付宗濤溫建明

（同濟大學(xué)航空航天與力學(xué)學(xué)院，上海 200092）

帶有彈性聯(lián)軸器的齒輪傳動系統(tǒng)隨機非線性分析

付宗濤?溫建明

（同濟大學(xué)航空航天與力學(xué)學(xué)院，上海 200092）

帶有彈性聯(lián)軸器的齒輪傳動系統(tǒng)中，彈性聯(lián)軸器的非線性恢復(fù)力函數(shù)和阻尼力函數(shù)均是頻率和振幅的函數(shù)，在受到隨機激勵作用下形成了一類非線性隨機系統(tǒng).文中應(yīng)用基于高斯勒讓德積分的路徑積分法計算此傳動系統(tǒng)的位移-速度概率密度，并給出一些特定時刻的概率密度分布.最后，分析邊界外概率丟失的問題，提出相應(yīng)的解決方案.

路徑積分法， 高斯勒讓德積分， 高斯激勵， 跡法， 概率丟失

引言

在研究隨機動力學(xué)系統(tǒng)時，常借助FPK方程.受高斯白噪聲激勵的線性或非線性動力學(xué)系統(tǒng)的響應(yīng)可用Markov過程描述，而響應(yīng)的轉(zhuǎn)移概率密度則由FPK方程所確定［1］.實際上，只有少數(shù)特殊的FPK方程才能得到其精確平穩(wěn)解［2］.常用的近似方法主要有隨機平均法、正交函數(shù)展開法等，但是它們不能完全適用于本質(zhì)非線性，因此如何構(gòu)造高效地求解適用于本質(zhì)非線性的FPK方程的數(shù)值方法備受關(guān)注.目前，求解FPK方程的數(shù)值方法包括有限元法、路徑積分法、變分法等［3-4］.

路徑積分法是最早由Feynman提出的用于解決量子力學(xué)問題的一種新的泛函積分表述.路徑積分的基本思想是在空間和時間上分別離散化，以路徑和代替積分，即通過連接短時轉(zhuǎn)移概率密度形成全局轉(zhuǎn)移概率密度，得到狀態(tài)向量的聯(lián)合概率密度函數(shù).Wehner和Wolfer［5］最早提出基于路徑積分的數(shù)值方法來求解具有自然邊界條件的FPK方程.Yu等［6］提出了基于高斯勒讓德公式的路徑積分法，提高了概率密度計算精度.路徑積分法在非線性隨機動力學(xué)系統(tǒng)研究中得到大量應(yīng)用.Yim和Lin［7］計算了甲板上浪作用下的船舶傾覆模型的概率密度，并借助概率密度分析了混沌運動.王迎光和譚家華［8］利用基于隱式高斯勒讓德插值的路徑積分法計算了一強非線性隨機動力系統(tǒng)的響應(yīng)統(tǒng)計.

本文基于已有的實驗研究成果［9］，對帶有彈性聯(lián)軸器的齒輪傳動系統(tǒng)進行隨機響應(yīng)研究.在確定性系統(tǒng)中，聯(lián)軸器的恢復(fù)力是基于跡法模型擬合而得，是位移的三次函數(shù)，一次項和三次項的系數(shù)均是振幅和頻率的函數(shù)；阻尼力是基于能量損耗相等的線性阻尼而得，是速度的一次函數(shù)，其系數(shù)也是振幅和頻率的函數(shù).在研究隨機非線性系統(tǒng)時，仍然采用這種模型，只在外激勵項中添加隨機成分.由于隨機非線性系統(tǒng)的復(fù)雜性，在研究過程中采用了一些簡化措施，將隨機非線性模型中位移和速度的系數(shù)根據(jù)確定性系統(tǒng)的模型轉(zhuǎn)變?yōu)槌?shù).本文得到此傳動系統(tǒng)的位移-速度概率密度，并給出了一些特定時刻的概率密度分布.最后，分析邊界外概率丟失的問題，提出相應(yīng)的解決方案.

1 兩轉(zhuǎn)子軸系傳動系統(tǒng)

1.1 確定性系統(tǒng)的動力學(xué)方程

針對兩轉(zhuǎn)子軸系來建立動力方程，設(shè)主動端（功率輸入端）的等效轉(zhuǎn)動慣量J1，在穩(wěn)定運動下以角位移x1＝ω1t+a0cos（ωt），經(jīng)聯(lián)軸器帶動從動端（J2），橡膠彈性元件的壓縮量為x，則從動端轉(zhuǎn)角為x2＝x1-x，從動端受阻力為M2.對轉(zhuǎn)子J2有動力學(xué)方程

其中，A是振幅，ω是外激勵頻率，

整理得

考慮上式右端為單頻激勵的情況，即假設(shè)M2為ω角頻率的周期激勵.不妨設(shè)上式右端為M′0cos（ωt），得到

上式即為聯(lián)軸器兩轉(zhuǎn)子軸系確定性系統(tǒng)的動力學(xué)方程.

圖1 彈性聯(lián)軸器聯(lián)結(jié)的兩轉(zhuǎn)子軸系示意圖Fig.1 Diagram of double rotor shafting system with flexible couplings

1.2 隨機系統(tǒng)的動力學(xué)方程

針對式（3），假設(shè)右端附加強度為σ的高斯白噪聲激勵

其中ξt是單位功率高斯白噪聲.上式即為聯(lián)軸器兩轉(zhuǎn)子軸系受隨機激勵的動力學(xué)方程.需要注意的是，式（4）中的K1，K3，C均是式（3）確定性系統(tǒng)中的值.

2 隨機系統(tǒng)的響應(yīng)統(tǒng)計量求解

式（4）是一個諧和激勵與高斯白噪聲激勵作用下的非線性Duffing-Rayleigh振子，它的響應(yīng)統(tǒng)計量可以利用路徑積分法進行求解，求解過程計算量較小，結(jié)果的精度較高［10］.

2.1 Duffing-Rayleigh振子的路徑積分解

考慮如下諧和激勵與高斯白噪聲激勵作用下的非線性Duffing-Rayleigh振子

其中ω1是固有頻率，γ是線性阻尼系數(shù)，β和ε是非線性參數(shù)，σ1和ω分別表示正弦激勵的強度和頻率，白噪聲ξt的強度為σ2.相應(yīng)地導(dǎo)出響應(yīng)的轉(zhuǎn)移概率密度Q的FPK方程

其中mij＝E［xi˙xj］（i，j＝0，1，2）.對于二維情形，隨機動力學(xué)系統(tǒng)的短時轉(zhuǎn)移概率密度表達式為

其中，

對于概率密度的二維二點高斯積分，在已知第（i-1）時刻的每個高斯積分點處的概率密度及相應(yīng)的轉(zhuǎn)移概率密度時，借助離散化的概率密度表達式可得第i時刻任意點處的概率密度：

其中，m＝1，2，…，K，n＝1，2，…，Lk，K是子區(qū)間數(shù)，Lk是第k子區(qū)間的高斯積分點數(shù)，此處為4，Ak是第k子區(qū)間的面積，xkl是高斯積分點，ckl是相應(yīng)的權(quán)重.

圖2 瞬態(tài)概率分布Fig.2 Distribution of transient probability

2.2 傳動系統(tǒng)速度-位移概率密度的路徑積分解

根據(jù)已有的確定性系統(tǒng)實驗數(shù)據(jù)［9］，對于式（4），取J2＝0.25N·m·s2，M′0＝80N·m，ω＝94.25，A＝1.778×10-2，σ＝13.將剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)處理為對應(yīng)的確定性系統(tǒng)的數(shù)值，那么K1＝4.66×103，K3＝3.16×107，C＝145.11.考察位移的范圍為-0.075～0.075（rad），速度的范圍為-10～10（rad/s），并分割為50×50個子區(qū)間，子區(qū)間內(nèi)為二維二點高斯積分，時間步長Δt＝T/4.初始分布為

其中，μ1＝-0.03，μ2＝-4，s1＝0.0004，s2＝6.

圖3 穩(wěn)態(tài)概率分布（第26個周期）Fig.3 Distribution of stationary probability（the 26thcycle）

通過利用式（7）（8）（9），可以得到時間步長為T/4的所有時刻的概率密度.圖2、圖3表明本系統(tǒng)是單峰穩(wěn)定的，不具有多穩(wěn)定周期解情況下的響應(yīng)跳躍現(xiàn)象.

2.3 概率丟失問題及修正方法

對于式（9），由于并不是［-∞，∞］×［-∞，∞］的全范圍積分，而是［-0.075，0.075］×［-10，10］區(qū)域范圍內(nèi)的高斯勒讓德積分，區(qū)域外的概率丟失，故每迭代求解一次概率密度，區(qū)間內(nèi)總體概率都會減小.對于圖2（a），區(qū)域內(nèi)概率為0.9808；對于圖3（d），區(qū)域內(nèi)概率為0.8135.可見，概率損失比較嚴重.如果選擇更大的區(qū)間，為了保持精度，需要劃分更多網(wǎng)格，計算量大.考慮到本系統(tǒng)是穩(wěn)定的，區(qū)域外的概率會回歸到區(qū)域內(nèi)，將子區(qū)間高斯積分點及中心的概率密度作如下簡單修正處理：

其中，腳標c表示區(qū)間內(nèi)高斯積分點或者中心，以區(qū)別式（9）中的腳標l.修正后的穩(wěn)態(tài)概率分布見于圖4（a），對應(yīng)圖3（d）時刻.為了考察修正前后概率分布形狀的變化，采用指標diff作為參考標準.

圖4 修正處理對概率分布的影響Fig.4 The influence of improvement on the probability distribution

其中，腳標prov表示修正后，腳標C表示子區(qū)間中心.diff計算的結(jié)果為1.3533×10-11，具體到每個子區(qū)間的相差分布見于圖4（b）.可見，修正措施對概率分布的形狀影響極小，是一種可行的方案.需要強調(diào)的是，這種修正適合所選區(qū)域范圍包含全部穩(wěn)定點的情況，否則將得到錯誤的概率分布.

3 結(jié)論

本文根據(jù)已有彈性聯(lián)軸器扭振實驗的實驗結(jié)果和基于跡法的聯(lián)軸器動力學(xué)模型，建立了由彈性聯(lián)軸器聯(lián)結(jié)的兩轉(zhuǎn)子軸系齒輪傳動系統(tǒng)的隨機動力學(xué)模型.針對該模型，采用基于高斯勒讓德積分的路徑積分法計算速度和位移的響應(yīng)統(tǒng)計，給出了瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)的部分時刻的位移-速度概率分布.最后，本文分析了邊界外概率丟失的問題，提出相應(yīng)的修正方案，并對比修正前后穩(wěn)態(tài)概率分布形狀，發(fā)現(xiàn)修正對概率分布形狀影響極小，說明了修正方案的合理性.

1 邵耀椿，封國林，李俊來.Fokker-Planck方程.昆明理工大學(xué)學(xué)報，1996，21（3）：18～21（Shao Y C，F(xiàn)eng G L，Lin JL.Fokker-Planck equation.Journal of Kunming University of Science and Technology，1996，21（3）：18～21（in Chinese））

2 Lin Y K，CaiG Q.Probabilistic Structural Dynamics：Advanced Theory and Application.New York：McGraw-Hill，1995

3 Dunne JF，GhanbariM.Extreme-value prediction for nonlinear stochastic oscillators via numerical solutions of the stationary FPK equation.Journal of Sound and Vibration，1997，206（5）：697～724

4 張麗強.高維FPK方程的數(shù)值解法.杭州：浙江大學(xué)出版社，2006（Zhang L Q.Numerical solutions for high-dimensional FPK equation.Hangzhou：Zhejiang University Publishing，2006）

5 Wehner M F，Wolfer GW.Numerical evaluation of pathintegral solutions to Fokker-Planck equations.Physical Review A，1983，27（5）：2663～2670

6 Yu JS，Lin Y K.Numerical path integration of a nonlinear oscillator subject to both sinusoidal and white noise excitations∥Advances in Stochastic Structural Dynamics.Boca Raton，F(xiàn)L，USA：CRC Press，2003

7 Yim SC S，Lin H.Unified analysis of complex nonlinear motion via densities.Nonlinear Dynamics，2001，24（1）：103～127

8 王迎光，譚家華.一強非線性隨機震蕩系統(tǒng)的路徑積分解.振動與沖擊，2007，26（11）：153～162（Wang Y G，Tan JH.Path integral solution of a strongly nonlinear stochastic oscillation system.Journal of Vibration and Shock，2007，26（11）：153～162（in Chinese））

9 付宗濤，溫建明.齒式橡膠聯(lián)軸器大位移扭振實驗與建模.石家莊鐵道大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2016，29（1）：80～85（Fu Z T，Wen JM.Large displacement torsional vibration experiments of a gear rubber coupling.Journal of Shijiazhuang Tiedao University（Natural Science Edition），2016，29（1）：80～85（in Chinese））

10徐偉.非線性隨機動力學(xué)的若干數(shù)值方法及應(yīng)用.北京：科學(xué)出版社，2013（Xu W.Numerical Analysis Methods for Stochastic Dynamical System.Beijing：Science Press，2013（in Chinese） ）

RESEARCH ON STOCHASTIC NONLINEAR BEHAVIOR OF A GEAR SYSTEM W ITH FLEXIBLE COUPLINGS

Fu Zongtao?Wen Jianming
（School of Aerospace Engineering and Applied Mechanics，Tongji University，No.1239 Siping Road，Shanghai 200092，China）

For the gear system with flexible couplings，the nonlinear elastic force and damping force are both the functions of displacement and velocity.A nonlinear stochastic system is generated under the excitation of stochastic force.The path integralmethod based on Gauss-Legendre integral is applied to calculate the joint probability density of displacement and velocity responses.Moreover，the distributions of probability density at some special time points are given.In the end，the problem of probability loss is analyzed，and a feasiblemeasure to dealwith it is also put forward.

path integralmethod， Gauss-Legendre integral， Gauss white noise excitation， polynomial approximation， probability loss

10.6052/1672-6553-2016-005

2015-08-24收到第1稿，2015-12-16收到修改稿.

?通訊作者E-mail：1334014＠#edu.cn

Received 24 August2015，revised 16 December 2015.

?Corresponding author E-mail：1334014＠#edu.cn