李金龍，楊凱凡

(陜西理工學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院,陜西 漢中 723000)

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BCH-代數(shù)的BCHK-部分

李金龍，楊凱凡

(陜西理工學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院,陜西 漢中 723000)

摘要:研究BCH-代數(shù)X的BCHK-部分即B(X),給出BCH-代數(shù)X中兩個元素的乘積屬于B(X)的幾個條件.證明了: BCH-代數(shù)X的商代數(shù)〈X/ B(X)﹔*,C0〉是一個廣義結(jié)合BCI-代數(shù)且C(0 )=B(X);在一個偏序BCH-代數(shù)X中,如果 X中的任一鏈都有下界,則|X/B(X)|等于X中極小元的個數(shù).

關(guān)鍵詞:BCH-代數(shù);BCHK-部分;偏序BCH-代數(shù);理想;商代數(shù)

相關(guān)文獻(xiàn)提出了BCK-代數(shù)[1]、BCI-代數(shù)[2]、BCH-代數(shù)[3].眾所周知,BCK-代數(shù)類是BCI-代數(shù)類的真子類,而BCI-代數(shù)類又是BCH-代數(shù)類的真子類,因此BCH-代數(shù)是最廣泛的一類代數(shù)系統(tǒng).BCI-代數(shù)的一些結(jié)論在BCH-代數(shù)中成立,一些則不成立；一些可直接推廣,一些則不能直接推廣.這是因?yàn)樵贐CI-代數(shù)中許多重要結(jié)論的證明都與公理[(x*y)*(x*z)]*(z*y)=0有關(guān),而在BCH-代數(shù)中沒有這一條公理,且BCI-代數(shù)中的一些基本性質(zhì)在BCH-代數(shù)中也是不成立的.正是由于以上原因,對BCH-代數(shù)的研究就更加困難一些,只有通過別的途徑來研究BCH-代數(shù), 這樣所得的結(jié)果更具有普遍性.作者提出了BCHK-代數(shù)的概念,將對BCH-代數(shù)的BCHK-部分即B(X)進(jìn)行一些研究,同時討論由B(X)所確定的BCH-代數(shù)商代數(shù)的一些性質(zhì).

為行文方便,先引入下面的一些定義和引理.

定義1[3]一個(2,0)型代數(shù)〈X﹔*,0〉叫做BCH-代數(shù),如果?x,y,z∈X,它滿足下列公理

H-1x*x=0；

H-2x*y=y*x=0?x=y；

H-3(x*y)*z=(x*z)*y.

定義2[4]設(shè)〈X﹔*,0〉是一個BCH-代數(shù),若?x∈X,有0*x=0成立,則稱〈X﹔*,0〉是一個BCHK-代數(shù).

定義3[7]設(shè)〈X﹔*,0〉是一個BCH-代數(shù),若

有

則稱〈X﹔*,0〉是一個偏序BCH-代數(shù).

若x≤y,?z∈X,有z*y≤z*x, 這個性質(zhì)稱為BCH-代數(shù)的偏序性.

定義4[8]設(shè)〈X﹔*,0〉是一個BCH-代數(shù),X的一個非空子集A被稱為一個理想,如果它滿足

(1) 0∈A;

(2) x∈A,y*x∈A?y∈A.

引理1[6，8]設(shè)〈X﹔*,0〉是一個BCH-代數(shù),則?x,y∈X,有下列結(jié)論成立

(1) 0*(x*y)=(0*x)*(0*y)；

(2) [x*(x*y)]*y=0;

(3) 0*[0*(0*x)]=0*x;

(4) x*0=x.

引理2[9]設(shè)A是BCH-代數(shù)〈X﹔*,0〉的一個理想,在X中定義一個二元關(guān)系:?x,y∈X,x～y?0*(x*y)與0*(y*x)∈A,則～是X中的一個同余關(guān)系.記

定義

則〈X/A﹔*,C0〉是一個廣義結(jié)合BCI-代數(shù),且B(X)?C0.

引理3[9]設(shè)〈X﹔*,0〉是一個BCH-代數(shù),令B(X)={x∈X:0*x=0},則B(X)是X的一個子代數(shù),且B(X)是X的一個理想.

引理4[7]設(shè)〈X﹔*,0〉是一個偏序BCH-代數(shù),則X中的二元關(guān)系≤是一個偏序關(guān)系.

1BCHK-部分的性質(zhì)

在文[4]中,作者提出了BCHK-代數(shù)的概念.設(shè)〈X﹔*,0〉是一個BCH-代數(shù), 令B(X)={x∈X:0*x=0},顯然0∈B(X),稱B(X)為BCH-代數(shù)〈X﹔*,0〉的BCHK-部分.下面對BCH-代數(shù)的BCHK-部分即B(X)進(jìn)行一些研究,給出BCH-代數(shù)中兩個元素之積屬于B(X)的幾個條件.

在文[5]中有結(jié)論:設(shè)〈X﹔*,0〉是一個BCI-代數(shù),則?x,y∈X,有[0*(x*y)]*(y*x) =0成立.文[5]是用BCI-代數(shù)中的公理[(x*y)*(x*z)]*(z*y)=0來證明的,而BCH-代數(shù)中無這一公理,但仍有下面的定理1.

定理1設(shè)〈X﹔*,0〉是一個BCH-代數(shù),則?x,y∈X,有

證明由引理1的(1),H-3,引理1的(2)和H-1,得

由H-3,知[0*(x*y)]*(y*x)=0?[0*(y*x)]*(x*y)=0,從而

所以，有

定理2設(shè)〈X﹔*,0〉是一個BCH-代數(shù),?x,y,a∈X,若x*a=0,y*a=0,則x*y∈B(X).

證明因?yàn)閥*a=0∈B(X),由定理1得, a*y∈B(X),故0*(a*y)=0,再由H-1,條件x*a=0,引理1的(1)和(2),H-3，得

即0*(x*y)=0,所以x*y∈B(X).

該定理的幾何意義是:從BCH-代數(shù)的乘法表上看,在元素a所在的那一列中,元素0所在的行對應(yīng)的元素x和y的乘積x*y一定屬于B(X).

定理3設(shè)〈X﹔*,0〉是一個BCH-代數(shù),?x,y,a∈X,若a*x=0,a*y=0,則x*y∈B(X).

證明因a*x=0,a*y=0,由H-1，得 0*(a*x)=0,0*(a*y)=0,再由引理1的(1),H-3,引理1的(2)和(3),得

即0*(x*y)=0,所以x*y∈B(X).

該定理的幾何意義是:從BCH-代數(shù)的乘法表上看,在元素a所在的那一行中,元素0所在的列對應(yīng)的元素x和y的乘積x*y一定屬于B(X).

注定理2的證明也可采用定理3的證明過程.這是因?yàn)閤*a=0=y*a=0∈B(X),由定理1，得0*(a*x)=0,0*(a*y)=0,故由定理3的證明過程，知0=[0*(a*y)]*[0*(a*x)]=0*(x*y),所以x*y∈B(X).

定理4設(shè)〈X﹔*,0〉是一個偏序BCH-代數(shù),?x,y∈X,則x*y∈B(X)??a∈X,使a≤x,a≤y,即a*x=0,a*y=0.

證明充分性.由定理3,知顯然成立.

必要性.因x*y∈B(X),故0*(x*y)=0,即0≤x*y,由偏序性和引理1的(4),得

又由引理1的(2),得

取

有

a≤x,a≤y.

該定理必要性的幾何意義是:設(shè)〈X﹔*,0〉是一個偏序BCH-代數(shù),若x≠y,有x*y∈B(X),則在乘法表中,一定有一行使元素0至少出現(xiàn)兩次.

2由BCHK-部分確定的BCH-代數(shù)商代數(shù)的性質(zhì)

定理5設(shè)〈X﹔*,0〉是一個BCH-代數(shù),在X中定義一個二元關(guān)系

則～是X中的一個同余關(guān)系.

記

定義

則〈X/ B(X)﹔*,C0〉是一個廣義結(jié)合BCI-代數(shù),且C0=B(X).

證明由引理3知,B(X)是BCH-代數(shù)〈X﹔*,0〉的理想.先證明0*(x*y)與0*(y*x)∈B(X)等價于x*y∈B(X).

若0*(x*y)∈B(X),則由定理1和引理1的(4),得

若

由定理1，得

故

0*(x*y)=0,

0*(x*y)與0*(y*x)∈B(X).

再證C0=B(X).設(shè)x∈C0,則x～0,故x*0=x∈B(X),即C0?B(X),由引理2知, B(X)?C0,所以C0=B(X).

綜合上述,由引理2,知定理得證.

文[10]作者提出了廣義結(jié)合BCI-代數(shù),且有很好的性質(zhì),上面的定理將BCH-代數(shù)與廣義結(jié)合BCI-代數(shù)聯(lián)系起來了.

文[11]作者在BCI-代數(shù)中引入了滲透與極大滲透等概念,而一般的BCH-代數(shù)沒有BCI-代數(shù)中的自然偏序關(guān)系,而由引理4知,偏序BCH-代數(shù)X中的二元關(guān)系≤是一個偏序關(guān)系,故作者將在偏序BCH-代數(shù)中引入滲透與極大滲透等概念,并進(jìn)行一些研究.

定義5設(shè)〈X﹔*,0〉是一個偏序BCH-代數(shù), a∈X,B?X且B≠?,記A(a)={x∈X:a≤x}, A(B)={x∈X:b≤x,b∈B},稱A(a)是元素a的上截斷, A(B)是集合B的上截斷.如果B滿足

(1) B=A(B);

(2)?x,y∈B,?b∈B,使b≤x,b≤y.

則稱B是X的一個滲透.稱X的滲透B是極大滲透,是指如果D是X的任一滲透,B?D,則B=D.

按定義顯然有, a∈A(a);?b∈B,b∈A(B),故B?A(B).

定理6設(shè)〈X﹔*,0〉是一個偏序BCH-代數(shù), B?X且B≠?,則B是X的極大滲透的充要條件為B∈X/B(X).

證明充分性.設(shè)Cx∈X/B(X), 顯然Cx?A(Cx);?y∈A(Cx),由A(Cx)的定義知,?a∈Cx,使a≤y,故a*y=0∈B(X),再由定理5知,a～y,又x～a,利用關(guān)系～的傳遞性得,x～y,故y∈Cx, 從而A(Cx)?Cx，所以Cx=A(Cx).?a,b∈Cx,則a*b∈B(X),由定理4，得?c∈X,使c≤a, c≤b. 因c*a=0∈B(X),故c～a,又x～a,從而c～x,c∈Cx.所以Cx是X的一個滲透.

設(shè)D是X的一個滲透,且Cx?D;則?d∈D,因?yàn)閤∈Cx?D,根據(jù)滲透的定義知,?c∈D,使c≤x,c≤d,則c～x,c～d,故d～x,推出d∈Cx,D?Cx，從而Cx=D.所以Cx是X的極大滲透.

必要性.任取a∈B, 因B是X的滲透,?x∈B,?b∈B,使b≤x,b≤a,則b～x,b～a，故x～a,x∈Ca,從而B?Ca.由充分性知Ca是X的滲透,又B是X的極大滲透，所以B=Ca∈X/B(X).

該定理說明了在偏序BCH-代數(shù)中X的任一極大滲透都是X/B(X)中的一個等價類,而X/B(X)中的任一等價類都是X的一個極大滲透,所以極大滲透就是等價類.

定理7設(shè)〈X﹔*,0〉是一個偏序BCH-代數(shù),若X中的任一鏈都有下界,記M={x∈X:x是X的極小元},則有|X/B(X)|=|M|.

證明任取Ca∈X/B(X),設(shè)A是Ca中的任一鏈,由已知條件知,A在X中有下界;設(shè)k是A的一個下界,則?x∈A?Ca,有k≤x,故k*x=0∈B(X),從而k～x,又x～a,故k～a, k∈Ca.所以Ca中的任一鏈在Ca有下界,根據(jù)Zorn引理,Ca中至少存在一個極小元α.

假設(shè)β是Ca中又一個極小元,則α～β,故α*β∈B(X);由定理6知, Ca是X的一個極大滲透,故?γ∈Ca,使γ≤α,γ≤β,由α與β都是極小元得,α=β=γ.這說明Ca有且僅有一個極小元α.

?x∈X,若x≤α,則x～α,又α～a，故x～a，x∈Ca.由α是Ca中的極小元知x=α,因此α是X的極小元.所以Ca中有且僅有X中的一個極小元.

作映射φ: X/B(X)→M,?Ca∈X/B(X),使φ(Ca)=α( α是X中的極小元),則?α∈M,有Cα∈X/B(X),使φ(Cα)=α,故φ是滿射.又?Ca,Cb∈X/B(X), Ca≠Cb,則Ca∩Cb=?,從而Ca中的極小元α與Cb中的極小元β不相等,即φ(Ca)=α≠β=φ(Cb),故φ是單射.說明φ是X/B(X)到M的一一映射,所以|X/B(X)|=|M|.

在文[12]中,作者研究了BCH-代數(shù)X的原子與分支,把X中所有原子做成的集合記為L(X),證明了L(X)是BCH-代數(shù)X的一個廣義結(jié)合BCI-子代數(shù).原子的概念實(shí)質(zhì)上就是極小元的概念,因此該定理說明了偏序BCH-代數(shù)商代數(shù)集合的基數(shù)與它的廣義結(jié)合BCI-子代數(shù)集合的基數(shù)是相等的,即|X/B(X)|=|L(X)|.

設(shè)a∈A,b∈X-A,假定b*a∈A,因A是X的理想,故b∈A,這與b∈X-A矛盾,所以b*a?A.

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(責(zé)任編輯朱夜明)

BCHK-parts of BCH-algebras

LI Jinlong， YANG Kaifan

(College of Mathematics and Computer Science, Shaanxi University of Technology, Hanzhong 723000, China)

Abstract:The BCHK-part i.e. B(X) of the BCH-algebra X was researched, several conditions that the product of two elements in X belonged to the B(X) were given. It was proved that the quotient algebra 〈X/ B(X)﹔*, C0〉of a BCH-algebra X was a generalized associative BCI-algebra and C(0 )=B(X), and in a partial ordering BCH-algebra X, if any chain had lower bound , then |X/B(X)| was equal to the number of minimal element in X.

Key words:BCH-algebra; BCHK-part; partial ordering BCH-algebra; ideal; quotient algebra

中圖分類號：O152

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

文章編號:1000-2162(2016)03-0001-05

作者簡介：李金龍(1961-),男,陜西戶縣人,陜西理工學(xué)院教授.

基金項(xiàng)目:國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11301318); 陜西理工學(xué)院重點(diǎn)科研基金資助項(xiàng)目(SLGKY14-03)

收稿日期：2015-04-13

doi:10.3969/j.issn.1000-2162.2016.03.001