楊秦飛 　王秋月

[摘要]本文主要給出近幾年高考中出現(xiàn)的一類新函數(shù)f（x）=max{h（x），g（x）…}或f（x）=min{h（x），g（x）…}的本質(zhì)及解法探究，以為中學(xué)解題教學(xué)提供一種學(xué)習(xí)方式和研究手段。

[關(guān)鍵詞]分段函數(shù)；高考解題

一、問(wèn)題提出

分段函數(shù)是高中數(shù)學(xué)函數(shù)部分的一個(gè)重點(diǎn)，也是歷年高考考察的重點(diǎn)之一。在2013年之前的分段函數(shù)考察，主要以f（x）=h（x），x>ag（x），x≤a這種形式出現(xiàn)，從2013年開(kāi)始出現(xiàn)了另一種“新型分段函數(shù)”，這種函數(shù)以另一種方式呈現(xiàn)出來(lái)，即f（x）=max{h（x），g（x）…}或f（x）=min{h（x），g（x）…}，那么針對(duì)此類函數(shù)它是怎么產(chǎn)生的？我們?cè)趺磥?lái)求解這類函數(shù)呢？

二、分段函數(shù)的定義

1?！按鷶?shù)”角度

一般意義上，我們把在函數(shù)定義域內(nèi)，在不同區(qū)間上的具有不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系（函數(shù)表達(dá)式）的函數(shù)叫做分段函數(shù)。一般情況我們將其記作：f（x）=

t（x），x∈（a，b）

h（x），x∈（b，c）

g（x），x∈（c，d）

…

2?！靶巍钡慕嵌?/p>

從圖形的角度來(lái)理解，就是同一函數(shù)，在不同的區(qū)間上面對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖像不滿足同一函數(shù)表達(dá)式，而是根據(jù)區(qū)間的不同，對(duì)應(yīng)不同的圖像滿足不同的解析式。

圖 1例如函數(shù)（1）、f（x）=

log1[]2x，x≥1，

2x，x<1等等作出（1）的函數(shù)圖像如圖2：（1）圖我們可理解為f（x）截取的是y1=log12x和y2=2x兩個(gè)函數(shù)的不同部分而合成的函數(shù)。當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）取y1=log12x和y2=2x較小的，即最下面的圖像；當(dāng)x<1時(shí)，f（x）取y1=log12x和y2=2x較大的，即最上面的圖像。

在以上（1）圖中，結(jié)合其解析式，我們可以用另一種方式來(lái)呈現(xiàn)其解析式：

f（x）=log1[]2x，x≥1，

2x，x<1

f（x）=max2x，log1[]2x，x≤1

min2x，log1[]2x

，x>1

類似的，我們就可以讓所有的分段函數(shù)，通過(guò)f（x）=max{h（x），g（x）…}或f（x）=min{h（x），g（x）…}來(lái)表示，這也就產(chǎn)生了我們這里所謂的“新型分段函數(shù)”。

三、新型分段函數(shù)本質(zhì)介紹及解法

通過(guò)上面的介紹我們已經(jīng)知道“新型分段函數(shù)”其本質(zhì)是分段函數(shù)，只是我們將原分段函數(shù)中每一解析式對(duì)應(yīng)函數(shù)圖像全部作出，再根據(jù)不同區(qū)間對(duì)應(yīng)的不同圖像的相對(duì)位置，通過(guò)max{a，b…}和min{a，b…}呈現(xiàn)出來(lái)。

圖 2例 函數(shù)f（x）=-x，-2

g（x）=x2-2下面分別作出h（x）=-x，g（x）=x2-2的函數(shù)圖像，如圖2。

當(dāng)x∈（-2，1）時(shí)，f（x）的圖像取得是該區(qū)間所對(duì)應(yīng)全部圖像的最上面（最大）那一條，即f（x）=h（x）=-x；

當(dāng)x∈（-∞，-2]∪[1，+∞）時(shí)，f（x）的圖像取得也是該區(qū)間所對(duì)應(yīng)全部圖像的最上面（最大）那一條，即f（x）=g（x）=x2-2。從而作出f（x）圖像。

圖 3如圖3所示；因此我們就可給出f（x）的另一呈現(xiàn)形式：

f（x）=-x，-2

x2-2，x≥1或x≤-2f（x）=max{x2-2，-x}。

這里知道了f（x）=（max）/（min）{h（x），g（x）…}的產(chǎn)生

過(guò)程，下面來(lái)看看其此類題解法：

①在整個(gè)定義域內(nèi)作出（max）/（min）{h（x），g（x）…}中h（x），g（x）…的所有函數(shù)圖像。

②在作出的h（x），g（x）…函數(shù)圖像后：若原函數(shù)是max{h（x），g（x）…}，則取h（x），g（x）…函數(shù)圖像中，每段相對(duì)位置位于最上方的一段；若原函數(shù)是min{h（x），g（x）…}，則取h（x），g（x）…函數(shù)圖像中，每段相對(duì)位置位于最下方的一段。

③由②給出了（max）/（min）{h（x），g（x）…}的圖像，那么這里就根據(jù)每一段的圖像給出（max）/（min）{h（x），g（x）…}的解析式，并可結(jié)合圖像得出單調(diào)性，奇偶性以及周期性和最值問(wèn)題。

通過(guò)對(duì)本類題的探討也給我們中學(xué)解題教學(xué)提供一定的方向，即注意培養(yǎng)學(xué)生對(duì)每一知識(shí)可以怎樣變化，可以和哪些板塊知識(shí)聯(lián)系起來(lái)等等相關(guān)能力，這才是避免當(dāng)前中學(xué)教學(xué)中題海戰(zhàn)術(shù)的有效方法。

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