仲愛云

[摘 要] 在“一元二次方程的解法——配方法”教學(xué)中，幾何方法的探究給“教”與“學(xué)”帶來了新的視角，但過分依賴幾何方法，將有損課堂教學(xué). 虛實(shí)結(jié)合是對HPM視野下課堂教學(xué)的深入思考，以史為鑒，注重反思. 教學(xué)內(nèi)容的虛實(shí)共濟(jì)，即重視針對性，關(guān)注發(fā)展性；教學(xué)方法上的虛實(shí)結(jié)合，即靈活多變. 教學(xué)中應(yīng)注重學(xué)生的實(shí)際認(rèn)知，發(fā)展思維虛境，把握虛實(shí)的辯證統(tǒng)一關(guān)系，讓數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)課堂教學(xué)自然融合.

[關(guān)鍵詞] HPM； 課堂教學(xué)；虛與實(shí)

引言

隨著 HPM 研究的不斷深入，數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)教學(xué)的結(jié)合已是一種國際數(shù)學(xué)課程改革的趨勢. 數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教育的實(shí)際應(yīng)用也備受關(guān)注. HPM的主旨是將數(shù)學(xué)史運(yùn)用于數(shù)學(xué)教學(xué)中，以提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成效和教學(xué)品質(zhì). 要擴(kuò)展數(shù)學(xué)教育中的歷史維度，需要一個(gè)前提，那就是課堂教學(xué)中包含一些數(shù)學(xué)史會(huì)取得更好的效果. 為此，數(shù)學(xué)史內(nèi)容進(jìn)入課堂教學(xué)有許多“中間環(huán)節(jié)”需要研究. 以上海市某中學(xué)HPM的實(shí)驗(yàn)課“一元二次方程的解法——配方法”為例，談?wù)凥PM實(shí)踐中的問題、困惑與反思.

問題的提出

方程是代數(shù)之花，一元二次方程蘊(yùn)含著豐富的歷史文化信息. 方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量關(guān)系的一個(gè)有效數(shù)學(xué)模型，應(yīng)用廣泛，而從實(shí)際問題中抽象出方程，并求出方程的解是解決問題的關(guān)鍵. 配方法既是解一元二次方程的一種重要方法，也是推導(dǎo)公式法的基礎(chǔ). 配方法還是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，在二次根式、代數(shù)式的變形及二次函數(shù)中都有廣泛應(yīng)用. 下面簡單回顧教學(xué)過程如下：

3. 課堂練習(xí)

4.課時(shí)小結(jié)

課堂觀察1：講完例1，引出了配方法的定義. 對于例2，教師讓學(xué)生獨(dú)立嘗試用幾何方法解方程，但部分學(xué)生沒有理會(huì)教師的要求，堅(jiān)持用代數(shù)方法解，部分學(xué)生用代數(shù)方法解出后反推幾何方法.

課堂觀察2：由于x（x-4）=10涉及“x-4”，較例1難，學(xué)生思考的時(shí)間較長，而且?guī)缀畏椒?gòu)圖方式多樣，教學(xué)出現(xiàn)“疙”，費(fèi)時(shí)較多.

問題1：課堂出現(xiàn)了引入時(shí)間很長，但練習(xí)訓(xùn)練時(shí)間很短的現(xiàn)象，即“頭重腳輕”的現(xiàn)象. 讓大家糾結(jié)的是，例2究竟要不要？

執(zhí)教的老師直言，上課前有老師說不要，但自己覺得好，還是要了. 聽課后，針對例2，大家的討論意見如下. A認(rèn)為：例1，老師講的，例2，老師又作為例題來講，學(xué)生會(huì)不會(huì)感覺累了？B認(rèn)為：課堂引入這么長，例2還是不要了. C認(rèn)為：學(xué)生由代數(shù)式想到配方法，不是很容易嗎？何苦用幾何方法繞半天？ 這不是為歷史而歷史嗎？去掉挺好，扎扎實(shí)實(shí)把配方法訓(xùn)練好，做點(diǎn)“實(shí)在”的事情. D認(rèn)為：例2這樣一個(gè)歷史素材真好，棄之可惜……

問題2：融入歷史是一個(gè)好的視角，為什么效果不盡如人意？

課堂上“實(shí)在”的訓(xùn)練沒做好，難道是因?yàn)閿?shù)學(xué)史融入的影響？其實(shí)，在例2幾何方法的探究中，老師講解得有些“吃力”，課堂氣氛一度“沉悶”，并沒有“熱鬧非凡”的花架子，怎么就覺得不實(shí)在了？何為“實(shí)”，何為“虛”？有為實(shí)無為虛、真為實(shí)假為虛、客觀為實(shí)主觀為虛、顯為實(shí)隱為虛、行為實(shí)言為虛、已知為實(shí)未知為虛、當(dāng)前為實(shí)未來為虛. 羅列了這些不同視角下“虛”與“實(shí)”的解釋，HPM視野下課堂教學(xué)的“虛”與“實(shí)”的意蘊(yùn)何在？

公元七世紀(jì)，印度數(shù)學(xué)家婆羅芨多也采用了“配方法”，雖然本質(zhì)與海倫一樣，但在形式上做了改進(jìn)，在方程的兩邊同乘4a而非a，使得結(jié)果更加簡潔.

2. 反思與啟發(fā)

一元二次方程來源于實(shí)際問題，主要涉及與幾何中面積有關(guān)的問題，所以幾何解法成為古代解一元二次方程最常見的方法. 幾何方法是解一元二次方程的本源方法，形式多樣. 解一元二次方程的解法——配方法依賴于開平方法. 方程與其他數(shù)學(xué)理論一樣，經(jīng)歷發(fā)展的程序：（1）從實(shí)際需要，到方法的發(fā)現(xiàn)；（2）由方法到理論的形成；（3）理論的建立到實(shí)際應(yīng)用.

現(xiàn)行的課堂教學(xué)，不重視從實(shí)際需要到方法的發(fā)現(xiàn)，以及方法的發(fā)現(xiàn)到理論形成的挖掘，重點(diǎn)只會(huì)放在第三個(gè)環(huán)節(jié)上，這導(dǎo)致學(xué)生雖然解方程游刃有余，可預(yù)見解決相關(guān)問題的時(shí)候，卻束手無策.

從一元二次方程解法的歷史中，我們的啟示有：在教學(xué)中，直接涉及數(shù)學(xué)理論本身，即直接講解“配方法”本身，顯然是不合適的，也就是說，在學(xué)習(xí)花拉子米代數(shù)方法解方程的同時(shí)，也不能放棄對幾何方法的探究，不能放棄對數(shù)學(xué)本源的探究.

古人用幾何方法解一元二次方程，很巧妙，充滿智慧. 古人為什么就能有這么巧妙的方法呢？除了因?yàn)橐辉畏匠虇栴}主要產(chǎn)生于幾何的原因，還有背景是那時(shí)沒有符號(hào)代數(shù)，可以想象，要解決一道題目，用修辭代數(shù)表述多么煩瑣，顯然不及幾何方法直觀、明了. 但數(shù)學(xué)總是不斷發(fā)展的，數(shù)學(xué)家花拉子米在《代數(shù)學(xué)》用兩種幾何方法解一元二次方程，說明他對一元二次方程問題構(gòu)造了數(shù)學(xué)模型，對符號(hào)代數(shù)、數(shù)學(xué)理論的發(fā)展起到了推動(dòng)作用.

通過幾何方法講解“一元二次方程的解法——配方法”的一般理論無疑為配方法的數(shù)學(xué)教學(xué)注入了新的視角. 我們也應(yīng)該注意，由于古今數(shù)學(xué)發(fā)展水平、學(xué)習(xí)條件和環(huán)境的巨大差異，今天，學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的認(rèn)知過程與概念的歷史發(fā)展過程之間的相似性只能是相對的、不嚴(yán)格的. 就一元二次方程而言，中世紀(jì)以前人們對幾何方法的依賴是與修辭代數(shù)這一代數(shù)學(xué)發(fā)展的初級水平息息相關(guān)的. 而今天，學(xué)生在學(xué)習(xí)一元二次方程之前，已經(jīng)完成了從算術(shù)到符號(hào)代數(shù)這一代數(shù)學(xué)高級水平的過渡. 我們的目光不能僅僅停留在過去，對于歷史的遺留，除了繼承，還應(yīng)發(fā)展. 用發(fā)展的眼光審視歷史，啟示我們教學(xué)中既要索源，也要引流. 一元二次方程幾何方法與代數(shù)配方法是“數(shù)形結(jié)合”自然的范本，但不能過分依賴幾何方法.

設(shè)計(jì)歷史套裝：虛實(shí)結(jié)合，追求本質(zhì)融合

1. 歷史材料的顯與隱

對于例1“ 一平方與十根等于二十迪拉姆平方，求根. 即求方程x2+10x=20的根”，可改進(jìn)為：

如圖4，已知一座房子的角落有一空地，想建成一個(gè)正方形小花圃，已知正方形的面積與周長的和為20，在其周圍留寬為2的小路，小路上鋪上地磚，求所需地磚的面積.

理由：直接置于一個(gè)幾何背景中，體現(xiàn)了一元二次方程源于實(shí)際問題，也會(huì)讓學(xué)生更加自然地接近幾何方法. 同時(shí)隱去“迪拉姆”“古人”等無關(guān)緊要的話語，語言簡潔、流暢，歷史素材的使用簡單明了，不著痕跡.

歷史素材可以提高我們數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的品質(zhì)，滲透文化的要素，但不是說直接引入. 抽取歷史中能實(shí)實(shí)在在引起學(xué)生思維沖突、促進(jìn)學(xué)生思維、激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)斗志與興趣等本質(zhì)的東西以及課堂中學(xué)生學(xué)習(xí)確實(shí)需要的要素，把這些呈現(xiàn)出來，這就是“實(shí)”. 不要把歷史史料和盤托出，可隱去一些元素，如學(xué)生難以理解的古文等，因?yàn)檫^多這些元素的加入可能會(huì)無形中加大數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)的難度，干擾學(xué)生的注意力，沖淡學(xué)生理解數(shù)學(xué)主題.

古人云：“不全不粹之不足以為美.” 全，在我們這里應(yīng)該指的就是實(shí)；粹，就是隱略或去掉粗的部分. “洗盡塵渣，獨(dú)存孤迥”，歷史材料在課堂中追求“全”和“粹”的辯證統(tǒng)一，則課堂教學(xué)自然會(huì)多幾分美的欣賞.

2. 數(shù)學(xué)思想與知識(shí)的虛與實(shí)

解一元二次方程，幾何方法的介入是對傳統(tǒng)教學(xué)直接講解配方法、單純用代數(shù)方法的一次大大改進(jìn)，讓人耳目一新，為學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的幾何模型提供了很好的素材，以致老師例1講了幾何方法，例2繼續(xù)深入，舍不得丟了例2. 例2相對于例1來說，更能讓學(xué)生深入思考，可是例2影響了一節(jié)課的教學(xué)效果，因?yàn)槔?的講解，后來已沒有時(shí)間展現(xiàn)代數(shù)方法配方的一般步驟，課堂練習(xí)訓(xùn)練不到位. 這是“實(shí)”沒做好. 如何利用好例2這個(gè)好素材？借用一點(diǎn)“明修棧道，暗度陳倉”的策略. 明面上，讓學(xué)生扎扎實(shí)實(shí)掌握配方法，可以把例1學(xué)得更深入，在例1的幾何方法之后，深入分析數(shù)與形之間的關(guān)系，同時(shí)給出配方法的定義和一般步驟. 呈現(xiàn)歷史上海倫和婆羅芨多的配方法，讓學(xué)生比對各種方法，同時(shí)在板書、訓(xùn)練等方面做實(shí)、做好. 例2可以留作練習(xí)，在眾多練習(xí)中，選一題（例2）給出幾何構(gòu)圖，暗地里悄悄滲透數(shù)形結(jié)合的思想，潤物無聲，看似“虛”，其實(shí)是真正的意圖、長遠(yuǎn)的目標(biāo).

整合歷史，吃透數(shù)學(xué)歷史的精髓，擬成這節(jié)課的“虛線”和“實(shí)線”. 虛線是數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，實(shí)線是讓學(xué)生掌握解決一元二次方程的配方法. 虛與實(shí)是課堂的兩翼，“避實(shí)就虛”或“就實(shí)避虛”都不可取，僅有哪一方面都會(huì)給數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)帶來不可彌補(bǔ)的缺憾.

兵法之：虛則實(shí)之，實(shí)則虛之，虛和實(shí)是矛盾統(tǒng)一體. 從這節(jié)課來看，實(shí)是代數(shù)配方法，虛是數(shù)形結(jié)合. 從長遠(yuǎn)看，數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)本質(zhì)的思想方法，是實(shí)的，而這節(jié)課的具體知識(shí)是載體，是虛的. 虛實(shí)并御、虛實(shí)互濟(jì)還需要一種整體性的教學(xué)思維，即從這節(jié)課出發(fā)，從一元二次方程的概念，到解一元二次方程的直接開平方法、因式分解法、配方法、公式法等，整體配置數(shù)學(xué)史料. （見表1）

這樣便在教學(xué)配方法之前充分體現(xiàn)了方程來源于實(shí)際問題，凸顯了幾何背景，為配方法中幾何方法的探究做鋪墊，節(jié)省了這節(jié)課引入的時(shí)間，為后面的“實(shí)”留下了空間. 在每一節(jié)課中，“數(shù)形結(jié)合”隱隱滲透，是虛線，但每一節(jié)都滲透一點(diǎn)，卻把數(shù)形結(jié)合的思想滲透做到了實(shí)處.

課堂演繹：虛實(shí)相生，追求自然融合

1. 課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)的虛實(shí)

狄德羅說：“美在關(guān)系. ”虛與實(shí)是一種結(jié)構(gòu)性的關(guān)系，虛實(shí)關(guān)系的研究就是對虛實(shí)美學(xué)結(jié)構(gòu)的研究. 課堂中的虛實(shí)是一個(gè)立體性的結(jié)構(gòu)模型，虛中有實(shí)，實(shí)中有虛. 課堂教學(xué)也有結(jié)構(gòu)的美，頭重腳輕、前松后緊或前緊后松等都是不可取的. 在課堂上，哪些應(yīng)該呈現(xiàn)出來，或者還要重點(diǎn)標(biāo)注，顯示出來，哪些不該顯示出來，都應(yīng)該有所講究. 在呈現(xiàn)的歷史史料中，有的故事或美麗的圖片、詩歌等，如果用于激發(fā)學(xué)生的情趣，呈現(xiàn)的時(shí)間要短，可以放在學(xué)生一小段緊張的思維勞動(dòng)后；對于啟迪思維的本質(zhì)要素，呈現(xiàn)的時(shí)間則要長. 課堂教學(xué)的虛實(shí)猶如太極拳，有快有慢，有徐有疾. 這節(jié)課過多的時(shí)間用于顯示幾何方法，代數(shù)方法這個(gè)實(shí)沒有顯示好，代數(shù)配方法沒有有效穩(wěn)固好，會(huì)影響虛，即所謂的以實(shí)才能出虛. 虛是指導(dǎo)思想，知識(shí)是一個(gè)載體，以虛出實(shí). 虛實(shí)結(jié)合，才能化實(shí)為虛.

2. 教學(xué)方式的虛實(shí)

好的史料很多，但要仔細(xì)揣摩，講究科學(xué)的教學(xué)方法，使其很好地融入課堂. 如果僅僅機(jī)械拼湊，教學(xué)方法不是有虛有實(shí)，就不能虛實(shí)交融. 例1、例2是一個(gè)類型，例2是在例1的基礎(chǔ)上構(gòu)圖思路稍微復(fù)雜一些. 如果還用相同的教學(xué)方法，勢必有一種“疲勞感”. 課后，有老師評論說例2會(huì)不會(huì)讓學(xué)生覺得累了，累與不累也許可以不深究，但同一類例題，用相同的教學(xué)方式，不可取. 課堂教學(xué)中的虛實(shí)就是說不能平均用力，要有著力點(diǎn)，當(dāng)然也有輕松點(diǎn). 靈活多樣的教學(xué)方式、手段肯定受學(xué)生歡迎. 既然例1已經(jīng)仔細(xì)講解、深入分析了，這就是“實(shí)實(shí)在在”，那例2就可以放手讓學(xué)生自由發(fā)揮，換一換形式，由課內(nèi)到課外. 不是所有的好東西都要老師講，講多了，嚼爛了喂給學(xué)生，學(xué)生吃了反而不會(huì)覺得香. 人們時(shí)常說課堂教學(xué)有留白藝術(shù)，即虛實(shí)結(jié)合. 沒有通過虛與實(shí)的碰撞，就不會(huì)有交感、產(chǎn)生新質(zhì)，而是一覽而盡，略無余韻.

3. 學(xué)生思維的實(shí)意與虛境

在例1幾何方法的探究中，有學(xué)生試著用代數(shù)方法配，即x2+10x=（x+5）2，盡管結(jié)果不對，但學(xué)生有了化歸“直接開平方法”的意識(shí)，但老師沒有理會(huì)學(xué)生. 由例1給出配方法的定義后，對于例2，很多學(xué)生直接用代數(shù)方法，那也是自然的事情，可老師“強(qiáng)拉”學(xué)生用幾何方法，此時(shí)，學(xué)生不會(huì)覺得幾何方法好，也不會(huì)領(lǐng)略到古人“思維”的魅力. 其實(shí)，這節(jié)課的歷史相似性有些出入，原因在于學(xué)生的頭腦中已有符號(hào)代數(shù). 如果我們從學(xué)生的“實(shí)際”思維意圖出發(fā)，順勢而下，做實(shí)學(xué)生的代數(shù)方法，介紹花拉子米的歷史功績，介紹“algebra”的由來（與解方程有關(guān)），順勢介紹花拉子米的幾何方法，海倫和婆羅芨多的配方法，就能讓學(xué)生比較自己與古人的方法，縱觀古人代數(shù)方法的不斷改進(jìn)，比較幾何方法與代數(shù)方法，體會(huì)數(shù)形結(jié)合，體會(huì)代數(shù)符號(hào)的作用，提高判斷能力，增強(qiáng)批判意識(shí). 其實(shí)，古人無論是幾何方法還是代數(shù)方法，都是為了更簡潔地表達(dá)與解決問題，這是數(shù)學(xué)求簡精神的體現(xiàn). 如果學(xué)生在體會(huì)中悟出這些，就能真正走進(jìn)古人的心靈. 數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)中的一個(gè)重要作用就在于培養(yǎng)人的才、學(xué)、識(shí). 現(xiàn)在的教育重視“學(xué)”，即學(xué)知識(shí)，也強(qiáng)調(diào)“才”，即能力，但對“識(shí)”重視不夠. “識(shí)”，即見識(shí)，是引導(dǎo)知識(shí)和能力走向何方的根本性問題，屬于對知識(shí)融會(huì)貫通之后的個(gè)人見解，其背后的支撐是世界觀、人生觀. 數(shù)學(xué)史的作用恰恰在此體現(xiàn).

從學(xué)生的實(shí)際思維出發(fā)，做實(shí)代數(shù)方法，利用幾何方法等史料開拓“思界”，營造“虛”境，讓學(xué)生穿越時(shí)空，與古人來一次對話，可謂今有代數(shù)方法、古有幾何方法. 在自我體會(huì)中，加深對數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，形成數(shù)學(xué)思想，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)精神.

結(jié)語

以虛為本，以實(shí)為用. “以史為鑒”的數(shù)學(xué)課堂的虛境（數(shù)學(xué)思想滲透）的提煉，提升了數(shù)學(xué)課堂的文化品位；虛又需借實(shí)去表現(xiàn)，使重心落到實(shí)上，以實(shí)為用. 在虛的統(tǒng)運(yùn)之下，實(shí)者逼肖，而虛者自出. “虛實(shí)結(jié)合”是數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)課堂的一種狀態(tài)，糅合了數(shù)學(xué)史融入課堂的多種方法和途徑，既重視針對性又關(guān)注發(fā)展性.

一線教師的大膽嘗試所展示出的“理念”影響了我們甚至更多人，給我們帶來了無盡的思考，這是可取之處. 數(shù)學(xué)史給數(shù)學(xué)教學(xué)帶來了興奮點(diǎn)，但我們必須認(rèn)識(shí)到HPM視野下的數(shù)學(xué)課堂需要精耕細(xì)作，粗放式的融合將損害課堂教學(xué)，不能讓人信服. 只有恰當(dāng)?shù)?、適時(shí)地深度融合，做到簡單而精巧，自然而不生硬，既“上得廳堂”，又“下得廚房”，既出現(xiàn)在公開課的“秀”上，也出現(xiàn)在日常課堂中，數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育才會(huì)走出“高評價(jià)、低運(yùn)用”的實(shí)然困境，發(fā)揮出它的應(yīng)然向度.