武江凱，白明生，張 永（中國(guó)空間技術(shù)研究院 載人航天總體部，北京 100094）

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一種單自由度振動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)載荷識(shí)別方法

武江凱，白明生，張 永
（中國(guó)空間技術(shù)研究院 載人航天總體部，北京 100094）

摘要：航天器在飛行過(guò)程中經(jīng)歷了復(fù)雜的力學(xué)環(huán)境，但是目前又無(wú)法直接測(cè)量出這種復(fù)雜力學(xué)載荷函數(shù)。針對(duì)這一問(wèn)題，提出了一種應(yīng)用力學(xué)載荷識(shí)別方法確定航天器所經(jīng)受力學(xué)載荷的新方法，針對(duì)單自由度振動(dòng)系統(tǒng)模型，以二次多項(xiàng)式為基函數(shù)，推導(dǎo)建立了基于Duhamel積分的動(dòng)態(tài)載荷識(shí)別模型。仿真分析結(jié)果表明，該方法具有很高的識(shí)別精度，且不存在誤差積累問(wèn)題。該方法為下一步試驗(yàn)驗(yàn)證和工程應(yīng)用提供了理論基礎(chǔ)和技術(shù)支撐。

關(guān)鍵詞：復(fù)雜力學(xué)環(huán)境；載荷識(shí)別；Duhamel積分；二次多項(xiàng)式

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0　引言

確定載荷的方法一般有兩種，即直接測(cè)量法與間接識(shí)別法。前者直接測(cè)量載荷本身或通過(guò)測(cè)量與載荷有關(guān)的參數(shù)確定載荷的大小。比如，為了給國(guó)際空間站開(kāi)展微重力環(huán)境研究做準(zhǔn)備，NASA曾在“和平號(hào)”空間站對(duì)航天員在艙內(nèi)行走所引起的載荷進(jìn)行了測(cè)量。然而在工程實(shí)際中，由于結(jié)構(gòu)和載荷本身的復(fù)雜性（如運(yùn)載火箭在飛行中產(chǎn)生的震顫、海洋平臺(tái)等大型構(gòu)筑物受風(fēng)浪、基礎(chǔ)激勵(lì)作用等），很難對(duì)作用于結(jié)構(gòu)的外載荷特別是沖擊載荷進(jìn)行直接測(cè)量或計(jì)算。因此，由結(jié)構(gòu)的動(dòng)響應(yīng)和結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性來(lái)間接反演動(dòng)載荷是非常必要的。

載荷識(shí)別起源于20 世紀(jì)70 年代末，因研究直升機(jī)飛行時(shí)螺旋槳主軸所受到的力等軍事用途而得以發(fā)展[1-2]。到目前為止，動(dòng)態(tài)載荷識(shí)別方法主要有頻域法和時(shí)域法。頻域法提出較早、發(fā)展成熟且識(shí)別精度高，其缺點(diǎn)是在結(jié)構(gòu)固有頻率處求解方程容易出現(xiàn)病態(tài)，對(duì)響應(yīng)信號(hào)樣本有一定長(zhǎng)度要求，對(duì)噪聲影響也非常敏感，只適用于穩(wěn)態(tài)動(dòng)載荷和隨機(jī)載荷的識(shí)別[3-4]。時(shí)域法對(duì)各種載荷識(shí)別都具有較強(qiáng)優(yōu)勢(shì)，但目前該方法大都基于待識(shí)別載荷為一階躍載荷或Wilson-θ假設(shè)，通過(guò)建立遞推連鎖計(jì)算格式進(jìn)行求解，但對(duì)采樣時(shí)間和初值都很敏感，存在累積誤差[5-8]。近年還發(fā)展了計(jì)權(quán)加速度法（SWAT）、逆系統(tǒng)求解法、基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法、小波變換法等[9-10]，但都處于載荷識(shí)別初步研究階段。

本文提出一種基于單自由度振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)載荷識(shí)別方法：以二次多項(xiàng)式為基函數(shù)，建立基于Duhamel積分的單自由度振動(dòng)系統(tǒng)的載荷識(shí)別模型，并通過(guò)仿真分析對(duì)模型的正確性進(jìn)行驗(yàn)證。

1　單自由度振動(dòng)系統(tǒng)描述

典型單自由度振動(dòng)系統(tǒng)如圖1所示。

圖1　單自由度振動(dòng)系統(tǒng)Fig. 1　Single-degree-of-freedom vibration system

式中：x&&、x&、x分別為單自由度振動(dòng)系統(tǒng)加速度、速度和位移信號(hào)；m、c、k分別為振動(dòng)系統(tǒng)的質(zhì)量、阻尼和剛度；為自振角頻率；為阻尼比；；x(0)、x&(0)為初始位移和初始速度；f(τ)為待識(shí)別的動(dòng)態(tài)載荷[13]。

2　單自由度振動(dòng)系統(tǒng)載荷識(shí)別方法

動(dòng)態(tài)載荷識(shí)別問(wèn)題，其實(shí)就是通過(guò)以上3個(gè)方程組聯(lián)立求解f(τ)的問(wèn)題。由于該求解問(wèn)題是一個(gè)非線(xiàn)性的非正定問(wèn)題，對(duì)應(yīng)f(τ)為一個(gè)解集，所以本文選擇二次函數(shù)f(t)=at2+bt+c作為f(τ)的基本形式，將動(dòng)態(tài)載荷f(τ)的求解問(wèn)題轉(zhuǎn)換為求取不同時(shí)刻參數(shù)a、b、c的問(wèn)題。

動(dòng)態(tài)響應(yīng)的測(cè)試信號(hào)可以是動(dòng)態(tài)位移、動(dòng)態(tài)速度或者動(dòng)態(tài)加速度等，在ti-1時(shí)刻的響應(yīng)xi-1反映了在初始條件和此刻以前動(dòng)態(tài)載荷綜合作用下的結(jié)果。為了減小累積誤差和消除對(duì)初始條件的敏感性，在對(duì)某一時(shí)刻動(dòng)態(tài)載荷識(shí)別時(shí)，可在[ti-1, ti+1]時(shí)間段內(nèi)進(jìn)行，以ti-1時(shí)刻的響應(yīng)為初值，即在[ti-1, ti+1]時(shí)間段內(nèi)設(shè)ti-1為0時(shí)刻，由于在ti-1、ti、ti+1時(shí)刻的函數(shù)值中，ti時(shí)刻的精度最高，所以在[ti-1, ti+1]時(shí)間段內(nèi)僅作fi的識(shí)別。

以ti-1時(shí)刻為初值，利用Duhamel積分求解得到ti時(shí)刻的響應(yīng)為：

將載荷函數(shù)f(t)=at2+bt+c代入式(4)，則式(4)中的積分項(xiàng)可寫(xiě)為

同理也可以將載荷函數(shù)代入式(5)、式(6)中的Duhamel積分項(xiàng)，然后對(duì)Duhamel積分參數(shù)Iu2、Iu1、Iu0、Iv2、Iv1、Iv0、Iw2、Iw1、Iw0進(jìn)行如下設(shè)定：

式(8)～式(10)中都有顯式結(jié)果，限于篇幅，在此處不一一列出。分別將式(8)、式(9)和式(10)代入到式(4)、式(5)和式(6)，則有：

式(11)～式(13)的右端項(xiàng)可由ti時(shí)刻和ti-1時(shí)刻的系統(tǒng)位移、速度和加速度相應(yīng)得到。分別令式(11)～式(13)的右端項(xiàng)為qi、q&i、q&i&，則可得到

同理，分別對(duì)ti+1時(shí)刻的Duhamel積分參數(shù)Iu21、Iu11、Iu01、Iv21、Iv11、Iv01、Iw21、Iw11、Iw01進(jìn)行設(shè)定，則通過(guò)對(duì)動(dòng)力響應(yīng)方程進(jìn)行變形、簡(jiǎn)化，可得

通過(guò)方程推導(dǎo)，將載荷識(shí)別轉(zhuǎn)化為式(15)中對(duì){α}的求解問(wèn)題。由于在信號(hào)測(cè)試中存在測(cè)量誤差和噪聲，所采用的動(dòng)態(tài)載荷擬合函數(shù)與實(shí)際的動(dòng)態(tài)載荷存在差異，所以，式(15)為矛盾方程組。對(duì)于矛盾方程組的求解，本文選擇構(gòu)造誤差e的方程：

于是將滿(mǎn)足式(15)的求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求eTe極小值，進(jìn)而轉(zhuǎn)化成求解式(16)最小二乘解[14]，即：

在待定參數(shù)a、b、c求得后，則可將[ti-1, ti+1]時(shí)間段內(nèi)的動(dòng)態(tài)載荷描述按f(t)=at2+bt+c的形式給出。但依據(jù)Gauss插值的性質(zhì)，以中間點(diǎn)的插值精度最高，因此，在[ti-1, ti+1]時(shí)間段，取ti時(shí)刻的值為識(shí)別結(jié)果，即fi= a?t2+b?t+c，然后后移一個(gè)?t的時(shí)間間隔作下一個(gè)時(shí)刻的動(dòng)態(tài)載荷識(shí)別。

3　算例仿真分析

為了驗(yàn)證單自由度振動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)載荷識(shí)別理論的正確性，本文采用圖1所示系統(tǒng)對(duì)識(shí)別方法進(jìn)行仿真驗(yàn)證。

為不失一般性，設(shè)系統(tǒng)中m=1 kg；c=0.4 N·s/m；k=1 N/s；f(t)=F0sin(ωt)，F(xiàn)0=1 N，ω=5 rad/s，t∈[0, 20] s，分析步長(zhǎng)Δt取為0.1 s，得到原始載荷時(shí)間歷程f(t)，如圖2所示。

圖2　原始載荷時(shí)間歷程Fig. 2　Time history of original load

依據(jù)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)理論，應(yīng)用Duhamel積分，單自由度系統(tǒng)在外界激振力作用下系統(tǒng)位移、速度和加速度響應(yīng)如圖3所示。

圖3　激振力作用下單自由度系統(tǒng)響應(yīng)Fig. 3　Response of single-degree-of-freedom system with excitation force

應(yīng)用本文研究的動(dòng)載荷識(shí)別理論及測(cè)得的系統(tǒng)響應(yīng)值對(duì)外加激勵(lì)載荷進(jìn)行識(shí)別，識(shí)別結(jié)果及相對(duì)誤差分別如圖4和圖5所示。

圖4　識(shí)別載荷時(shí)間歷程Fig. 4　Time history of load identification

圖5　識(shí)別載荷誤差曲線(xiàn)（步長(zhǎng)0.1 s）Fig. 5　Error curve of load identification(time step is 0.1 s)

從圖5可以看出：動(dòng)態(tài)載荷識(shí)別穩(wěn)定誤差不超過(guò)2%，且只與求解時(shí)刻及其前后時(shí)刻的振動(dòng)狀態(tài)有關(guān)，而不受此前時(shí)刻載荷的影響，同時(shí)也不會(huì)對(duì)以后識(shí)別產(chǎn)生影響；識(shí)別過(guò)程不受初值和邊值的影響，不會(huì)帶來(lái)誤差傳遞和累積問(wèn)題，即誤差不會(huì)出現(xiàn)擴(kuò)散；識(shí)別結(jié)果都能很好地逼近原始輸入載荷，最小誤差穩(wěn)定在2‰之內(nèi)，說(shuō)明本識(shí)別方法對(duì)測(cè)量干擾具有較強(qiáng)的魯棒性。

保持系統(tǒng)參數(shù)不變，調(diào)整分析步長(zhǎng)Δt為0.01s情況下的系統(tǒng)識(shí)別誤差如圖6所示?？煽闯?，識(shí)別精度提高了1個(gè)數(shù)量級(jí)，即系統(tǒng)識(shí)別精度會(huì)隨著采樣頻率的提高而提高，說(shuō)明提高采樣頻率對(duì)改善載荷識(shí)別精度具有重要作用。

圖6　識(shí)別載荷誤差曲線(xiàn)（步長(zhǎng)0.01s）Fig. 6　Error curve of load identification(time step is 0.01 s)

4　結(jié)束語(yǔ)

本文以二次多項(xiàng)式為基函數(shù)，基于Duhamel積分和模態(tài)分解技術(shù)推導(dǎo)建立了單自由度振動(dòng)系統(tǒng)載荷識(shí)別模型，可對(duì)各種非平穩(wěn)動(dòng)態(tài)載荷進(jìn)行實(shí)時(shí)識(shí)別，同時(shí)對(duì)樣本數(shù)據(jù)長(zhǎng)度沒(méi)有要求；由于不進(jìn)行傅里葉變換，避免了由截?cái)鄮?lái)的窗泄漏問(wèn)題。算例仿真結(jié)果表明：該識(shí)別方法具有很高的識(shí)別精度，且不存在誤差傳遞和積累問(wèn)題；提高采樣頻率對(duì)提高系統(tǒng)的識(shí)別精度有重要作用。

鑒于該方法的理論推導(dǎo)及仿真分析僅針對(duì)單自由度振動(dòng)系統(tǒng)，且有待進(jìn)一步試驗(yàn)驗(yàn)證，以及在復(fù)雜多自由度動(dòng)態(tài)載荷識(shí)別方面還存在不確定性及局限性，因此在后續(xù)工作中有待深入研究。

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（編輯：許京媛）

The danamic load identification for a single-degree-of-freedom vibration system

Wu Jiangkai, Bai Mingsheng, Zhang Yong
(Institute of Manned Space System Engineering, China Academy of Space Technology, Beijing 100094, China)

Abstract:The spacecraft is in a complicated mechanical environment, and its external load can not be measured directly. So a mechanical load identification method is proposed for spacecraft during the flight phase. Based on the Duhamel’s integration, with the second order polynomial as the base function, the dynamic load identification mode for a single-degree-of-freedom vibration system is built. The simulation results show that this method has a high identification precision and the problem of error accumulation is solved. The method can provide theoretical bases and technological supports for the test validation and engineering applications.

Key words:complicated mechanical environment; load identification; Duhamel’s integration; quadratic polynomial

作者簡(jiǎn)介：武江凱（1987—），男，從事航天器總體設(shè)計(jì)工作。E-mail：wjk1958@126.com。

基金項(xiàng)目：國(guó)家重大科技專(zhuān)項(xiàng)工程

收稿日期：2015-08-17；修回日期：2016-03-04

DOI:10.3969/j.issn.1673-1379.2016.02.004

中圖分類(lèi)號(hào)：V416.2

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1673-1379(2016)02-0136-05