陳克勝　徐文彬

【摘 要】《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》頒布已有5年，作為一個(gè)綱領(lǐng)性的標(biāo)準(zhǔn)，它具有統(tǒng)轄性，往往對(duì)具體的知識(shí)內(nèi)容難以作細(xì)致的分析，但由課程的“標(biāo)準(zhǔn)”到課堂教學(xué)的“落實(shí)”卻少不了這樣的深入分析?；诖?，本文從數(shù)學(xué)文化、學(xué)習(xí)心理和數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在規(guī)定性等三個(gè)方面對(duì)“眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)”這一內(nèi)容做出分析，以期對(duì)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的完善及現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐有啟發(fā)意義。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)課程；數(shù)學(xué)文化；平均數(shù)；眾數(shù)；中位數(shù)

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A 【文章編號(hào)】1005-6009（2016）38-0027-03

【作者簡介】1.陳克勝，安徽師范大學(xué)（安徽蕪湖，241003）數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院副教授，博士，碩士生導(dǎo)師；2.徐文彬，南京師范大學(xué)（南京，210097）課程與教學(xué)研究所教授，博士生導(dǎo)師。

一、問題的提出

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《課標(biāo)》）是在《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》的基礎(chǔ)上修改而來。自其頒布之日起，對(duì)《課標(biāo)》內(nèi)容的討論一直不絕于耳。如《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）解讀》（以下簡稱《課標(biāo)解讀》）中所述，《課標(biāo)》是從社會(huì)發(fā)展與數(shù)學(xué)課程之間的關(guān)系及相互影響、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理規(guī)律與數(shù)學(xué)課程設(shè)計(jì)、現(xiàn)代數(shù)學(xué)進(jìn)展與數(shù)學(xué)課程之間關(guān)系、義務(wù)教育階段學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)現(xiàn)狀和國際數(shù)學(xué)課程改革的特點(diǎn)等五個(gè)方面考慮研制的[1]，但其中缺乏具體到某個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的研究報(bào)告。這一缺失，既不利于更廣泛地調(diào)動(dòng)數(shù)學(xué)教育工作者參與課改的熱情，也不利于教材編寫者對(duì)課標(biāo)的理解?；诖耍P者嘗試以“眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)”這一內(nèi)容為例來做一番分析。（注：下文中，除特別說明外，“平均數(shù)”均指“算術(shù)平均數(shù)”。）

關(guān)于統(tǒng)計(jì)量“眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)”的定位問題已有的研究如下：一是中外數(shù)學(xué)教材的比較研究；二是2011年以前的國內(nèi)部分研究者的主張，認(rèn)為將“眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)”前置在小學(xué)階段是可行的，采用螺旋式上升的教學(xué)方式，循序漸進(jìn)地讓學(xué)生學(xué)習(xí)這些統(tǒng)計(jì)量的意義[2]，這也是《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》的內(nèi)容；三是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐顯示，中國的小學(xué)生學(xué)習(xí)接受眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)不存在認(rèn)知阻礙[3]?，F(xiàn)行的《課標(biāo)》將“眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)”這一內(nèi)容分拆在兩個(gè)學(xué)段學(xué)習(xí)：第二學(xué)段要求“體會(huì)平均數(shù)的作用，能計(jì)算平均數(shù)，能用自己的語言解釋其實(shí)際意義”；第三學(xué)段要求“理解平均數(shù)的意義，能計(jì)算中位數(shù)、眾數(shù)、加權(quán)平均數(shù)，了解它們是數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的描述”。在這里，我們不禁發(fā)問：“平均數(shù)的意義”具體有哪些？第二學(xué)段應(yīng)學(xué)習(xí)平均數(shù)的哪些意義？第三學(xué)段應(yīng)學(xué)習(xí)哪些？其依據(jù)是什么？這樣的學(xué)習(xí)順序是最好的選擇嗎？

二、問題的分析

1.基于數(shù)學(xué)文化的分析。

數(shù)學(xué)文化是在一定歷史發(fā)展階段，由數(shù)學(xué)共同體在從事數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)過程中所創(chuàng)造的物質(zhì)財(cái)富和精神財(cái)富的總和。[4]國內(nèi)外數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家已十分肯定數(shù)學(xué)文化（數(shù)學(xué)史）對(duì)數(shù)學(xué)教育的意義，歸結(jié)起來至少有以下三點(diǎn)：有助于理解數(shù)學(xué)；激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；指導(dǎo)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)?；诖?，有很多專家學(xué)者提出：數(shù)學(xué)教育本質(zhì)上是數(shù)學(xué)文化教育。由此，有必要將“（算術(shù)）平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)”置于數(shù)學(xué)文化的視角來分析。

義務(wù)教育階段，反映數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的統(tǒng)計(jì)量一般有眾數(shù)、中位數(shù)和算術(shù)平均數(shù)。從歷史上來看，這三個(gè)統(tǒng)計(jì)量的來源卻不一樣。人們最早應(yīng)用反映數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的統(tǒng)計(jì)量可能是眾數(shù)。公元前428年，雅典受困需要突破敵人的圍城，很多人通過數(shù)城墻磚的層數(shù)的方法來估計(jì)城墻的高度，利用眾數(shù)來反映該組數(shù)據(jù)的一般水平。在歷史上，人們還使用中位數(shù)替代（算術(shù)）平均數(shù)來反映某個(gè)總體的集中趨勢(shì)。1599年，愛德華·懷特（Edward Wright）將中位數(shù)應(yīng)用于航海，用以確定指南針?biāo)付ǖ奈恢谩?874年，費(fèi) 歇 爾（R. A. Fisher）將中位數(shù)用來描述社會(huì)和心理現(xiàn)象。1882年，高爾頓（Galton）第一次使用“中位數(shù)”一詞。使用（算術(shù)）平均數(shù)有以下幾個(gè)來源：第一，用平均數(shù)來估計(jì)較大的數(shù)。公元4世紀(jì)，印度魯帕那（Rtuparna）為了估計(jì)果樹上樹葉和果實(shí)的數(shù)目，使用了平均數(shù)。第二，重復(fù)測量取平均數(shù)以減少誤差。公元16世紀(jì)末，第谷（Tycho Brahe）為了減少觀測的誤差，率先取重復(fù)測量值的平均數(shù)作為天文學(xué)觀測的數(shù)據(jù)。后來，這種方法在歐洲得到廣泛的運(yùn)用，有效地減少了系統(tǒng)誤差。第三，平均數(shù)的補(bǔ)償性。古希臘時(shí)期，數(shù)的大小用線段表示，其平均數(shù)的定義為“a和c中間的數(shù)b稱為算術(shù)平均數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)b-a=c-b”，古代中國也有類似的思想。第四，利用平均數(shù)來公平分配。大約公元前1000年，地中海地區(qū)航海貿(mào)易比較發(fā)達(dá)，但存在風(fēng)險(xiǎn)，人們想到利用平均數(shù)的方法解決公平分擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)問題。第五，平均數(shù)是總體的代表值，在現(xiàn)實(shí)情境下不一定具有實(shí)際意義。1831年，魁特奈特（A. Quetelet）提出“平均人”概念：有這樣一個(gè)人，他在一切重要的指標(biāo)上都具有某一群體中一切個(gè)體相應(yīng)指標(biāo)的平均值。[5]

基于數(shù)學(xué)文化的分析，可以建立有關(guān)反映數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，從而幫助學(xué)生形成結(jié)構(gòu)完善的概念圖。在數(shù)據(jù)分析時(shí)，人們傾向于先使用眾數(shù)和中位數(shù)刻畫數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)。因此，有必要將平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)安排在同一個(gè)單元。

2.基于學(xué)習(xí)心理學(xué)的分析。

統(tǒng)計(jì)與概率雖然進(jìn)入基礎(chǔ)教育比較晚，但是有關(guān)統(tǒng)計(jì)與概率的學(xué)習(xí)心理研究隨著課程改革在不斷地深入。關(guān)于反映數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)的統(tǒng)計(jì)量的一些研究有了以下一些結(jié)果。

Strauss和 Bichler研究發(fā)現(xiàn)：50%的8歲學(xué)生和幾乎所有的10歲學(xué)生能夠理解平均值位于最大值和最小值之間。幾乎所有的學(xué)生能夠理解平均數(shù)受每個(gè)數(shù)據(jù)的影響，平均數(shù)不一定是真正的數(shù)據(jù)。[6]Mokros和 Russell發(fā)現(xiàn)：有些低年級(jí)的學(xué)生將“平均數(shù)”理解為出現(xiàn)次數(shù)最多的一個(gè)數(shù)據(jù)（眾數(shù)）。有些低年級(jí)的學(xué)生將平均數(shù)理解為中位數(shù)。有些低年級(jí)的學(xué)生雖然意識(shí)到算術(shù)平均數(shù)，但是具體數(shù)據(jù)問題中不會(huì)應(yīng)用。[7]Russell和Friel設(shè)計(jì)了一道測試題：九個(gè)不同品牌的薯?xiàng)l，袋子大小規(guī)格相同，所有品牌的平均價(jià)格是 1.38 美元，問九種不同牌子各自價(jià)格是多少？測試的結(jié)果是：大部分學(xué)生認(rèn)為平均數(shù)是數(shù)據(jù)中出現(xiàn)最多的數(shù)。小部分學(xué)生認(rèn)為平均數(shù)是中間的數(shù)，并構(gòu)造一些以平均數(shù)為中心的對(duì)稱數(shù)據(jù)。[8]Moritz、Watson和 Pereira-Mendoza研究了1014位澳大利亞學(xué)生，發(fā)現(xiàn)：40%的三年級(jí)的學(xué)生、7%的六年級(jí)學(xué)生和 2%的九年級(jí)的學(xué)生不理解平均數(shù)。[9]上述研究表明，關(guān)于這三個(gè)統(tǒng)計(jì)量的學(xué)習(xí)難度存在不同，學(xué)生學(xué)習(xí)眾數(shù)和中位數(shù)的難度較低，而平均數(shù)則比較難。由此，不妨先學(xué)習(xí)眾數(shù)和中位數(shù)，讓學(xué)生建立反映數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)的思想方法，然后再進(jìn)一步學(xué)習(xí)平均數(shù)。

3.基于數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容的分析。

平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)作為反映某組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，并在比較中判定在某種條件下所適用的統(tǒng)計(jì)量，這是數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在規(guī)定。根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)在規(guī)定的特點(diǎn)來組織教學(xué)，才能更深刻、全面地理解平均數(shù)概念及其統(tǒng)計(jì)意義。

平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)都是作為反映某組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)的統(tǒng)計(jì)量，但一般來說，這三個(gè)統(tǒng)計(jì)量的使用存在著前提條件。如果某組數(shù)據(jù)呈現(xiàn)正態(tài)分布，那么平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)都能客觀地反映該組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，三個(gè)統(tǒng)計(jì)量沒有區(qū)別。如果某組數(shù)據(jù)呈現(xiàn)偏態(tài)分布，那么必須考慮這三個(gè)統(tǒng)計(jì)量的適用條件，才能客觀地、較為真實(shí)地反映該組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)。一般地，在明顯存在極端值的情況下，用中位數(shù)更能代表總體的一般水平。在某些數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻次相對(duì)比較多的情況下，用眾數(shù)能較真實(shí)地代表總體的一般水平。在某些數(shù)據(jù)呈現(xiàn)均勻分布的情況下，往往使用平均數(shù)來反映該組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)。這三個(gè)統(tǒng)計(jì)量所蘊(yùn)涵著的統(tǒng)計(jì)意義，歸結(jié)起來大體有四點(diǎn)：作為判斷事物的數(shù)量標(biāo)準(zhǔn)或參考；作為代表來衡量不同總體之間的水平；作為用樣本的平均數(shù)來推斷總體的水平；作為總體的平均數(shù)通過在某段時(shí)間內(nèi)的發(fā)展變化，探索研究對(duì)象的發(fā)展規(guī)律。

三、思考與建議

行文至此，有必要梳理一下相關(guān)結(jié)論并給出相關(guān)建議了。首先，從課標(biāo)研制的角度而言，理論與實(shí)踐的結(jié)合是數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)制定的永恒法寶。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的研制需要考慮社會(huì)發(fā)展與數(shù)學(xué)課程之間的關(guān)系及相互影響、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理規(guī)律與數(shù)學(xué)課程設(shè)計(jì)、現(xiàn)代數(shù)學(xué)進(jìn)展與數(shù)學(xué)課程之間關(guān)系、義務(wù)教育階段學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)現(xiàn)狀和國際數(shù)學(xué)課程改革的特點(diǎn)等這五項(xiàng)基礎(chǔ)性研究，但是更細(xì)致地、深入到每一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的研究，則需要從數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)在規(guī)定性、學(xué)習(xí)心理學(xué)的相關(guān)研究以及數(shù)學(xué)歷史文化三個(gè)方面對(duì)具體知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行綜合分析，并且開展相關(guān)的教學(xué)實(shí)驗(yàn)對(duì)理論分析進(jìn)行驗(yàn)證。

其次，應(yīng)盡可能多地調(diào)動(dòng)數(shù)學(xué)教育工作者參與課改。數(shù)學(xué)教育工作者往往只了解到課標(biāo)研制的宏觀過程，至于具體到某個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)則沒有相應(yīng)的研究報(bào)告。因此，在研制課標(biāo)的過程中，有必要將相關(guān)的研究成果讓一線數(shù)學(xué)教師了解，便于讓更多人參與進(jìn)來，同時(shí)也進(jìn)行相關(guān)的教學(xué)實(shí)驗(yàn)，使課標(biāo)得到更廣泛的實(shí)踐檢驗(yàn)。

最后，由于“眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)”這一內(nèi)容本身具有一定的抽象性，需要學(xué)生具備一定的計(jì)算能力，因而筆者贊同將其放在第二、三學(xué)段進(jìn)行教學(xué)，但對(duì)具體的教學(xué)順序與要求有自己的看法。具體而言，（1）將平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)安排在一個(gè)單元，有利于相似知識(shí)的連貫性教學(xué)；（2）先學(xué)習(xí)眾數(shù)和中位數(shù)，讓學(xué)生建立反映數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)的思想方法，然后再進(jìn)一步學(xué)習(xí)平均數(shù)；（3）考慮到平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義有4點(diǎn)，不妨考慮以平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義為學(xué)段劃分的依據(jù)，分兩個(gè)學(xué)段進(jìn)行學(xué)習(xí)，《課標(biāo)》中第二學(xué)段有關(guān)的內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)不妨這樣修訂：“體會(huì)眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義——作為判斷事物的數(shù)量標(biāo)準(zhǔn)或參考和作為代表來衡量不同總體之間的水平，能確定中位數(shù)、眾數(shù)，能計(jì)算平均數(shù)，了解中位數(shù)、眾數(shù)和平均數(shù)的關(guān)系”，第三學(xué)段的內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)可修改為“理解眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義——作為用樣本的平均數(shù)來推斷總體的水平、作為總體的平均數(shù)通過在某段時(shí)間內(nèi)的發(fā)展變化、探索研究對(duì)象的發(fā)展規(guī)律，能計(jì)算加權(quán)平均數(shù)，理解眾數(shù)、中位數(shù)和加權(quán)平均數(shù)的關(guān)系”；（4）由于教師在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，往往會(huì)先從數(shù)學(xué)教材出發(fā)揣摩《課標(biāo)》中的要求，因而，不同教材對(duì)同一知識(shí)點(diǎn)的編寫應(yīng)在內(nèi)涵上保持一致。

總之，修訂和完善數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的指導(dǎo)思想是最大限度地符合數(shù)學(xué)教育規(guī)律，而檢驗(yàn)的方法和策略是先從系統(tǒng)觀念出發(fā)，聯(lián)系數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)在規(guī)定、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理和數(shù)學(xué)文化三個(gè)方面統(tǒng)籌分析，然后在此基礎(chǔ)上進(jìn)行有針對(duì)性的教學(xué)實(shí)驗(yàn)。同時(shí)，公布更具體的研制成果，充分調(diào)動(dòng)廣大一線的數(shù)學(xué)教育工作者參與其中，在教學(xué)實(shí)踐中進(jìn)行更廣泛的檢驗(yàn)，這樣才能夠更有利于數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的完善。

【參考文獻(xiàn)】

[1]史寧中.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）解讀[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]張輔，唐華軍.上海與加州數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)小學(xué)“統(tǒng)計(jì)與概率”比較研究[J]. 泰山學(xué)院學(xué)報(bào)，2006（06）.

[3]閆炳霞.從美國小學(xué)的一節(jié)統(tǒng)計(jì)課談我國小學(xué)“統(tǒng)計(jì)與概率”的教學(xué)[J].中小學(xué)教學(xué)研究，2006（02）.

[4]陳克勝.基于數(shù)學(xué)文化的數(shù)學(xué)課程再思考[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2009，18（01）.

[5]吳駿，黃青云.基于數(shù)學(xué)史的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的理解[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2013，52（11）.

[6]Strauss S， Bichler E. The Development of Childrens Concepts of the Arithmetic Average[J]. Journal for Research in Mathematics Education， 1988（19）.

[7]Mokros J， Russell S J. Childrens Concepts of Average and Representativeness[J]. Journal for Research in Mathematics Education. 1995（26）.

[8]Russell， Susan Jo， Friel， Susan N. Collecting and analyzing real data in the elementary school classroom[J]. In P. R. Trafton & A. P. Shulte （Eds.）， New Directions for Elementary School mathematics，1989：134-148.

[9]Moritz J， Watson J， Pereiramendoza L. The Language of Statistical Understanding： An Investigation in Two Countries[J]. Education，1996（01）.

注：本文系安徽省教育科學(xué)規(guī)劃項(xiàng)目“高中數(shù)學(xué)課程中數(shù)學(xué)文化及其典型案例研究”（編號(hào)：JG12016）研究成果之一。