魏芳

近期，全程參與了市教研室組織的“學(xué)科帶頭人展示活動(dòng)”，觀摩了兩節(jié)“解決問(wèn)題策略”的公開(kāi)課，分別是蘇教版（下同）小學(xué)數(shù)學(xué)三年級(jí)下冊(cè)“從問(wèn)題想起”和四年級(jí)下冊(cè)“畫圖的策略”。活動(dòng)之后，教研室組織了解讀教材活動(dòng)，探討公開(kāi)課背后更本源的內(nèi)容。解讀中的爭(zhēng)論焦點(diǎn)在于兩節(jié)公開(kāi)課中都涉及到的線段圖：教材編排的線段圖究竟價(jià)值何在？以怎樣的方式呈現(xiàn)線段圖更為合適？這兩個(gè)核心問(wèn)題引發(fā)了大家的熱議，也引起了筆者的關(guān)注與思考。

一、 解讀“線段圖”，應(yīng)具有縱向視野

數(shù)學(xué)知識(shí)最顯著的特點(diǎn)是它的前后關(guān)聯(lián)性，其形成與發(fā)展也是由易到難、由淺入深逐步推進(jìn)的。如線段圖的出現(xiàn)，并非一蹴而就，而是依據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和知識(shí)的特點(diǎn)逐層滲透的。

1.厘清“線段圖”的發(fā)展趨勢(shì)

縱觀教材中編排的“線段圖”，由最初的直條“遮蓋”具體數(shù)量，逐步過(guò)渡到用直條概括數(shù)量的多少，最后再用線段表示數(shù)量的多少及關(guān)系，體現(xiàn)了由易到難、由具體到抽象的特點(diǎn)，具體分析如下。

（1）用直條“遮蓋”數(shù)量及關(guān)系。教材中第一次用直條的方式表示數(shù)量及關(guān)系，是在二年級(jí)上冊(cè)“表內(nèi)乘除法的練習(xí)”中（圖1）。意在引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì)是“求8個(gè)3相加的和是多少？”這里的直條具有“遮蓋”具體數(shù)量的作用，學(xué)生在計(jì)算后還能用數(shù)一數(shù)的方法驗(yàn)證直條后面的五角星個(gè)數(shù)。

（2）用直條概括數(shù)量及關(guān)系。第二次出現(xiàn)直條圖是在二年級(jí)下冊(cè)“兩位數(shù)加減法”中（圖2）。用不同顏色的直條表示不同的數(shù)量，且隱藏的個(gè)數(shù)較多，不容易再像第一次那樣可以去數(shù)個(gè)數(shù)，這里的直條具有概括的作用。學(xué)生根據(jù)文字的敘述與直條的長(zhǎng)短來(lái)理解兩種數(shù)量之間的關(guān)系，從而分析和解決問(wèn)題。

用線段表示數(shù)量及關(guān)系。教材正式出現(xiàn)線段圖，是在三年級(jí)上冊(cè)“從條件想起”（圖3）中。這是首次用簡(jiǎn)潔的線段圖表示條件與問(wèn)題，讓學(xué)生根據(jù)條件填寫線段圖中的數(shù)據(jù)，借助線段圖從條件出發(fā)分析數(shù)量關(guān)系。在三年級(jí)下冊(cè)“從問(wèn)題想起”（圖4）中，讓學(xué)生根據(jù)實(shí)際情境中的條件補(bǔ)足線段圖及問(wèn)題，借助線段圖從問(wèn)題出發(fā)分析數(shù)量關(guān)系。在四年級(jí)下冊(cè)“用畫圖的策略解決問(wèn)題”（圖5）中，讓學(xué)生根據(jù)實(shí)際問(wèn)題中的兩個(gè)未知量的關(guān)系補(bǔ)全線段圖，根據(jù)線段圖從不同角度分析數(shù)量關(guān)系。

2.把準(zhǔn)各階段“線段圖”的核心

理清教材編排“線段圖”的意圖是第一要義，接下來(lái)就要結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)和知識(shí)的發(fā)展線索，合理呈現(xiàn)線段圖，借助線段圖來(lái)分析數(shù)量關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生表征信息、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

（1）從條件出發(fā)思考。三年級(jí)上冊(cè)“從條件出發(fā)思考”（圖3）中，因呈現(xiàn)的條件較多，關(guān)系較復(fù)雜，需要借助線段圖來(lái)分析綠花、黃花和紅花之間的關(guān)系：已知“綠花有12朵”，可以用一條線段表示綠花的朵數(shù)；已知“黃花的朵數(shù)是綠花的2倍”，那么表示黃花朵數(shù)的線段應(yīng)是2條表示綠花朵數(shù)的線段那么長(zhǎng)；已知“紅花的朵數(shù)比黃花多7朵”，因此表示紅花朵數(shù)的線段應(yīng)比表示黃花朵數(shù)的線段稍長(zhǎng)一些。問(wèn)題是求“紅花有多少朵？”應(yīng)把“？”標(biāo)示在表示紅花朵數(shù)的線段下面。這里的線段圖是根據(jù)條件之間的關(guān)系逐步呈現(xiàn)的，根據(jù)直觀形象的圖示，學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)量關(guān)系：“綠花的朵數(shù)×2=黃花的朵數(shù)”，“黃花的朵數(shù)+7=紅花的朵數(shù)”。使學(xué)生感受到線段圖能直觀地表征出三種花朵數(shù)之間的關(guān)系，并能從已知條件“綠花有12朵”出發(fā)，一步步推算出所求的問(wèn)題。體驗(yàn)到“從條件出發(fā)”分析和解決問(wèn)題的過(guò)程和本質(zhì)，建構(gòu)起“由因至果”的思考模型，積累解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)。

（2）從問(wèn)題出發(fā)思考。三年級(jí)下冊(cè)“從問(wèn)題出發(fā)思考”（圖4）中，要求“買一套衣服要用多少元？”需要知道兩個(gè)條件：一件上衣的價(jià)錢和一條褲子的價(jià)錢，其中褲子的價(jià)錢已知，上衣的價(jià)錢未知，因此要先求出上衣的價(jià)錢?？梢愿鶕?jù)“上衣的價(jià)格是褲子的3倍”畫出表示上衣的線段，應(yīng)是3段表示褲子價(jià)錢的線段那么長(zhǎng)。問(wèn)題“買一套衣服要用多少元？”可以用大括號(hào)把表示褲子價(jià)錢的線段和表示上衣價(jià)錢的線段合并起來(lái)，再標(biāo)出“？”。這里的線段圖是從問(wèn)題出發(fā)，一步步尋找所需要的條件，再根據(jù)條件之間的關(guān)系逐步呈現(xiàn)的。根據(jù)直觀圖示，學(xué)生容易想到其中的數(shù)量關(guān)系：“一套衣服要用的元數(shù)=褲子的價(jià)錢+上衣的價(jià)錢”，上衣的價(jià)錢不知道，再用“褲子的價(jià)錢×3=上衣的價(jià)錢”求得。使學(xué)生體會(huì)到“從問(wèn)題出發(fā)”分析問(wèn)題的過(guò)程和本質(zhì)，建構(gòu)起“執(zhí)果索因”的思考模型，積累更豐富的解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)。

（3）用畫圖的策略解決問(wèn)題。四年級(jí)下冊(cè)“用畫圖的策略解決問(wèn)題”（圖5）中，問(wèn)題涉及兩個(gè)未知量，條件中已知兩個(gè)未知量之間的和與差的關(guān)系。在教學(xué)時(shí)要充分激活學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)積累，喚起學(xué)生畫線段圖來(lái)表征數(shù)量關(guān)系的需要。這里，要把畫線段圖作為一個(gè)重要的教學(xué)目標(biāo)，同時(shí)線段圖也是幫助學(xué)生分析數(shù)量關(guān)系的思考媒介。從直觀形象的圖示中，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)兩種不同的思路：從總數(shù)中去掉多的12枚，就是2個(gè)小寧的枚數(shù)，再分別求出小寧和小春的枚數(shù)；或者在總數(shù)中加上12枚，就是2個(gè)小春的枚數(shù)，再分別求出小春和小寧的枚數(shù)。這里，“畫”線段圖是學(xué)生分析數(shù)量關(guān)系的需要，“看”線段圖則能幫助學(xué)生理清兩種未知量之間的關(guān)系，“畫”和“看”是兩個(gè)相輔相成的過(guò)程，缺一不可。至此，學(xué)生充分感受到線段圖之于分析數(shù)量關(guān)系的價(jià)值，對(duì)線段圖在解決問(wèn)題過(guò)程中的價(jià)值體驗(yàn)也會(huì)更深刻。

二、 應(yīng)用“線段圖”，要拓寬橫向關(guān)聯(lián)

借助線段圖來(lái)表征實(shí)際問(wèn)題中的信息，其本質(zhì)是理清條件與問(wèn)題之間的關(guān)系，確定解題思路，最終求解問(wèn)題。問(wèn)題千變?nèi)f化，線段圖表征信息的方式也會(huì)靈活多樣。

1.同中求異，靈活拓展思路

同一種解決問(wèn)題的策略，其思考路徑是相同的，但具體問(wèn)題的呈現(xiàn)方式、內(nèi)涵會(huì)有所不同。在三年級(jí)上冊(cè)“從條件想起的策略”中，學(xué)生初次完整地接觸了線段圖，并能借助線段圖從條件出發(fā)思考和解決問(wèn)題。之后，需要運(yùn)用豐富的實(shí)例，幫助學(xué)生感悟到解決問(wèn)題的策略是相通的，但具體的解決方法是不同的。如下面的線段圖，可以引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)線段圖提出不同的問(wèn)題，并解答。

通過(guò)分析，學(xué)生能夠感受到線段圖呈現(xiàn)信息的方式不同，如圖6中，把表示桃樹(shù)和梨樹(shù)棵數(shù)的線段合并成一條長(zhǎng)線段，用另一條線段表示蘋果樹(shù)的棵數(shù)，學(xué)生能解答“桃樹(shù)和梨樹(shù)一共多少棵”和“蘋果樹(shù)有多少棵”等不同問(wèn)題。當(dāng)然，還可以呈現(xiàn)相似的習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生嘗試用線段圖表征信息，再分析解答。通過(guò)多樣的練習(xí)，幫助學(xué)生充分體驗(yàn)到策略之于同類問(wèn)題的統(tǒng)攝作用，更能感受到不同問(wèn)題的呈現(xiàn)方式各不相同，其中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系也是豐富而靈活的。

2.異中求同，體會(huì)核心內(nèi)涵

現(xiàn)實(shí)世界中的實(shí)際問(wèn)題是復(fù)雜多變的，但某一種策略有時(shí)卻能統(tǒng)領(lǐng)一系列具體問(wèn)題。在四年級(jí)下冊(cè)“用畫圖的策略解決問(wèn)題”中，問(wèn)題變化多樣，但其核心都是借助線段圖來(lái)表征復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，從而理清思路，解決問(wèn)題。如下面的兩個(gè)問(wèn)題：（1）小寧和小星一共有畫片86張。小星比小寧多8張，兩人各有畫片多少?gòu)?？?）小寧和小星一共有畫片86張。小星給小寧8張后，兩人畫片的張數(shù)同樣多。兩人原來(lái)各有畫片多少?gòu)垼窟@兩個(gè)問(wèn)題具體表征的線段圖并不相同（圖7、圖8）：

從圖中可以發(fā)現(xiàn)，問(wèn)題（1）中兩人的畫片張數(shù)之差是8張，而問(wèn)題（2）中兩人的張數(shù)之差是2個(gè)8張。通過(guò)直觀的對(duì)比與分析，學(xué)生能夠準(zhǔn)確把握實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，并順利解決問(wèn)題。之后，教師要組織學(xué)生進(jìn)行深入比較：這兩個(gè)實(shí)際問(wèn)題不同，所畫的線段圖也不同，數(shù)量關(guān)系更不同，但最本質(zhì)的相同之處在哪里？引發(fā)學(xué)生關(guān)注兩個(gè)問(wèn)題的策略核心：借助線段圖把復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系變得清晰有序，利于思考。

3.靈活應(yīng)用，凸顯獨(dú)特價(jià)值

線段圖是學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的一種有效的思維輔助，學(xué)生對(duì)線段圖價(jià)值的感悟是隨著解決問(wèn)題的過(guò)程逐步積累的。特別是到了高年級(jí)，實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系更復(fù)雜，線段圖就是他們形象表征和理清數(shù)量關(guān)系的重要媒介。如六年級(jí)的“分?jǐn)?shù)乘除法實(shí)際問(wèn)題”中，線段圖更是發(fā)揮了不可忽視的作用。舉例說(shuō)明：兩筐蘋果共重56千克。從第一筐取出放入第二筐，兩筐蘋果就同樣重。原來(lái)兩筐蘋果各重多少千克？學(xué)生可以借助線段圖（圖9）進(jìn)行分析。

根據(jù)線段圖可以發(fā)現(xiàn)原來(lái)第一筐是9份，第二筐是5份，可以求出1份是：56÷（9+5）=4千克，原來(lái)第一筐就是9個(gè)4千克即36千克，第二筐就是5個(gè)4千克即20千克；也可以把第一筐的千克數(shù)看作單位“1”，結(jié)合分?jǐn)?shù)除法的意義求出第一筐的千克數(shù)：56÷（1+）=36千克，再求出第二筐的千克數(shù)：36×（1-×2）=20千克。學(xué)生從多種角度思考的方法，利益于線段圖的形象支撐，幫助他們進(jìn)行邏輯推理。

皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展階段理論把7～11歲的兒童（也就是小學(xué)生）稱為具體運(yùn)算階段，這個(gè)階段的兒童缺乏抽象邏輯推理能力，他們的思維帶有很大的具體形象性，但是他們能憑借具體形象的支撐，進(jìn)行邏輯推理。因此，在學(xué)生解決一些抽象的數(shù)學(xué)實(shí)際問(wèn)題時(shí)，為他們提供一些具體形象的材料，如線段圖等直觀輔助，能讓他們進(jìn)行“選擇性知覺(jué)”，再進(jìn)行分析比較，促進(jìn)抽象概括，利于形成并獲得解決問(wèn)題的策略經(jīng)驗(yàn)。

【責(zé)任編輯：陳國(guó)慶】