(gòu)體例，“算理”的體驗與理解主要體現(xiàn)在以下三個方面：

1.“算理”的呈現(xiàn)方式

低年級側(cè)重借助實物圖、主題圖、數(shù)學(xué)工具（小棒、計數(shù)器等）以及生活經(jīng)驗與簡單數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，經(jīng)歷操作活動，直觀理解算理，比如通過操作小棒的“合并”“分拆”“重組”理解百以內(nèi)加、減法計算。中年級側(cè)重以學(xué)生原有的計算經(jīng)驗，借助概念、定律等，通過“優(yōu)化”“再構(gòu)”等初步數(shù)學(xué)認識，理解算理，比如二位數(shù)乘一位數(shù)豎式的理解。高年級側(cè)重于數(shù)與形的結(jié)合，以數(shù)量關(guān)系為突破，引導(dǎo)學(xué)生進行簡單的抽象與歸納，比如分數(shù)乘法計算中分數(shù)乘分數(shù)的算理認識。

2.“算理”的引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)方式

低年級整數(shù)加、減法計算，主要借助于學(xué)生生活經(jīng)驗的再現(xiàn)與應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生將生活化經(jīng)驗提煉成數(shù)學(xué)化的表達與應(yīng)用，幫助學(xué)生在建立“位值制”原則的基礎(chǔ)上進行引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)，注重基于自我經(jīng)驗的數(shù)學(xué)化方式。中年段整數(shù)乘、除法的學(xué)習(xí)主要以具體的簡單實際問題為載體，引導(dǎo)學(xué)生將“位值制”原則進行整合與再構(gòu)，注重基于自我“再創(chuàng)造”基礎(chǔ)上的理解。高年段“小數(shù)、分數(shù)（百分數(shù)）”計算中則側(cè)重于借助知識的有效遷移與類比，注重“算理”“形”與“質(zhì)”的溝聯(lián)式理解。即從計算過程的具體形象思維逐步過渡到抽象思維。

3.“算理”理解與“算法”形成的結(jié)構(gòu)關(guān)系

低年級“算理”以操作為主，結(jié)合數(shù)的意義和四則運算意義的概念學(xué)習(xí)，同步于具體的“算法”，即將“算理”與“算法”融合于計算技能的形成過程之中。中年級“算理”的認識是半抽象的過程，以“位值制”為基礎(chǔ)，結(jié)合豎式的抽象產(chǎn)生過程，形成基于“算理”認識上的“算法”構(gòu)造與應(yīng)用。高年級“算理”的理解則圍繞數(shù)學(xué)思想及基本原理的應(yīng)用，體現(xiàn)個人“算法”建構(gòu)中的知識遷移、類比與發(fā)現(xiàn)，“算理”與“算法”呈現(xiàn)多次的螺旋交互。

因此，從橫向計算類型（口算、估算、筆算）豐富性上分析，無論是簡單的整數(shù)加、減法口算還是復(fù)雜的整數(shù)四則運算計算，“算理”理解中，數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、定律始終融于具體的運算能力的形成過程中（參見圖1）。[3]

圖1 整數(shù)加、減法結(jié)構(gòu)圖

從圖1中可以看出，整數(shù)加、減法中“位值概念”與“運算意義”[4]是整數(shù)加、減法運算“算理”的基礎(chǔ)，同樣，整數(shù)乘法“算理”的認識也遵循此過程。

從縱向計算的拓展性（整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)）上分析，“算理”的理解呈現(xiàn)結(jié)構(gòu)化特征。即“算理”的理解不是對孤立的某個運算的理解，而是與其他內(nèi)容相融合，并呈現(xiàn)循環(huán)向上的結(jié)構(gòu)特征，把握結(jié)構(gòu)，將有助于引導(dǎo)學(xué)生對“算理”的深化理解與主動剖析。

從圖2中可以看出，小數(shù)、分數(shù)的四則運算的“算理”一方面來源于對數(shù)概念的意義引申，借助“形”與“式”的結(jié)合，幫助學(xué)生直觀理解，另一方面數(shù)學(xué)思想有機融于“算理”的分析中，學(xué)生的“算理”分析借助化歸思想、類比思想、推理能力等的滲透，綜合體現(xiàn)于具體問題的分析解決之中。

三、小學(xué)計算教學(xué)中“算理”理解的教學(xué)策略

1.融合“數(shù)概念”“運算意義”的意義認識，為理解“算理”提供基礎(chǔ)保障

計算技能、運算能力的形成依賴于學(xué)生對于“數(shù)”“數(shù)的意義”的認識。因此，蘇教版教材在編排中將計算教學(xué)與數(shù)概念、運算意義的教學(xué)融為一體，體現(xiàn)“算理”與“算法”的無縫對接。數(shù)概念是按照10以內(nèi)、20以內(nèi)、100以內(nèi)、萬以內(nèi)……的方式編排的，計算也是按照10以內(nèi)數(shù)的計算、100以內(nèi)數(shù)的計算、萬以內(nèi)數(shù)的計算……的方式編排。這樣，夯實對“數(shù)概念”“運算意義”的清晰認識，有助于使計算教學(xué)融于具體的問題解決情況中，實現(xiàn)兩者雙向通達式的互為補充，使學(xué)生對它們有整體性的認識，形成較完整的知識系統(tǒng)。比如“9加幾”的教學(xué)，是學(xué)生在學(xué)習(xí)了20以內(nèi)數(shù)后組織的學(xué)習(xí)活動，教材主題圖呈現(xiàn)了如下情境：盒子里放著9個紅蘋果，盒子外放了4個綠蘋果，啟發(fā)學(xué)生思考“一共有多少個？”學(xué)生通過主題圖的認識，借助“加法意義”理解，認識到“一共有多少個”，就是將兩種蘋果合并起來，用加法計算?！?+4”可以從加法的基數(shù)意義理解，從第一個開始依次數(shù)完；也可以從加法的序數(shù)意義入手，即從9個開始數(shù)起，依次數(shù)完盒子外的蘋果。數(shù)一數(shù)的方法與加法意義相融合，同步揭示“9+4”的算理。然后，教師進一步引導(dǎo)學(xué)生思考，“可以有更快捷的方法嗎？”這樣學(xué)生就需要對計算方法進行優(yōu)化，教師引導(dǎo)學(xué)生進一步觀察盒子里一共有10個格，再放1個正好放滿，正好是10個，再加上剩下的3個，一共是13個蘋果，學(xué)生借助對“合并”過程的理解，體驗到具體數(shù)數(shù)過程中“湊十法”的原理與意義，這也是學(xué)生后續(xù)進行計算中的重要“算理”體現(xiàn)。其后再進行形式化的“分解”，即用算式來表達算理，結(jié)合“滿十進一”的計數(shù)原則，進一步提升學(xué)生對于“湊十法”的理解與應(yīng)用。如此，“理解算理”與“構(gòu)造算法”有機結(jié)合，20以內(nèi)進位加法的“算法”，建立在整數(shù)概念、加法運算意義的“算理”理解中，數(shù)的概念與計算原理的交互融合，對于學(xué)生形成合理的認知結(jié)構(gòu)、方法結(jié)構(gòu)是十分有益的。

圖2 小數(shù)四則運算結(jié)構(gòu)圖

2.完善“直觀操作——表象操作——抽象分析”的過程提升，為理解“算理”提供思維支撐

小學(xué)階段，尤其是低年級小學(xué)生的思維特點以具體形象思維為主，有意注意時間短，記憶主要是短時記憶。因此，計算教學(xué)中“算理”理解應(yīng)充分考慮學(xué)生的年齡特點，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合具體的情境，觀察具體的學(xué)習(xí)對象，調(diào)動學(xué)生手、腦、口等各種感官參與，借助“小棒”“計數(shù)器”等數(shù)學(xué)工具，通過直觀操作活動將抽象的算理形象地顯現(xiàn)出來，為算法的構(gòu)建提供原型支撐。比如整數(shù)除以分數(shù)學(xué)習(xí)中，教師以直觀的操作結(jié)果啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和“4×2”之間的聯(lián)系，在學(xué)生初步感悟分數(shù)除以整數(shù)與乘法之間的聯(lián)系后，進一步指導(dǎo)學(xué)生在圖形中分一分，經(jīng)歷平均分的操作活動，利用直觀的操作結(jié)果發(fā)現(xiàn)從而在具體的操作中初步形成形象化的算理認識。

直觀操作可幫助學(xué)生“感悟”算理，但對于“算理”的理解卻不能僅停于直觀操作，還要向“表象操作”“思維表征”過渡。即算理理解需要逐步深入，“直觀”的成分應(yīng)逐步減少，逐步引導(dǎo)學(xué)生擺脫對具體形象的依賴，在豐富的數(shù)學(xué)活動中，經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過程中，不斷提高思維的水平，學(xué)會抽象地思考問題。比如“13-9”的直觀“去一去”的動手操作后，要引導(dǎo)學(xué)生變化不同20以內(nèi)的數(shù)減9情況，嘗試用計數(shù)器、數(shù)學(xué)語言、抽象算式來表達算理；在“整數(shù)除以分數(shù)”教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)思考，“如果除數(shù)是這樣的非分數(shù)單位又如何來說清算理呢？”啟發(fā)學(xué)生聯(lián)系上面的計算經(jīng)驗，用畫圖、數(shù)學(xué)驗證、表達等方式再次進行觀察與分析，進一步明確整數(shù)除以分數(shù)的算理，同步形成算法。

從直觀操作到表象操作再到抽象分析，在算理剖析的過程中，一方面要以操作的過程與經(jīng)驗推理，促進學(xué)生對算理的直觀理解；另一方面，也要重視由算法向具體操作的“反思”，這樣雙向互通式的“形象”與“抽象”的結(jié)合，可以幫助學(xué)生真正理解算理，構(gòu)建算法。

3.激活已有知識、經(jīng)驗，橫向意義聯(lián)結(jié)，為理解“算理”提供動力源泉

“算理”的認識、理解與分析，應(yīng)注重激活學(xué)生已有的知識經(jīng)驗，并將新計算的“算理”理解與解析建立在與原有相關(guān)知識發(fā)生、發(fā)展與聯(lián)系的基礎(chǔ)之上，使得新舊知識得以在多角度、多側(cè)面共通，并在靈活應(yīng)用中，形成意義聯(lián)結(jié)，理解新產(chǎn)生的“算理”，使得“算理”“扎根”。比如口算是在“位值制概念”與運算意義的基礎(chǔ)上直接形成的“算理”認識與應(yīng)用，筆算的“算理”則是由口算演化形成的“規(guī)范”過程，復(fù)雜筆算又是在簡單筆算基礎(chǔ)上延伸與發(fā)展的。而分數(shù)加減法算理來源于整數(shù)運算的類推，分數(shù)乘、除法的算理則來源于分數(shù)乘、除法意義。因此，從整體結(jié)構(gòu)的知識網(wǎng)絡(luò)上分析，教師需要明確每種計算在整體計算學(xué)習(xí)中的節(jié)點地位，從整體發(fā)展的角度，在不同“算理”的認識節(jié)點激活相應(yīng)的知識、經(jīng)驗，通過橫向意義的聯(lián)系，使“算理”理解成為一個整體綜合的內(nèi)循環(huán)過程。

（1）對已有知識、經(jīng)驗的“再構(gòu)”，生成“算理”的理解

“算理”的感悟、理解是學(xué)生構(gòu)造算法的基礎(chǔ)，而算理背后的原理認識則是通過具體的認識活動逐步清晰的，因此對于“算理”的理解，教師一方面要對學(xué)生的知識、能力做全面的了解，另一方面也要對教材內(nèi)容做細致的分析，巧設(shè)新舊知識的矛盾沖突，引導(dǎo)學(xué)生走進問題情境，讓學(xué)生在參與中找出新舊知識的連接點，感悟、理解中“再構(gòu)”認識算理，并最終形成計算的新方法。

以典型的“12×3”教學(xué)為例，教師借助主題圖的觀察，引導(dǎo)學(xué)生主動探究，在多種引導(dǎo)方式中，學(xué)生形成對二位數(shù)乘一位數(shù)“算理”的逐層理解。第一層次：乘法的意義——結(jié)合操作活動，激活學(xué)生原有認知“12×3的實質(zhì)就是求3個12的和是多少”；第二層次：“合并”的引入——學(xué)生借助“位值概念”，進行數(shù)的有機“分拆”，使學(xué)生理解計算“12×3”時，可以先算3個10是30，3個2是6，再把30與6合起來就是36。通過上述兩個層次的經(jīng)驗激活，學(xué)生對于“12×3”的“算理”形成初步自我認識的體驗。在此基礎(chǔ)上，教師及時對已有分項計算過程與豎式進行意義聯(lián)結(jié)，使學(xué)生理解豎式中“位值”的表示方式，即3乘十位上的1結(jié)果是30，從而使學(xué)生明確“3為什么在十位的意義”，產(chǎn)生“0可不可以不寫”的思考，為進一步豎式的優(yōu)化奠定認識基礎(chǔ)。

（2）由“算法”應(yīng)用的展開，反向深化理解“算理”

當學(xué)生經(jīng)歷自我學(xué)習(xí)發(fā)現(xiàn)體驗，直觀理解“算理”，初步抽象算法，形成認識后，并非就能形成較完整的“算理”理解，一般情況下，此時學(xué)生的“算理”理解仍處在形象化的直觀認識階段。這時，教師就需要借助一定的數(shù)學(xué)問題，幫助學(xué)生在應(yīng)用中加深認識，通過“算法”應(yīng)用的實踐反思，對“算理”進行綜合化提煉，在算法應(yīng)用中深化理解算理。比如異分母分數(shù)加減法教學(xué)中，教師通過畫圖、折紙等方式引導(dǎo)學(xué)生從“統(tǒng)一計數(shù)單位（分數(shù)單位）”的角度得出異分母分數(shù)加法的算理后，可順應(yīng)學(xué)生思維發(fā)展的線索，指導(dǎo)學(xué)生在解決實際問題的過程中主動探索與歸納，將算理遷移應(yīng)用到異分母減法計算中，一方面用減法驗證加法，另一方面通過欣賞、改錯、估計、拓展等豐富的練習(xí)，幫助學(xué)生反向深入理解算理。因此，初步理解算理后，不應(yīng)立刻進行抽象的算法演練，可以讓學(xué)生繼續(xù)通過操作、看圖，直觀地加深對算理的理解，再逐步脫離形象，形成抽象的算法，并在鞏固應(yīng)用中形成問題具體化下的“算理”理解，同步實現(xiàn)“算理”與“算法”的深層溝通。

4.注重“算理”遷移、類比與拓展，為“算法”解構(gòu)提供“再創(chuàng)造”平臺

北京師范大學(xué)周玉仁教授對小學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程曾這樣闡述：小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個經(jīng)驗激活、利用、調(diào)整、積累、提升的過程，是“對生活中的數(shù)學(xué)現(xiàn)象的解讀”，是“建立在經(jīng)驗基礎(chǔ)之上的一個主動建構(gòu)的過程”。從主動建構(gòu)的過程看，計算教學(xué)同樣需要經(jīng)歷過程體驗，感受知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，尤其注重“算理”中蘊含的數(shù)學(xué)思想方法的主動遷移、類比，進而實現(xiàn)個性化的再創(chuàng)造。

（1）同化順應(yīng)，促進“算理”理解上的“算法”構(gòu)造理解

同概念形成的一般規(guī)律一致，“算法”的認識過程也涉及形成與同化兩個方面。形成階段學(xué)生經(jīng)歷對具體數(shù)學(xué)現(xiàn)象的觀察，對特定（特殊）問題進行分析，從而形成對操作規(guī)范的形象感知；同化階段學(xué)生經(jīng)歷豐富素材的比較過程，教師聚焦不同現(xiàn)象中的相似性，幫助學(xué)生對“算理”進行主體性構(gòu)造分析，實現(xiàn)具體特殊原理向一般化的轉(zhuǎn)化。因此教學(xué)中，教師要選擇具有典型特征的現(xiàn)象，啟發(fā)學(xué)生從多種角度（式、圖等）進行分析，借助豐富個案的溝通，幫助學(xué)生對“算理”體驗與理解。比如小數(shù)乘法教學(xué)中，“0.8（元/千克）×3（千克）”就是通過買賣問題中“貨幣單位”的轉(zhuǎn)換獲得最初的直觀認識，進而結(jié)合“位值制”原則，啟發(fā)學(xué)生借助已有經(jīng)驗進行分析，并在多個例證的應(yīng)用中使學(xué)生對于整數(shù)乘小數(shù)的“算理”與整數(shù)乘法“算理”相通，明晰“轉(zhuǎn)化”原理，形成意義建構(gòu)。

（2）模式識別，促進學(xué)生在“算理”關(guān)聯(lián)遷移中形成“算法”

“看到一事物能聯(lián)想到那兒，有時是很奇怪的沒有規(guī)律可循的，但就理解了問題的實質(zhì)……”[5]從學(xué)生運算能力的形成過程上看，主動把握具體計算的“算理”內(nèi)涵，識別其主要特征，展開意義聯(lián)結(jié)，進行主動遷移、類比推理，能為學(xué)生有效地形成“新算法”、進行結(jié)構(gòu)建模提供幫助。具體體現(xiàn)在教師要幫助學(xué)生分析不同形式算法中算理的內(nèi)在聯(lián)系，實現(xiàn)“算理、算法”的整體認識。比如五年級小數(shù)乘法計算中，實現(xiàn)小數(shù)與整數(shù)乘法的聯(lián)系是學(xué)生理解算法、解構(gòu)算法的重要環(huán)節(jié)。教學(xué)中教師可借助具體情境，引導(dǎo)學(xué)生嘗試解決相關(guān)的問題，在問題解決中進行類比、“算法”遷移，順應(yīng)內(nèi)在聯(lián)系，實現(xiàn)整體運算能力的拓展延伸。

其一，類比類型。小數(shù)乘法與整數(shù)乘法位值制一致，運算一致，即為十進制計數(shù)法。同時演化涉及加、減、除。向前與加減法聯(lián)系，向后為小數(shù)除法聯(lián)系做準備。

其二，類比算理。小數(shù)乘法與整數(shù)乘法相對應(yīng)，在具體的情境解構(gòu)中體現(xiàn)“轉(zhuǎn)化”思想，即可將小數(shù)計算轉(zhuǎn)化為整數(shù)計算。

其三，類比運算律。小數(shù)乘法與整數(shù)乘法都體現(xiàn)了一般運算律，在運算中可結(jié)合數(shù)據(jù)特點進行簡算。

其四，類比應(yīng)用。小數(shù)乘法與整數(shù)乘法的實際問題結(jié)構(gòu)一致，都可以通過相關(guān)數(shù)量關(guān)系進行關(guān)系分析。

以上四合為一，即將小數(shù)與整數(shù)乘法運算相融合，實現(xiàn)兩者的運算結(jié)合。同時，學(xué)生在認識中進一步強化了結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)，由易到難、由簡到繁，漸進地由一個小數(shù)乘法知識點，聯(lián)系到后繼計算問題的結(jié)構(gòu)化，為實現(xiàn)“運算能力”的綜合提升提供經(jīng)驗。

（3）逐層分析，從模型視角實現(xiàn)“算理”再創(chuàng)造

“算”是“思”的外衣，“算理”教學(xué)就是要引導(dǎo)學(xué)生撥開外衣，探尋實質(zhì)?！八憷怼钡膽?yīng)用不能僅停留于“會算”的階段，按照算法規(guī)則進行邏輯推理而獲得正確結(jié)果僅僅是計算的一個方面，更重要的，在計算能力中包含著對算法的構(gòu)造、設(shè)計、選擇。[6]因此從形象的計算，到抽象的算理解構(gòu)需要突出算理的合理性，通過逐步的漸進式的“解剖”與“深挖”，從而實現(xiàn)對于“算理”個性化理解后的“再創(chuàng)造”。

以異分母分數(shù)加減法為例，教材為學(xué)生“算理”理解提供了較豐富的實踐素材，學(xué)生通過主題圖引領(lǐng)下的直觀操作，在“數(shù)”與“形”協(xié)同中，獲得統(tǒng)一分數(shù)單位后才能進行計算的初步直觀感悟。隨后以具體分數(shù)意義、通分意義等切入“原理”，引導(dǎo)學(xué)生主動“創(chuàng)造”“化異為同”的策略。值得進一步思考的是，此時的“化異為同”，即統(tǒng)一計數(shù)單位（分數(shù)單位）不僅有呈現(xiàn)形式的異中求同，也有表達方式的異中求同。異分母分數(shù)加減法不僅是要讓學(xué)生知道“算理”后會算，還需要引導(dǎo)學(xué)生拓展“算理”，形成基于數(shù)據(jù)分析之上的多元計算途徑選擇，幫助學(xué)生打開思路，激發(fā)對計算本身的探究樂趣。這樣，“直觀操作式的探究”能在不同問題情境的逐層變化推理中轉(zhuǎn)變，逐步建立整體的“算理”認識。

對“算理”的“解剖”與“深挖”同樣也離不開對問題構(gòu)造的數(shù)學(xué)模型逐層抽象。通常情況下，教師需要通過多種策略的轉(zhuǎn)換促進學(xué)生的深度思考。比如五年級轉(zhuǎn)化策略中典型的“”的計算，教師如果只是針對題目“教”“數(shù)形結(jié)合”，讓學(xué)生看（簡單畫）圖后直接解決問題，此時的直觀化“算理”理解僅僅成為學(xué)生解題的一個特殊的外在方法。這時教師需要思考的是，如何將靜態(tài)的方法轉(zhuǎn)化為學(xué)生動態(tài)的“算理”思維過程。如果教師能幫助學(xué)生觀察數(shù)據(jù)的特點（后一個數(shù)是前一個的），提供可供操作的圖形（正方形看作“1”），組織議一議的表示方式，啟發(fā)思考“是否可以換個角度來思考”……一系列的分析與操作的協(xié)同過程，必將引領(lǐng)學(xué)生對為什么需要“數(shù)形結(jié)合”，怎樣實現(xiàn)形與數(shù)的聯(lián)系等解決問題方式的思考，最終形成認識上的飛躍，同步實現(xiàn)數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗不斷豐富與遞增。如果教師能更進一步啟發(fā)操作：“如果是或又可以怎樣操作分析呢？從中可以發(fā)現(xiàn)哪些規(guī)律？”帶著問題引領(lǐng)的操作分析將帶領(lǐng)學(xué)生走入更為理性與規(guī)律變化的數(shù)學(xué)世界，獲得不一樣的數(shù)學(xué)思維經(jīng)驗。

小學(xué)階段運算能力的形成，即是知識、技能的習(xí)得過程，更是思維發(fā)展的動態(tài)過程。具體教學(xué)中如果教師能重視學(xué)生多種方式的發(fā)現(xiàn)、探究、歸納，在理解算理基礎(chǔ)上構(gòu)建算法，將為學(xué)生的后續(xù)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，尤其是數(shù)學(xué)化的思維方式形成提供基礎(chǔ)性的核心引領(lǐng)?！?/p>

參考文獻：

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[6]曹才翰，章建躍.數(shù)學(xué)教育心理學(xué)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2007：30.