王宇

摘要：通過(guò)深度剖析數(shù)學(xué)與哲學(xué)千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，從哲學(xué)角度更加全面地給出數(shù)學(xué)的源泉與對(duì)象的定義，進(jìn)而對(duì)“數(shù)學(xué)是什么”得出較完整的回答。文中提出哲學(xué)方法論對(duì)研究和教授數(shù)學(xué)的指導(dǎo)，并在數(shù)學(xué)教學(xué)中以哲學(xué)為指導(dǎo)培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力，最后提出數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中應(yīng)加入的幾點(diǎn)要素。

關(guān)鍵詞：哲學(xué);工科數(shù)學(xué);聯(lián)系;探索

中圖分類號(hào)：G642.0 ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A ? ? 文章編號(hào)：1674-9324（2016）41-0109-02

錢學(xué)森先生認(rèn)為：“數(shù)學(xué)是社會(huì)科學(xué)和自然科學(xué)的基礎(chǔ)，哲學(xué)則是社會(huì)科學(xué)和自然科學(xué)的概括”。由此可以看出，數(shù)學(xué)與哲學(xué)有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，以下是本人在工科數(shù)學(xué)教學(xué)研究中的一些體會(huì)和思考：

一、從哲學(xué)的角度回答“數(shù)學(xué)究竟是什么？”

1.數(shù)學(xué)的研究對(duì)象。對(duì)于數(shù)學(xué)的研究對(duì)象，各個(gè)學(xué)派有不同的看法。直覺(jué)主義者認(rèn)為：“數(shù)學(xué)對(duì)象就是在人的思維之中，是人類智慧的自然功能，數(shù)學(xué)對(duì)象是由人的心智構(gòu)成”，這種學(xué)派偏重于經(jīng)驗(yàn)論，這種理論對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展和擴(kuò)大數(shù)學(xué)分支均有很嚴(yán)重的限制;形式主義者認(rèn)為：“數(shù)學(xué)應(yīng)被看做是一種純粹紙上的符號(hào)游戲，對(duì)于這種游戲所必須滿足的唯一要求是它不會(huì)導(dǎo)致矛盾”，這種觀點(diǎn)過(guò)分強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)對(duì)象先于經(jīng)驗(yàn)、高于經(jīng)驗(yàn)，完全忽視了數(shù)學(xué)與自然界的聯(lián)系，把數(shù)學(xué)僅看做是一種與自然界毫無(wú)聯(lián)系的游戲，對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展是致命的，將導(dǎo)致數(shù)學(xué)無(wú)用論的出現(xiàn);希爾伯特認(rèn)為，“數(shù)學(xué)科學(xué)是一個(gè)不可分割的有機(jī)整體，它的生命力正是在于各部分之間的聯(lián)系，隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，它的有機(jī)特性不會(huì)喪失，只會(huì)更清晰地呈現(xiàn)出來(lái)”，對(duì)此觀點(diǎn)我持保留態(tài)度，因?yàn)殡S著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的迅猛推進(jìn)，越來(lái)越多的數(shù)學(xué)分支應(yīng)用于實(shí)際生活中，甚至于許多分支的研究對(duì)象之間幾乎毫無(wú)關(guān)聯(lián)，它們的實(shí)體屬于不同領(lǐng)域。如：計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)、工程數(shù)學(xué)、生物數(shù)學(xué)等。綜上所述，我認(rèn)為直覺(jué)主義和形式主義兩者觀點(diǎn)的結(jié)合體是數(shù)學(xué)對(duì)象最好的解釋。

2.數(shù)學(xué)是什么？關(guān)于數(shù)學(xué)是什么的問(wèn)題，哲學(xué)界、數(shù)學(xué)界各個(gè)學(xué)派之間說(shuō)法不一，傳統(tǒng)的歐幾里得派認(rèn)為：“數(shù)學(xué)是先驗(yàn)的，不犯錯(cuò)誤的”。直覺(jué)主義者認(rèn)為：“數(shù)學(xué)是創(chuàng)造性的直覺(jué)精神活動(dòng)”，從而提出數(shù)學(xué)的可創(chuàng)造性和排中律，但其不具有普遍性;形式主義者認(rèn)為：“數(shù)學(xué)是由形式符號(hào)構(gòu)成的形式系統(tǒng)”，從而提出數(shù)學(xué)的形式化方案和證明論。這些學(xué)派的觀點(diǎn)，盡管在當(dāng)時(shí)的時(shí)期對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展起到了積極促進(jìn)作用，但很難全面、完整的說(shuō)明“數(shù)學(xué)是什么”這個(gè)問(wèn)題。由于回答“數(shù)學(xué)是什么”這個(gè)問(wèn)題，“數(shù)學(xué)”作為一個(gè)整體加以研究，任何一門科學(xué)都不能以自身作為研究對(duì)象，故應(yīng)該從哲學(xué)的角度作出回答，但單純從哲學(xué)角度回答也不全面，因?yàn)閿?shù)學(xué)學(xué)科具有自己的研究對(duì)象和研究方法，因此需要結(jié)合數(shù)學(xué)自身特點(diǎn)回答這個(gè)問(wèn)題，故我認(rèn)為從哲學(xué)和數(shù)學(xué)相結(jié)合的角度回答這個(gè)問(wèn)題，更具有普遍性和全面性。從哲學(xué)角度回答，我傾向于以下兩種答案：①林泉水在《數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)》中稱數(shù)學(xué)是一門演算的科學(xué)，是從數(shù)學(xué)教學(xué)研究的操作角度概述;②羅竹鳳在《漢語(yǔ)大語(yǔ)典》中，稱數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和量的關(guān)系的科學(xué)，從數(shù)學(xué)自身特征的角度概述;③從數(shù)學(xué)角度回答，我贊同王青建在《數(shù)學(xué)是什么？》中的回答稱數(shù)學(xué)是研究數(shù)與形的科學(xué)，從數(shù)學(xué)研究的基本概念的角度闡述數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

因此，對(duì)于“數(shù)學(xué)是什么”問(wèn)題的回答，應(yīng)該是以上三種的結(jié)合體，即數(shù)學(xué)是一門演算的科學(xué)、研究數(shù)與形的科學(xué)、是研究現(xiàn)實(shí)世界空間形式和量的關(guān)系的科學(xué)。

二、用哲學(xué)的方法論研究數(shù)學(xué)

哲學(xué)與數(shù)學(xué)是兩門不同的學(xué)科，它們的研究對(duì)象、研究目的、研究方法等都大相徑庭。很多哲學(xué)家明確指出：“哲學(xué)不是數(shù)學(xué)”。維特根斯坦在《哲學(xué)研究》中指出：“哲學(xué)不是理論，哲學(xué)的任務(wù)在于描述，即是思想在邏輯上變得明晰起來(lái)的學(xué)問(wèn)”，哲學(xué)不提出任何理論，在哲學(xué)思考中不應(yīng)有任何假設(shè)性的東西，因此哲學(xué)的任務(wù)不是得出結(jié)論，而是陳述眾所公認(rèn)的事實(shí)，所以哲學(xué)問(wèn)題不是數(shù)學(xué)問(wèn)題或邏輯問(wèn)題。但是歷史上許多著名的哲學(xué)家既在哲學(xué)方面又在自然科學(xué)方面均造詣?lì)H高，如大衛(wèi)·希爾伯特、朱爾斯·亨利、彭加勒、諾伯特、維納等。他們的哲學(xué)思想中無(wú)可避免的會(huì)帶有自然科學(xué)的影子，特別是許多自然科學(xué)研究中都有哲學(xué)方法論的指導(dǎo)，數(shù)學(xué)學(xué)科的進(jìn)步也在無(wú)形中接受著哲學(xué)方法論的指導(dǎo)，利用這些方法我們可以較準(zhǔn)確地從宏觀角度把握數(shù)學(xué)課題，可以在具體研究中少走彎路，在具體的教學(xué)過(guò)程中更具有目的性。我們常用的數(shù)學(xué)研究方法和教學(xué)方法都可以在哲學(xué)中找到歸宿，發(fā)現(xiàn)本質(zhì)，很好的解決了我在教學(xué)研究過(guò)程中很多方法只知其然而不知所以然的疑問(wèn)。

1.用哲學(xué)的方法發(fā)現(xiàn)問(wèn)題。希爾伯特指出：“只要一門科學(xué)分支能提出大量的問(wèn)題，它就充滿著生命力，而問(wèn)題的匱乏則預(yù)示著它發(fā)展的衰亡和終止”，由此可見(jiàn)“提出問(wèn)題”在數(shù)學(xué)研究中舉足輕重的地位。希爾伯特在面對(duì)大量科學(xué)問(wèn)題時(shí)主張從單個(gè)重要問(wèn)題入手，因?yàn)檫@種問(wèn)題解決的意義將遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出問(wèn)題本身。如何尋找這種單個(gè)重要問(wèn)題就顯得至關(guān)重要、意義非常。反省自己，在以前選題過(guò)程中過(guò)分追求問(wèn)題的全面性，看起來(lái)似乎很完美，但往往作不出結(jié)果，這是非常錯(cuò)誤的做法。希爾伯特還提出，數(shù)學(xué)問(wèn)題應(yīng)該具備以下三個(gè)特點(diǎn)：（1）清晰性和易懂性。清晰性確保研究者可以有一個(gè)清晰地思路，有解決問(wèn)題的具體步驟;易懂性確保得到的結(jié)果有意義，若得出一個(gè)除自己以外其他人都難以理解的結(jié)果，那么這個(gè)結(jié)果也是無(wú)用的。（2）困難而又不是無(wú)從下手。所選問(wèn)題的難度，應(yīng)當(dāng)是能夠使科學(xué)研究者將其視為通向真理道路上的一盞明燈，看得見(jiàn)光亮，但又必須始于足下，付出努力才能接近。（3）意義重大。這個(gè)特點(diǎn)對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展和數(shù)學(xué)研究者來(lái)說(shuō)，其重要性都是顯而易見(jiàn)。深悟這三個(gè)重要特點(diǎn)后，有一種如釋重負(fù)的感覺(jué)，在以后的教學(xué)和研究中尋找問(wèn)題時(shí)，如同有一位無(wú)形的導(dǎo)師指引我走向數(shù)學(xué)世界中最耀目的那顆明珠。在平時(shí)的教學(xué)工作中，指導(dǎo)學(xué)生以這三個(gè)特點(diǎn)為標(biāo)準(zhǔn)審視自己尋找的問(wèn)題是否有意義，也會(huì)注重給學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的教育。

2.用哲學(xué)方法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。威廉·惠威爾曾提出：“科學(xué)的發(fā)現(xiàn)是通過(guò)事實(shí)（經(jīng)驗(yàn)）和觀念（理論）的綜合而實(shí)現(xiàn)的。首先是準(zhǔn)備階段，在這個(gè)階段，一是收集事實(shí);二是澄清一些含糊不清的觀念和科學(xué)的闡明一些必要的概念;其次是歸納階段，這個(gè)階段最主要的是把第一階段收集到的信息由厚到薄的進(jìn)行總結(jié)加工，更利于以后的使用;最后即是結(jié)局階段，在綜合出新的理論和假設(shè)后，必須進(jìn)一步鞏固和擴(kuò)展這些理論和假設(shè)”。這些哲學(xué)的方法在平時(shí)的數(shù)學(xué)證明中經(jīng)常使用，之前只知道使用這些方法去做科學(xué)研究是正確的，但并不知道這些方法有哲學(xué)根源，蘊(yùn)含大量哲學(xué)思想。

彭加勒指出：“數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的三段論：有意識(shí)工作—下意識(shí)工作—有意識(shí)工作”，下意識(shí)工作是很關(guān)鍵的，經(jīng)常在證明某個(gè)命題時(shí)花費(fèi)了很多時(shí)間精力都無(wú)法使證明有一點(diǎn)進(jìn)展，灰心之際，就放下去做其他工作，在做其他工作的過(guò)程中，突然某些思路給了自己靈感，想到了另一種思路去證明之前的問(wèn)題，從而得到輕松破解。彭加勒還指出：“下意識(shí)工作是要有條件的，即必須要以艱苦的意識(shí)工作為前導(dǎo)，這段前導(dǎo)的意識(shí)工作越充分，下意識(shí)的組合基礎(chǔ)和能力就越大”，因此我們并不能一味等待靈感的到來(lái)，正所謂“機(jī)會(huì)總是留給有準(zhǔn)備的人”。另外，在具體的研究過(guò)程中，經(jīng)常使用的反證、類推，彌爾指出的歸納五法和赫茲指出的歸納九法等都在哲學(xué)中找到了它的根源。

三、工科數(shù)學(xué)教師教學(xué)活動(dòng)中應(yīng)該加入的幾點(diǎn)要素

1.在教學(xué)過(guò)程中，有意識(shí)地將“推理證明，計(jì)算結(jié)果”引導(dǎo)到“找出問(wèn)題，提出問(wèn)題”的思維模式中。

2.在教學(xué)過(guò)程中要適時(shí)適當(dāng)?shù)慕o學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法的教學(xué)內(nèi)容，如：觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、演繹、合理化逆向思維、直覺(jué)、形象思維等方法的講解和拓展，使學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中充分體會(huì)數(shù)學(xué)思維和思考的各種活動(dòng)，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)研究真諦。

3.在教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)當(dāng)加入數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)哲學(xué)的教學(xué)內(nèi)容，使學(xué)生更加領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)各分支的發(fā)展脈絡(luò)，從更高的角度認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，使其能自覺(jué)主動(dòng)的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，體會(huì)數(shù)學(xué)精神。

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The Exploration of Philosophy and Engineering Mathematics

WANG Yu

（Anhui University of Science and Technology，Huainan，Anhui 232001，China）

Abstract：Through the deep analyse of the mathematics and philosophy，from the Angle of philosophy，a more comprehensive source of mathematics is given and the definition，and concludes that "what is maths？"Philosophy of the proposed methodology for research and professor of mathematics instruction，and guided by the philosophy in the mathematics teaching to cultivate students the ability to find problems，finally puts forward to join in the mathematics teaching of some elements of teaching.

Key words：philosophy;engineering mathematics;connection;exploration