吳曉鵬

一、問題的提出

隨著網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的發(fā)展與普及，高三統(tǒng)考采用的網(wǎng)上閱卷，也更加細(xì)致和精確的給出了學(xué)校、班級(jí)中每個(gè)小題、每個(gè)學(xué)生的得分情況等大量的數(shù)據(jù)，以及收集同一個(gè)題目中的各種錯(cuò)誤答案或不同的解法，統(tǒng)一分發(fā)到老師的手中。但是在實(shí)際教師的講評(píng)過程中，可能并沒有關(guān)注或充分研究這些提供給我們的信息，導(dǎo)致在教學(xué)中的“高耗低效”。如果我們能夠?qū)@些信息作好客觀準(zhǔn)確的分析，并針對(duì)性地用于改進(jìn)后續(xù)教學(xué)，定會(huì)使我們的教學(xué)更合理、更有效率。本文以常熟市2016屆高三調(diào)研測(cè)試的一道試題為例進(jìn)行試題分析，希望能對(duì)現(xiàn)在的高三教學(xué)有所啟發(fā)。

二、試題的分析

1.試題呈現(xiàn)

應(yīng)用題是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，是高考中的重點(diǎn)，同時(shí)又是教學(xué)中的難點(diǎn)。很多學(xué)生往往讀一遍題就匆匆列式計(jì)算，并把做不對(duì)應(yīng)用題歸結(jié)為題都讀不懂，或是看懂題目花太久時(shí)間了，計(jì)算的時(shí)候慌了就算錯(cuò)了。不少教師也認(rèn)為應(yīng)用題要靠學(xué)生的理解力，看得懂題就會(huì)做，在教學(xué)講評(píng)過程中不夠重視，想通過大量的練習(xí)達(dá)到質(zhì)的飛躍，實(shí)際上往往效果不佳。那問題究竟出在哪？筆者希望通過數(shù)據(jù)的分析尋找解答。

題目

某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路，為進(jìn)一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀，計(jì)劃修建一條連接兩條公路的山區(qū)邊界的直線型公路，記兩條相互垂直的公路為l1，l2，山區(qū)邊界曲線為C，計(jì)劃修建的公路為l，如圖所示，M，N為C的兩個(gè)端點(diǎn)，測(cè)得點(diǎn)M到l1，l2的距離分別為5千米和40千米，點(diǎn)N到l1，l2的距離分別為20千米和2.5千米，以l1，l2所在的直線分別為x，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，假設(shè)曲線C符合函數(shù)y=（其中a，b為常數(shù)）模型。

（1）求a，b的值；

（2）設(shè)公路l與曲線C相切于P點(diǎn)，P的橫坐標(biāo)為t。

①請(qǐng)寫出公路l長度的函數(shù)解析式f（t），

②當(dāng)t為何值時(shí)，公路l的長度最短？求出最短長度。

試題解析：

（1）由題意得，點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為，（5，40），（20，2.5）

本題主要考查函數(shù)方程的理解運(yùn)用，導(dǎo)數(shù)幾何意義、運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值及學(xué)生的運(yùn)算求解能力.本次考試采用網(wǎng)上閱卷，兩位老師雙批一個(gè)題目，若在誤差分?jǐn)?shù)之內(nèi)則取平均分；若在誤差之外，則由閱卷組長仲裁給分，故分?jǐn)?shù)具有很好的參考價(jià)值。

2.學(xué)生答題概況及分析

本題全校平均得分8.43（滿分15分）難度系數(shù)為0.562，

其中第一問平均得分3.80分（滿4分），第二問（1）平均得分3.67分（滿分5分）。第二問（2）平均得分0.96分（滿分6分）。

考生總數(shù)為735人，具體各分?jǐn)?shù)人數(shù)如下表：

對(duì)上表數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，我們可以掌握如下學(xué)情。

（1）對(duì)于坐標(biāo)代入，運(yùn)算方程組這樣的基本問題絕大部分學(xué)生能順利解決。

第一問得滿分人數(shù)為675，占考生總數(shù)的91.84%，說明絕大部分學(xué)生對(duì)此問題的解決掌握得很好，也表明對(duì)該類問題的教學(xué)是成功的；得分在2-3分的有39人，占考生總數(shù)的5.3%，這部分學(xué)生正確得到了關(guān)于a、b的方程組，但計(jì)算出錯(cuò)了，表明少數(shù)學(xué)生對(duì)方程組的計(jì)算還不過關(guān)；得分小于或等于2分（含0分）的有21人，占考生總數(shù)的2.86%，這部分學(xué)生大都空白未做，對(duì)本題作放棄處理，查閱試卷后發(fā)現(xiàn)，大部分為體育藝術(shù)類考生.這一方面反映了學(xué)生的解題心理有問題，遇到應(yīng)用題時(shí)有恐懼心理，認(rèn)為這樣的題目都不一定看得懂，肯定得不到分，于是就放棄了；另一方面給我們教師的教學(xué)找到了方向，這21位學(xué)生應(yīng)是我們對(duì)該類問題進(jìn)行后續(xù)教學(xué)的重點(diǎn)對(duì)象，要鼓勵(lì)他們樹立正確的解題觀點(diǎn)，要敢于去探討、研究，不輕易放棄，通過平時(shí)對(duì)題目的鉆研提升自己的解題能力和解題信心。

（2）對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用和求值計(jì)算問題學(xué)生呈現(xiàn)三個(gè)層次。

第二問求公路l的長度的最小值，重點(diǎn)考查將學(xué)生區(qū)分為了三個(gè)層次。

第一層次，得9-11分的人數(shù)為75，占考生總數(shù)的10.2%，這些同學(xué)主要采用參考答案給出的方法或思路進(jìn)行求解，還有部分同學(xué)利用均值不等式g（t）=第二層次，得5-8分的人數(shù)為497，占67.62%，這部分同學(xué)能根據(jù)題目條件寫出f（t）表達(dá)式，但是在求解最小值上半途而廢。出現(xiàn)的問題有：①少數(shù)同學(xué)不會(huì)求導(dǎo)，寫出表達(dá)式后就放棄了②大部分同學(xué)會(huì)求導(dǎo)，但是求導(dǎo)過程中運(yùn)算錯(cuò)誤；

第三層次，得0-2分的人數(shù)為163，占22.18%，這個(gè)比例是比較大的，反映出有小部分的同學(xué)在對(duì)應(yīng)用題的理解、分析、轉(zhuǎn)化上沒有辦法、束手無策。分析原因，一部分同學(xué)是同學(xué)絕大部分第一問是得滿分的，應(yīng)該是具備基本知識(shí)的，不過對(duì)高中數(shù)學(xué)知識(shí)與信息的整合能力還比較欠缺，對(duì)有一直接放棄的，他們對(duì)應(yīng)用題有存有恐懼心理，只要圖形以前沒怎么遇到過，或是圖形比較復(fù)雜，就會(huì)覺得做了也做不出，還不如想把時(shí)間放在其他題目上；一部分同學(xué)進(jìn)行了嘗試，但是在切線的設(shè)與求解過程中不夠熟悉，理不清思路。這些定綜合性的問題難以解決，這也給我們提示，在后面的復(fù)習(xí)中要重點(diǎn)關(guān)注這些同學(xué)，同時(shí)對(duì)此類問題的解決要做好思路探索、方法提煉和恰當(dāng)訓(xùn)練。

3.對(duì)應(yīng)用題復(fù)習(xí)教學(xué)的建議

（1）解應(yīng)用題時(shí)要讓學(xué)生體會(huì)建模的思維過程

針對(duì)上述第三層次的學(xué)生，在教學(xué)中教師要重點(diǎn)呈現(xiàn)建模的的思維過程。

筆者在校內(nèi)、校與校間的聽課中發(fā)現(xiàn)，對(duì)應(yīng)用題的講解，大部分老師是把重點(diǎn)放在解模上，對(duì)審題建模的過程往往一筆帶過，覺得學(xué)生已經(jīng)先做過了，為了節(jié)省時(shí)間不需要再講了。有時(shí)遇到情境比較復(fù)雜的，就首先給學(xué)生“清除障礙”，把問題中的關(guān)鍵字、詞、句進(jìn)行重點(diǎn)分析，甚至幫學(xué)生把變量設(shè)好。誠然這樣做能使學(xué)生能清晰地看清問題中的量及量與量之間的關(guān)系，在解題時(shí)也不容易犯錯(cuò)誤，但是老師如此包辦任務(wù)就導(dǎo)致學(xué)生在分析、理解題目上產(chǎn)生依賴性，缺少自覺主動(dòng)分析問題的能力，以至于在考試時(shí)會(huì)跌倒在建模這一環(huán)節(jié)。因此，筆者認(rèn)為解應(yīng)用題應(yīng)讓學(xué)生自己進(jìn)入到問題情境中去，逐字逐句讀題目，聯(lián)系生活懂題意，再聯(lián)想相關(guān)的概念、定理、公式等數(shù)學(xué)知識(shí)，尋找出變量及變量間的關(guān)系，教師要給學(xué)生時(shí)間進(jìn)行分析、整理、交流、抽象、提煉，讓學(xué)生親身經(jīng)歷把“實(shí)際問題”轉(zhuǎn)化為“數(shù)學(xué)問題”的過程，如此經(jīng)常練習(xí)學(xué)生就不會(huì)再害怕恐懼了。當(dāng)然在這個(gè)過程中教師可給予適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，但應(yīng)注意教師只是組織者，學(xué)生才是主角。

（2）解模要注意方法的積累和細(xì)致的運(yùn)算

對(duì)于上述第一、二層次的學(xué)生，問題出現(xiàn)在建模后的解模過程中。

主要原因是對(duì)目標(biāo)函數(shù)的處理缺少方法或計(jì)算出錯(cuò)。因此在平時(shí)的教學(xué)中，一方面我們要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)題目解答后進(jìn)行反思總結(jié)，整理提煉出解決一類問題的方法，例如各種類型的函數(shù)如何求其最值，對(duì)于二元問題的處理策略等等；另一方面，由于應(yīng)用題受實(shí)際情況的限制，數(shù)據(jù)往往較大或較繁，例如本題中出現(xiàn)這一形式的求導(dǎo)，教師一定要指導(dǎo)學(xué)生計(jì)算時(shí)應(yīng)心態(tài)平穩(wěn)，切不可有煩躁情緒，要耐心細(xì)致地計(jì)算，并適時(shí)地回頭檢查是否有計(jì)算錯(cuò)誤，培養(yǎng)學(xué)生良好的計(jì)算習(xí)慣。

（3）對(duì)學(xué)生解應(yīng)用題中各環(huán)節(jié)的細(xì)節(jié)作針對(duì)性指導(dǎo)

對(duì)于能較好完成應(yīng)用題的建模與解模過程，但是無法得到滿分的學(xué)生，應(yīng)在解題各環(huán)節(jié)的細(xì)微處作針對(duì)性指導(dǎo)。

學(xué)生在解題時(shí)為了追求速度，往往會(huì)忽略一些細(xì)節(jié)的東西，如漏寫函數(shù)的定義域，書寫求導(dǎo)過程不嚴(yán)謹(jǐn)，沒有將建模結(jié)果回歸到實(shí)際問題的解決方法，導(dǎo)致會(huì)而不全，不能得到滿分，是非常可惜的，這種情況往往與平時(shí)做題不細(xì)致有關(guān)。因此，教師在平時(shí)教學(xué)過程中應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣。首先認(rèn)真審題、明確要求，對(duì)題目從頭至尾認(rèn)真審讀，審題干、審材料、審條件、審答項(xiàng)、審說明和要求，關(guān)鍵性字句要字斟句酌，切不可草率行事，否則會(huì)差之毫厘、謬以千里。越是似曾相識(shí)的所謂“熟題”越要謹(jǐn)慎縝密地審題。其次做題步驟要力求準(zhǔn)確、規(guī)范、完整、清晰，平時(shí)做題時(shí)就應(yīng)該按要求該寫的寫上、該劃的劃上，切忌眼高手低，一看題目差不多就放過去，在考試時(shí)就很難做完滿、規(guī)范。羅增儒在中學(xué)數(shù)學(xué)解題的理論與實(shí)踐中說，解題不僅僅是規(guī)則的簡單重復(fù)或操作的生硬執(zhí)行，而是對(duì)方法的繼續(xù)熟練，對(duì)概念的繼續(xù)學(xué)習(xí)。我們要求學(xué)生重視細(xì)節(jié)，并不是為了得滿分或不失分，而是要讓學(xué)生從這些細(xì)節(jié)中體會(huì)解題的嚴(yán)謹(jǐn)，“為什么一定要加這一步？”“不加會(huì)出現(xiàn)什么樣的問題？”當(dāng)學(xué)生能自己回答這些問題了，那么我們的細(xì)節(jié)指導(dǎo)就真的成功了。

三、一點(diǎn)感想

以上是筆者對(duì)該試題作的粗淺分析，是基于事實(shí)與數(shù)據(jù)得出的論斷。教育對(duì)數(shù)據(jù)的使用才剛剛起步，教育的數(shù)據(jù)時(shí)代即將來臨，通過技術(shù)的創(chuàng)新與發(fā)展，以及數(shù)據(jù)的全面感知、收集、分析、共享，我們會(huì)有一種全新的研究方法，這樣的研究方法，將會(huì)對(duì)我們的教育產(chǎn)生巨大變革。正如哈佛大學(xué)社會(huì)學(xué)教授加里·金對(duì)“大數(shù)據(jù)分析”這樣評(píng)價(jià)：“這是一場(chǎng)革命，龐大的數(shù)據(jù)資源使得各個(gè)領(lǐng)域開始了量化進(jìn)程，無論學(xué)術(shù)界、商界還是政府，所有領(lǐng)域都將開始這種進(jìn)程?！睂砦覀兊慕逃虒W(xué)該是怎樣的，我們目前還不清楚，但我們不應(yīng)只做看客，我們要有整合教學(xué)數(shù)據(jù)的能力，要有探索數(shù)據(jù)背后的價(jià)值和制定精確行動(dòng)綱領(lǐng)的能力，要有進(jìn)行精確快速實(shí)時(shí)行動(dòng)的能力，我們應(yīng)努力做一個(gè)創(chuàng)新的實(shí)踐者。

【參考文獻(xiàn)】

[1]羅增儒.《中學(xué)數(shù)學(xué)解題的理論與實(shí)踐》.廣西教育出版社，2008

[2]皮連生.《學(xué)與教的心理學(xué)》.上海華東師范大學(xué)出版社 1997.5

[3]陳志江.《問計(jì)學(xué)生 反思高三應(yīng)用題教學(xué)》.教學(xué)與管理，2013.8