曹東興孫培峰 姚明輝 胡文華 張偉

（北京工業(yè)大學(xué)機(jī)電學(xué)院機(jī)械結(jié)構(gòu)非線性振動(dòng)與強(qiáng)度北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100124）

雙穩(wěn)態(tài)屈曲梁壓電發(fā)電結(jié)構(gòu)非線性動(dòng)力學(xué)分析*

曹東興?孫培峰 姚明輝 胡文華 張偉

（北京工業(yè)大學(xué)機(jī)電學(xué)院機(jī)械結(jié)構(gòu)非線性振動(dòng)與強(qiáng)度北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100124）

建立了磁場(chǎng)力作用下雙穩(wěn)態(tài)屈曲梁發(fā)電結(jié)構(gòu)非線性動(dòng)力學(xué)方程，利用Galerkin離散和多尺度方法分別分析了一階離散和二階離散系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)特性.分析了系統(tǒng)阻尼、外激勵(lì)幅值和外激勵(lì)頻率對(duì)該發(fā)電結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的影響，獲得了頻率響應(yīng)曲線；分析了系統(tǒng)在1∶2內(nèi)共振情況下動(dòng)力學(xué)行為，數(shù)值結(jié)果表明系統(tǒng)存在倍周期運(yùn)動(dòng)和混動(dòng)運(yùn)動(dòng).

雙穩(wěn)態(tài)， 屈曲梁， 壓電發(fā)電， 非線性動(dòng)力學(xué)

引言

雙穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)多應(yīng)用于微電子機(jī)構(gòu)，其研究始于90年代，在21世紀(jì)初取得巨大進(jìn)展.現(xiàn)階段研究的方向主要分兩個(gè)，一是利用雙穩(wěn)態(tài)微結(jié)構(gòu)自身兩個(gè)穩(wěn)態(tài)的特性制作微結(jié)構(gòu)開(kāi)關(guān)，另一方面利用雙穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)響應(yīng)帶寬較大，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單耐用等特性制作能量收集裝置.本文將結(jié)合雙穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)能夠擴(kuò)展系統(tǒng)響應(yīng)帶寬的特點(diǎn)設(shè)計(jì)一種雙穩(wěn)態(tài)屈曲梁壓電發(fā)電結(jié)構(gòu)并分析其非線性動(dòng)力學(xué)特性.

屈曲梁是一種常見(jiàn)的雙穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)，1997年，季進(jìn)臣［1］固定一端滑動(dòng)承受軸向簡(jiǎn)諧載荷的屈曲梁的非線性響應(yīng)進(jìn)行了實(shí)驗(yàn).研究了基本參數(shù)和共振兩種情況，揭示了系統(tǒng)倍周期分岔和混沌等復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為.1998年，Vangbo［2］基于經(jīng)典細(xì)長(zhǎng)梁，同時(shí)考慮壓力影響，給出了兩邊鉸接梁穩(wěn)態(tài)變化的理論建模方法.1998年，葉敏［3］考慮一端具有干摩擦的彈性屈曲梁在軸向激勵(lì)下的非線性振動(dòng)系統(tǒng)，研究了系統(tǒng)中初始屈曲度、阻尼、頻率、激勵(lì)振幅等各種物理參數(shù)對(duì)1/2亞諧共振情況下倍周期分叉的影響.2000年，Saif［4］提出了一個(gè)簡(jiǎn)化微機(jī)械結(jié)構(gòu)雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng).模型闡釋了梁軸向彈性縮短，以及梁和激振器之間非線性關(guān)系.2007年，趙劍［5］基于廣義變分原理，借助半純函數(shù)公式解析地給出了預(yù)壓屈曲梁雙穩(wěn)態(tài)跳躍過(guò)程中橫向力與位移之間的非線性關(guān)系式.2007年，Hiroshi Yabuno［6］研究了屈曲梁在高頻激勵(lì)下的響應(yīng).2009年，F(xiàn)ernandes［7］等對(duì)非中部激勵(lì)的雙穩(wěn)態(tài)屈曲梁進(jìn)行了建模與實(shí)驗(yàn).發(fā)現(xiàn)在非中部荷載情況下，雙穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)化過(guò)程會(huì)出現(xiàn)遲滯現(xiàn)象.

壓電振動(dòng)能量采集近年來(lái)引起國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注.麻省理工學(xué)院的Shenck等［8］研究了腳跟著地時(shí)的能量損失，將多層PVDF薄窄板安裝在鞋底用于提取人在行走時(shí)鞋底變形產(chǎn)生的能量. Erturk和Inman［9-10］深入研究了基于Euler-Bernoulli梁的懸臂式壓電俘能器，推導(dǎo)出了力學(xué)響應(yīng)、電壓、電流以及輸出功率的簡(jiǎn)單表達(dá)式.楊增濤［11］指出雙壓電晶片梁彎曲模式采集器用于吸收低頻環(huán)境振動(dòng)能，板或殼體厚度模式采集器用于吸收高頻環(huán)境振動(dòng)能，螺旋形俘能器和波紋板俘能器也可用于低頻情況.2010年，Ravindra［12］對(duì)軸向荷載下的雙穩(wěn)態(tài)俘能器進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)建模與非線性分析. 2014年，韓研研［13-14］在考慮幾何非線性的情況下對(duì)雙穩(wěn)態(tài)壓電懸臂梁進(jìn)行了分析.

本文主要研究環(huán)境振動(dòng)激勵(lì)情況下雙穩(wěn)態(tài)屈曲梁壓電發(fā)電結(jié)構(gòu)的非線性動(dòng)力學(xué)特性.首先建立在雙側(cè)受均布磁場(chǎng)力情況下雙穩(wěn)態(tài)壓俘能器的動(dòng)力學(xué)方程，利用多尺度法和Galerkin方法，分析不同外激勵(lì)頻率與外激勵(lì)幅值下系統(tǒng)的非線性振動(dòng)響應(yīng).

1 雙穩(wěn)態(tài)壓電發(fā)電結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程

雙穩(wěn)態(tài)屈曲梁壓電發(fā)電結(jié)構(gòu)如圖1所示，該模型由層合屈曲梁、質(zhì)量塊、彈簧、以及提供均布磁場(chǎng)力的永磁體構(gòu)成.在環(huán)境振動(dòng)條件下，質(zhì)量振動(dòng)驅(qū)動(dòng)屈曲梁變形，層合梁中壓電層由于壓電效應(yīng)從而產(chǎn)生電能.

圖1 雙穩(wěn)態(tài)屈曲梁模型Fig.1 Model of the bistable buckled beam

根據(jù)文獻(xiàn)［14］可獲得磁場(chǎng)力簡(jiǎn)化形式如下，

式中B為磁場(chǎng)與導(dǎo)磁材料作用面處的磁感應(yīng)強(qiáng)度，

H為磁場(chǎng)與導(dǎo)磁材料作用面處的磁場(chǎng)強(qiáng)度，S為磁場(chǎng)與導(dǎo)磁材料作用面的面積.

進(jìn)一步，基于Hamilton原理，可建立環(huán)境振動(dòng)激勵(lì)作用下雙側(cè)受均布磁場(chǎng)力作用的雙穩(wěn)態(tài)屈曲梁非線性運(yùn)動(dòng)方程.

其中，m為層合梁質(zhì)量，M為質(zhì)量塊質(zhì)量，c為阻尼系數(shù)，wd為梁的橫向位移，A為外激勵(lì)振幅，Ω為外激勵(lì)頻率.

2 一階離散與幅頻響應(yīng)分析

根據(jù)相關(guān)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和參數(shù)，計(jì)算得到方程（13）中各項(xiàng)參數(shù)分別為ξ＝0.24，G1＝289.75，G3＝684.34，經(jīng)數(shù)值模擬可得系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線.圖2所示為改變粘性阻尼系數(shù)時(shí)系統(tǒng)幅頻響應(yīng)，結(jié)果表明粘性阻尼抑制了響應(yīng)振幅的增大，較大的阻尼對(duì)應(yīng)于較小的頻響振幅.

圖2 不同粘滯阻尼下的幅頻響應(yīng)曲線Fig.2 Amplitude-frequency curves with different viscous damping

保持其他參數(shù)不變，改變外激勵(lì)振幅，得到系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線（圖3）.由此可見(jiàn)，激勵(lì)振幅增大會(huì)導(dǎo)致幅頻響應(yīng)振幅增大.隨著調(diào)諧參數(shù)σ的增大，頻響曲線從低振幅處跳到高振幅處.

圖3 不同外激勵(lì)振幅下的幅頻響應(yīng)曲線Fig.3 Amplitude-frequency curves under different external excited amplitudes

圖4所示為外激勵(lì)頻率Ω對(duì)幅頻響應(yīng)曲線的影響.激勵(lì)頻率Ω不同，頻響曲線的彎曲方向也不同.當(dāng)激勵(lì)頻率小于13.4的時(shí)候，系統(tǒng)呈現(xiàn)軟彈簧特性；當(dāng)激勵(lì)頻率增大之后，系統(tǒng)開(kāi)始呈現(xiàn)硬彈簧特性.當(dāng)激勵(lì)頻率變化時(shí)，系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)多值現(xiàn)象和跳躍現(xiàn)象.隨著激勵(lì)頻率Ω的增大，系統(tǒng)軟彈簧特性的頻響振幅逐漸增大，系統(tǒng)硬彈簧特性的頻響振幅逐漸減小.

圖4 不同外激勵(lì)頻率下的幅頻響應(yīng)曲線Fig.4 Amplitude-frequency curves of different external excited frequencies

3 二階離散與攝動(dòng)分析

研究屈曲梁的二階橫向振動(dòng)，取振動(dòng)模態(tài)為

利用Galerkin方法對(duì)動(dòng)力學(xué)方程（1）進(jìn)行離散可得，

4 數(shù)值模擬

利用四階Runge-Kutta法對(duì)所得到的平均方程進(jìn)行模擬，通過(guò)相圖和波形圖可以反映系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)行為.系統(tǒng)所選參數(shù)和初值分別為

當(dāng)改變外激勵(lì)頻率時(shí)，系統(tǒng)分別出現(xiàn)單倍周期，多倍周期，混沌現(xiàn)象.圖5～7分別表示外激勵(lì)頻率為1.4、5.6和7.1是系統(tǒng)的波形圖和相圖，系統(tǒng)分別產(chǎn)生單倍周期運(yùn)動(dòng)，多倍周期運(yùn)動(dòng)和混沌運(yùn)動(dòng).

圖5 單倍周期運(yùn)動(dòng)Fig.5 Single periodic motion

圖6 多倍周期運(yùn)動(dòng)Fig.6 Multiple periodic motion

由圖7可見(jiàn)，當(dāng)外激勵(lì)頻率達(dá)到7.1時(shí)系統(tǒng)出現(xiàn)混沌現(xiàn)象.

圖7 混沌運(yùn)動(dòng)Fig.7 Chaoticmotion

5 結(jié)論

本文在考慮幾何非線性的情況下，建立了固定邊界條件下的雙穩(wěn)態(tài)屈曲梁壓電俘能器的動(dòng)力學(xué)控制方程.分析了不同外激勵(lì)頻率與外激勵(lì)幅值下該結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性，獲得頻率響應(yīng)曲線.發(fā)現(xiàn)減小系統(tǒng)阻尼增大外激勵(lì)振幅可拓寬頻率帶寬.綜合應(yīng)用多尺度法和Galerkin離散方法對(duì)系統(tǒng)在1：2內(nèi)共振情況下的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)進(jìn)行了分析.數(shù)值模擬后，發(fā)現(xiàn)在外激勵(lì)作用下系統(tǒng)出現(xiàn)單倍周期，多倍周期與混沌運(yùn)動(dòng).

1 季進(jìn)臣，陳予恕，葉敏，張文德，郎作貴.參激屈曲梁的倍周期分岔和混沌運(yùn)動(dòng)的實(shí)驗(yàn)研究.實(shí)驗(yàn)力學(xué)，1997，2：248～259（Ji JC，Chen Y S，Ye M，ZhangW D，Lang ZG.Experimental investigation on the period doubling bifurcation and chaotic motions of a parametrically excited buckled beam. Journal of Experimental Mechanics，1997，2：248～259（in Chinese））

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NONLINEAR DYNAM ICSOF BISTABLE BUCKLED BEAM PIEZOELECTRIC HARVESTERS*

Cao Dongxing?Sun Peifeng Yao Minghui Hu WenHua Zhang Wei
（Beijing Key Laboratory of Nonlinear Vibrations and Strength of Mechanical Structures，College of Mechanical Engineering，Beijing University of Technology，Beijing 100124，China）

In this paper，the nonlinear governing equation is firstly established for an energy harvesterwith bistable buckled beam.The nonlinear vibration response is studied using Galerkinmethod and themethod ofmultiple scales.The frequency-response curves are depicted to examine the influence of excitation frequency and external excitation amplitude on the structural vibration characteristics.Based on energy analysis method（Hamilton′s principle，Galerkin discretization，etc.），the nonlinear dynamics of the structure are investigated for the case of internal resonance with a ratio of1 to 2.The numerical results show that periodicmotions and chaoticmotions occur in this structure system.

bistable， buckled beam， energy harvester， nonlinear dynamics

10.6052/1672-6553-2016-017

2015-03-11收到第1稿，2015-04-23收到修改稿.

*國(guó)家自然科學(xué)基金（11272016，11172009，11072008），北京市科學(xué)自然科學(xué)基金（3122009），北京市教委科研項(xiàng)目，北京工業(yè)大學(xué)人才項(xiàng)目的資助項(xiàng)目

?通訊作者E-mail：caostar＠bjut.edu.cn

Received 11 March 2015，revised 23 April2015.

*The project supported by the National Natural Science Foundation of China（11272016，11172009，11072008），Beijing Municipal Natural Science Foundation（3122009）and Project of Beijing Municipal Commission of Education.

?Corresponding author E-mail：caostar＠bjut.edu.cn