陳付彬, 趙建興

(1.昆明理工大學(xué) 津橋?qū)W院，云南 昆明 650106; 2.貴州民族大學(xué) 理學(xué)院, 貴州 貴陽 550025)

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M-矩陣Fan積的最小特征值下界的新估計(jì)

陳付彬1, 趙建興2

(1.昆明理工大學(xué) 津橋?qū)W院，云南 昆明 650106; 2.貴州民族大學(xué) 理學(xué)院, 貴州 貴陽 550025)

摘要:利用Cauchy-Schwitz不等式給出非奇異M-矩陣A和B的Fan積A★B的最小特征值下界的新估計(jì)式，并與其他文獻(xiàn)中的估計(jì)式進(jìn)行比較.數(shù)值算例表明，新估計(jì)式在一定條件下改進(jìn)了Johnson和Horn給出的經(jīng)典估計(jì)式，同時(shí)也優(yōu)于其他已有的幾個(gè)估計(jì)式，比現(xiàn)有的估計(jì)式更接近真值.

關(guān)鍵詞:M-矩陣；Fan積；最小特征值；下界

M-矩陣不僅是計(jì)算數(shù)學(xué)和矩陣?yán)碚摰闹匾芯空n題之一, 而且在生物學(xué)、物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)等諸多領(lǐng)域都有著重要的實(shí)用價(jià)值. 矩陣Fan積是一種特殊的矩陣乘積, 被廣泛應(yīng)用于偏微分方程中的弱極小原理和概率論中特征函數(shù)等方面的研究中. 在這些研究中, 非奇異M-矩陣Fan積的最小特征值下界的估計(jì)成為研究熱點(diǎn)之一, 并得到了一系列相關(guān)的估計(jì)式[1-11]. 文中將對(duì)這一問題做進(jìn)一步探討，給出非奇異M-矩陣Fan積的最小特征值τ(A★B)下界的一個(gè)新估計(jì)式, 該結(jié)果在一定條件下比現(xiàn)有的一些結(jié)果更加精確.

1預(yù)備知識(shí)

用Cn×n(Rn×n)表示n階復(fù)(實(shí))矩陣集,記N={1,2,…,n}.若aij≥0(aij>0)，則稱A是非負(fù)矩陣(正矩陣)，記為A≥0(A>0), 矩陣A=(aij)∈Cn×n的n個(gè)特征值λ1,λ2,…,λn組成的集合稱為矩陣的譜，記為σ(A).特征值的模的最大值稱為矩陣A的譜半徑, 記為ρ(A). 若A為非負(fù)矩陣，則由Perron-Frobenius定理知,ρ(A)∈σ(A), 且有非負(fù)特征向量x與之對(duì)應(yīng), 滿足Ax=ρ(A)x[12].

令A(yù)∈Zn, 記τ(A)=min{Re(λ):λ∈σ(A)}，由文獻(xiàn)[1]中的結(jié)論知:τ(A)∈σ(A), 稱τ(A)為A的最小特征值.

設(shè)A是非奇異M-矩陣, 則存在正向量u,v,使得Au=τ(A)u,vTA=τ(A)vT, 其中u和v分別稱為矩陣A的右Perron特征向量和左Perron特征向量.

假設(shè)A,B∈Mn, 則A,B的Fan積定義為A★B=C=(cij),有

由文獻(xiàn)[1]中的結(jié)論知：若A,B∈Mn, 則A★B∈Mn.

對(duì)于M-矩陣A和B的Fan積最小特征值下界的估計(jì), 前人做了很多研究. 1991年,Johnson和Horn在文獻(xiàn)[1]中給出一個(gè)經(jīng)典的結(jié)果

(1)

方茂中改進(jìn)上述不等式, 在文獻(xiàn)[2]中給出如下結(jié)果

(2)

黃榮同樣對(duì)不等式(1)進(jìn)行改進(jìn)，在文獻(xiàn)[3]中給出如下結(jié)果

(3)

劉慶兵改進(jìn)不等式(2), 在文獻(xiàn)[4]中給出下面結(jié)果

(4)

李耀堂改進(jìn)文獻(xiàn)[1-3]的結(jié)果，在文獻(xiàn)[5]中給出如下結(jié)果

(5)

其中

論文將給出τ(A★B)的新下界作為對(duì)前人研究結(jié)果的有益補(bǔ)充, 并且保證這個(gè)新的下界比現(xiàn)有的一些經(jīng)典結(jié)果更接近于τ(A★B)的真實(shí)值, 且新結(jié)果將包含文獻(xiàn)[4]中的結(jié)論.

2主要結(jié)果

引理1設(shè)a=(a1,a2,…,an)T≥0，b=(b1,b2,…,bn)T≥0, 則

其中：m=1,2.

證明由Cauchy-Schwitz不等式容易證明結(jié)論成立.

引理2[1]設(shè)A,B是非奇異M-矩陣, D,E是正的對(duì)角矩陣, 則

引理3[14]設(shè)A=(aij)∈Cn×n, 則A的所有特征值都位于復(fù)平面的下列區(qū)域

定理1設(shè)A=(aij), B=(bij)∈Rn×n是非奇異M-矩陣, 則

(6)

其中：m=1,2.

證明顯然n=1, 式(6)成立, 下面假設(shè)n≥2.

若A★B不可約, 則A和B是不可約的M-矩陣，且分別存在正向量

使得

即

設(shè)

U=diag(u1,u2,…,un),V=diag(v1,v2,…,vn).

令

即

且

由引理2可知

所以

(7)

由不等式(7)，得

所以，有

若A★B為可約矩陣,Zn中的矩陣是非奇異M-矩陣的充分必要條件是其所有順序主子式為正[15]. 定義T=(tij)為n階置換陣, 其中t12=t23=…=tn-1,n=tn,1=1, 其余元素為零.對(duì)于足夠小的ε>0, A-εT,B-εT的所有順序主子式為正,所以，當(dāng)ε>0足夠小時(shí)，A-εT, B-εT均是不可約的M-矩陣. 用A-εT,B-εT代替A,B，再令ε→0,則由連續(xù)性知結(jié)論(6)仍然成立.

在定理1中令m=1,得

即是文獻(xiàn)[4]中定理7的結(jié)果.

3數(shù)值算例

為方便計(jì)算，利用文獻(xiàn)[5]中的例子，令

所以

依據(jù)式(1)，得

依據(jù)式(2)，得

依據(jù)式(3)，得

依據(jù)式(4)，得

依據(jù)式(5)，得

在論文定理1中令m=2，得

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(責(zé)任編輯朱夜明)

New estimation on lower bound for the minimum eigenvalue of the Fan product of M-matrices

CHEN Fubin1， ZHAO Jianxing2

(1. Oxbridge College, Kunming University of Science and Technology, Kunming 650106, China；2. College of Science, Guizhou Minzu University, Guiyang 550025, China)

Abstract:A new lower bound on the minimum eigenvalue for the Fan product A★B of two nonsingular M-matrices A and B was given by using Cauchy-Schwitz inequality and compared the new bound with the classical results in the literature. Numerical example showed that the new estimating formula improve the result of Johnson and Horn effectively in some cases, and also was better than the other existing results, which approached the real value than existing ones.

Key words:M-matrix; fan product; minimum eigenvalue; lower bound

中圖分類號(hào)：O151.21

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

文章編號(hào):1000-2162(2016)03-0012-05

作者簡(jiǎn)介：陳付彬(1979-)，男，山東臨沂人，昆明理工大學(xué)副教授.

基金項(xiàng)目:國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(71161020, 11501141)；云南省教育廳科學(xué)研究基金資助項(xiàng)目(2013C165, 2015C107Y)

收稿日期：2015-03-11

doi:10.3969/j.issn.1000-2162.2016.03.003