許曉軍， 袁　璐， 袁　輝

(沈陽工業(yè)大學(xué) a. 商貿(mào)學(xué)院， 遼寧 遼陽 111003， b. 管理學(xué)院， 沈陽 110870)

?

國際貿(mào)易均衡的立體幾何演繹及數(shù)學(xué)證明*

許曉軍a， 袁璐b， 袁輝a

(沈陽工業(yè)大學(xué) a. 商貿(mào)學(xué)院， 遼寧 遼陽 111003， b. 管理學(xué)院， 沈陽 110870)

摘要：經(jīng)濟學(xué)均衡包括交點均衡、駐點均衡和相切均衡。局部均衡都為交點均衡，一般均衡都為相切均衡。國際貿(mào)易理論研究一般均衡，所以國際貿(mào)易均衡大多為相切均衡?？梢赃\用平面幾何方法和立體幾何方法理解國際貿(mào)易均衡，但立體幾何方法更具有動感?？疾靽H貿(mào)易均衡的最佳方法是數(shù)學(xué)的“目標(biāo)函數(shù)約束條件”方法。運用圖形法和數(shù)學(xué)法理解國際貿(mào)易均衡時，應(yīng)注重思考它們的經(jīng)濟學(xué)含義。

關(guān)鍵詞：國際貿(mào)易； 貿(mào)易均衡； 生產(chǎn)可能性邊界； 相對價格； 無差異曲線； 預(yù)算線； 立體幾何

“均衡”是經(jīng)濟學(xué)追求的永恒。何穗和江膠寧(1993)運用數(shù)理經(jīng)濟學(xué)方法對無限維商品空間的一般經(jīng)濟均衡理論進行了數(shù)理推理[1]。江膠寧(1994)對一般經(jīng)濟均衡形成與發(fā)展的數(shù)學(xué)公理方法進行了研究[2]。羅嗣紅(1996)對馬克思的宏觀經(jīng)濟均衡理論與凱恩斯總體經(jīng)濟均衡理論進行了詳細對比研究[3]。常婕(2007)對馬克思經(jīng)濟均衡思想與瓦爾拉斯均衡進行了對比研究[4]。于立新和王棟從經(jīng)濟結(jié)構(gòu)角度探究中國內(nèi)外失衡，認為應(yīng)該采取結(jié)構(gòu)調(diào)控政策[5]。刁偉濤(2006)認為，經(jīng)濟學(xué)的均衡范式是“半機制”，片面強調(diào)負反饋機制[6]。郭其友(1997)對經(jīng)濟學(xué)均衡論與非均衡論進行了深入探討[7]。許曉軍、袁輝和寧凱(2014)運用機會成本遞減對比較優(yōu)勢勢力和規(guī)模經(jīng)濟勢力的均衡關(guān)系進行了探討[8]。許曉軍(2014)首次提出了比較優(yōu)勢邊界概念，深入探討了比較優(yōu)勢國際貿(mào)易均衡[9]，并提出了貿(mào)易曲面概念，建立了比較優(yōu)勢的國際貿(mào)易均衡模型[10]。

圖形是研究經(jīng)濟學(xué)非常重要的工具。王興德(2012)利用可調(diào)圖形來闡釋動態(tài)經(jīng)濟學(xué)原理，激發(fā)了讀者的濃厚興趣[11]5。王則柯(2012)主張經(jīng)濟學(xué)教材應(yīng)該運用圖形表達經(jīng)濟學(xué)原理，“幾何地”學(xué)習(xí)經(jīng)濟學(xué)，就像學(xué)會游泳一樣，不容易忘記[12]11。國際貿(mào)易均衡理論主要包括比較優(yōu)勢引發(fā)國際貿(mào)易的古典貿(mào)易理論(Adam Smith，1776[13]；David Ricardo，1817[14])和要素稟賦理論(Heckscher，1919；Ohlin，1924[15]；Paul A.Samuelson，1949[16]；Leontief，1953[17])；規(guī)模經(jīng)濟引發(fā)國際貿(mào)易的新國際貿(mào)易理論(Kemp，1964[18]；Krugman，1979[19]；Helpman，1985[20])以及異質(zhì)企業(yè)動態(tài)模型(Marc J.Melitz，2003[21])，見圖1。

圖1　國際貿(mào)易理論發(fā)展框架

一、經(jīng)濟學(xué)“均衡”的本質(zhì)

經(jīng)濟學(xué)將“均衡”作為最主要目標(biāo)進行研究。經(jīng)濟學(xué)家通過“函數(shù)最大值或者函數(shù)最小值”來推出“均衡”。例如，在消費理論里，通過“效用最大”推出消費者均衡，進而推出消費者需求曲線d，由此通過水平相加推出市場需求曲線D；在生產(chǎn)理論里，通過“利潤最大”推出廠商短期供給曲線SS=SMC和長期供給曲線LS=LMC。無論在消費理論里的“效用最大”，還是生產(chǎn)理論里的“利潤最大”，換成數(shù)學(xué)語言來表達，就是計算效用函數(shù)和利潤函數(shù)的最大值，而計算函數(shù)最大值的方法是通過效用函數(shù)和利潤函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)計算出駐點。所以，從這個角度來說，經(jīng)濟學(xué)里“均衡”的本質(zhì)為“駐點”。同時，對于局部均衡里的均衡，例如在完全競爭市場里，需求曲線D與供給曲線S的交點為“均衡”。在宏觀經(jīng)濟學(xué)里，通過凱恩斯交叉圖、IS曲線和LM曲線以及AD曲線和AS曲線的相交來確定“均衡國民收入y”。所以從這個角度來說，均衡為“交點”。對于一般均衡里的均衡，例如無差異曲線與預(yù)算線相切確定消費均衡，等產(chǎn)量線與成本線相切確定生產(chǎn)最優(yōu)組合，則均衡為“切點”。從上述討論可以看出，經(jīng)濟學(xué)里的均衡即“駐點”、“交點”和“切點”(見圖2)。一般而言，由“切點”確定的均衡可以看作帶有約束的目標(biāo)函數(shù)極值問題，即條件極值問題。這樣，將建立的拉格朗日函數(shù)看作無條件極值問題，通過偏導(dǎo)數(shù)計算出駐點，即為均衡點。所以“切點”均衡是特殊的均衡。

圖2　均衡的本質(zhì)

二、國際貿(mào)易生產(chǎn)均衡的平面演繹及不足

國際貿(mào)易理論是經(jīng)濟學(xué)的重要組成部分。但是，國際貿(mào)易理論更多地應(yīng)用的是一般均衡分析，這樣也就決定了其均衡一定為“切點均衡”。古典貿(mào)易理論、要素稟賦理論和新國際貿(mào)易理論等都是運用生產(chǎn)可能性邊界、社會無差異曲線以及相對價格線工具論證自由貿(mào)易好于保護貿(mào)易的。下面以生產(chǎn)均衡點為例進行論述。以比較優(yōu)勢為核心的古典貿(mào)易理論和要素稟賦理論以機會成本遞增和機會成本不變?yōu)榛A(chǔ)，認為生產(chǎn)可能性邊界PPF為向外凸的曲線和一條直線，見圖3。

圖3　機會成本遞增和不變條件下的生產(chǎn)可能性邊界

圖4　機會成本遞減條件下的生產(chǎn)可能性邊界

另外，也可以運用機會成本方法理解均衡g的不穩(wěn)定性，見圖5。X商品由數(shù)量1增加到數(shù)量2時，放棄的商品Y數(shù)量為Y1-Y2；X商品由數(shù)量2增加到數(shù)量3時，放棄的商品Y數(shù)量為Y2-Y3。很顯然，Y1-Y2>Y2-Y3，即隨著X商品數(shù)量向右移動，所放棄的商品Y數(shù)量越來越少。所放棄的商品Y數(shù)量可以看作將相同資源用于X商品生產(chǎn)而不能用于商品Y生產(chǎn)的成本，稱為生產(chǎn)X商品的機會成本。這樣，X商品數(shù)量向右移動的過程可以看作其機會成本遞減的過程。所以X商品數(shù)量增加所花費的成本越來越少，生產(chǎn)可能性邊界上的點不穩(wěn)定，會一直向右移動，直到端點B。同理，生產(chǎn)可能性邊界上的點也可以隨機向端點A移動。

圖5　機會成本遞減條件下均衡的不穩(wěn)定性

圖6　機會成本遞減條件下的國際貿(mào)易起因(特殊情況)

圖7　機會成本遞減條件下的國際貿(mào)易起因(一般情況)

如果放松一下條件，本國D和外國F封閉條件下的相對價格PD≠PF，則會產(chǎn)生比較優(yōu)勢，見圖8。這樣，規(guī)模經(jīng)濟與相對價格差會同時起作用，即規(guī)模經(jīng)濟和比較優(yōu)勢會讓均衡從h和g點隨機向生產(chǎn)可能性邊界的兩個端點移動。此時，直線AB即為開放條件下的相對價格線，貿(mào)易后兩個國家福利也都會增加。當(dāng)然，也可以形成與圖7相似的“平行”開放條件下的相對價格線，兩個國家福利也都會增加。

圖8　規(guī)模經(jīng)濟與比較優(yōu)勢引發(fā)國際貿(mào)易

大多數(shù)經(jīng)濟學(xué)教材、論文和著作都是從平面幾何的角度來論證均衡的。這樣缺少了動感和立體感，掩蓋了知識的相關(guān)內(nèi)容。所以，從“立體”的角度來演繹均衡的本質(zhì)更具有理論意義。

三、國際貿(mào)易生產(chǎn)均衡的立體幾何演繹

為了與國際貿(mào)易生產(chǎn)均衡的平面演繹相一致，假設(shè)GDP平面為向右上方傾斜的水平面，生產(chǎn)可能性邊界為垂直于XOY平面的“柱面”。在國際貿(mào)易生產(chǎn)均衡的平面演繹里，GDP是一條斜率為負的直線，對應(yīng)于不同的斜率表現(xiàn)出不同的傾斜程度。在國際貿(mào)易生產(chǎn)均衡的立體幾何演繹里，GDP為平面?？梢韵胂螅瑹o論GDP的平面是平坦還是陡峭，與XOY平面的交線都為平面演繹里斜率為負的GDP直線。所以，在國際貿(mào)易生產(chǎn)均衡的立體幾何演繹里，GDP平面與XOY平面的夾角大小與結(jié)論無關(guān)，可以是任意夾角。

機會成本遞增條件下生產(chǎn)可能性邊界的立體演繹如圖9所示。

圖9　機會成本遞增條件下生產(chǎn)可能性邊界的立體演繹

圖9中，垂直于XOY平面、平行于縱軸的柱面為生產(chǎn)可能性邊界PPF面，與生產(chǎn)可能性邊界PPF面相交的平面GDP是國民收入面。GDP平面越往上，表示GDP水平越高。當(dāng)GDP平面與PPF柱面只有一個交點PPF1時，即相切時，GDP水平達到最高。將其投影到XOY平面即為PPF2，也就是圖3中向外凸的生產(chǎn)可能性邊界情況。此為封閉條件均衡情況。若在開放條件下，由于X商品和Y商品的價格發(fā)生變動，所以GDP平面會發(fā)生“旋轉(zhuǎn)”，與相同的PPF柱面相切于另外一個切點，形成開放條件下的均衡，此時PPF沒有變動。如果考慮生產(chǎn)技術(shù)提高，那么PPF柱面會向外移動，形成新的封閉條件和開放條件下的生產(chǎn)均衡點。

機會成本不變條件下生產(chǎn)可能性邊界的立體演繹如圖10所示。

圖10　機會成本不變條件下生產(chǎn)可能性邊界的立體演繹

圖10中，垂直于XOY平面、平行于縱軸的平面為生產(chǎn)可能性邊界PPF面，與生產(chǎn)可能性邊界PPF面相交的平面GDP是國民收入面。GDP平面越往上，表示GDP水平越高。當(dāng)GDP平面與PPF平面交線為一條直線時，有無數(shù)個切點，即有無數(shù)個均衡點。將其投影到XOY平面，即為XOY平面內(nèi)的PPF，此時GDP線與PPF線重合。在開放條件下，GDP平面會發(fā)生“旋轉(zhuǎn)”，與PPF線相交于端點，GDP水平達到最高，也就是圖3的水平直線的生產(chǎn)可能性邊界情況。

機會成本遞減條件下生產(chǎn)可能性邊界的立體演繹如圖11所示。

圖11　機會成本遞減條件下生產(chǎn)可能性邊界的立體演繹

圖11中，垂直于XOY平面、平行于縱軸的柱面為生產(chǎn)可能性邊界PPF面，與生產(chǎn)可能性邊界PPF面相交的平面GDP是國民收入面。GDP平面越往上，表示GDP水平越高。當(dāng)GDP平面與PPF柱面只有一個交點PPF1時，即相切時，GDP水平?jīng)]有達到最高。如果調(diào)整商品X和Y的生產(chǎn)數(shù)量，則GDP會繼續(xù)增加，直到PPF端點處達到最高。將其投影到XOY平面即為PPF2，也就是圖4所示的生產(chǎn)可能性邊界情況。如果考慮生產(chǎn)技術(shù)提高，那么PPF柱面會向外移動，形成新的生產(chǎn)均衡點。

從以上討論可以看出，對于機會成本遞增和不變的情況，發(fā)生國際貿(mào)易的原因是GDP平面發(fā)生“旋轉(zhuǎn)”，即商品X和Y的價格發(fā)生變動。更進一步來說，是由于比較優(yōu)勢引發(fā)的國際貿(mào)易。但是，對于機會成本遞減的情況就不一樣了，由于規(guī)模經(jīng)濟造成“切點”不穩(wěn)定，在沒有比較優(yōu)勢的條件下也會發(fā)生國際貿(mào)易。

四、國際貿(mào)易生產(chǎn)均衡的數(shù)學(xué)證明

可以將上面生產(chǎn)均衡的圖形演繹轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)推導(dǎo)過程。從上面的圖形演繹過程可以看出，GDP為目標(biāo)函數(shù)，生產(chǎn)可能性邊界為約束條件。據(jù)此建立數(shù)學(xué)模型，即

(1)

建立拉格朗日函數(shù)，即

L(X，Y，λ)=PXX+PYY+λPPF(X，Y)

(2)

則有如下方程組成立，即

(3)

所以

(4)

同時，可以通過生產(chǎn)可能性邊界的隱函數(shù)PPF(X，Y)=0計算導(dǎo)數(shù)，則有如下等式成立，即

(5)

所以

(6)

另外，將生產(chǎn)可能性邊界的顯性函數(shù)作為約束條件，也可以推出同樣的結(jié)論，即

(7)

建立拉格朗日函數(shù)，即

L(X，Y，λ)=PXX+PYY+λ(Y-PPF(X))

(8)

則有如下方程組成立，即

(9)

所以

(10)

可以看出，通過數(shù)學(xué)方法推出的均衡條件在任何條件下都成立。但是在機會成本遞減的生產(chǎn)可能性邊界條件下，極值不是在駐點處取到而在端點處取到，所以機會成本遞減條件下的均衡具有不穩(wěn)定，會向端點處移動。因此，從數(shù)學(xué)角度看，比較優(yōu)勢與規(guī)模經(jīng)濟對于國際貿(mào)易的發(fā)生而言具有統(tǒng)一性。

五、國際貿(mào)易消費均衡的立體幾何演繹

1. 無差異曲線的立體演繹

將微觀經(jīng)濟學(xué)里的無差異曲線進行加總，便為國際貿(mào)易理論里的社會無差異曲線，所以微觀經(jīng)濟學(xué)中無差異曲線的立體幾何演繹非常重要。假設(shè)消費者消費X和Y兩種商品，給該消費者帶來的效用為U。問題在于，不同的消費者消費相同數(shù)量的同質(zhì)商品X和Y，他們的感受即效用U是不同的，為什么呢?原因在于他們的偏好不同。消費者偏好就像數(shù)學(xué)里的對應(yīng)法則f，所以消費者偏好不同，那么效用就不同。這樣會形成不同的效用曲面U=f(X，Y)，如圖12所示。

圖12　無差異曲線的立體演繹

取一個常數(shù)，會在空間形成一個平面Σ=Σ常數(shù)，該平面與消費者效用曲面U=f(X，Y)相交于ab曲線。此時，ab曲線上任意一點高度都相等，代表著該消費者此時消費某組X和Y商品組合的效用水平。由于在空間研究效用不方便，所以將ab曲線投影到XOY平面上，形成cd曲線，即該消費者的無差異曲線。cd無差異曲線任意一點的效用相同，因為其來源于ab曲線，而ab曲線上任意一點效用都相等。

可以想象，消費者偏好f不同，則該消費者的效用曲面U=f(X，Y)就會“旋轉(zhuǎn)”和“平移”，那么形成的無差異曲線也會有所不同。

2. 國際貿(mào)易消費均衡的數(shù)學(xué)證明

仔細思考圖3、4，當(dāng)一個國家的生產(chǎn)點確定以后，該國的收入線GDP=PXX+PYY便會“不動”，此時可將該國的收入線看作國民收入預(yù)算線。在該預(yù)算約束線下，引進該國的社會無差異曲線。此時，該國的預(yù)算約束線為該國的約束條件，目標(biāo)函數(shù)為該國的福利水平達到最大?？梢韵胂?，國民收入線GDP=PXX+PYY“不動”讓該國的社會無差異曲線越高越好，直到與國民收入線相切，達到“切點均衡”?？梢詫⑦@個消費均衡過程寫成數(shù)學(xué)模型，即

(11)

建立拉格朗日函數(shù)，即L(X，Y，λ)=f(X，Y)+λ(GDP-PXX-PYY)

(12)

則有如下方程組成立，即

(13)

所以，國際貿(mào)易消費均衡條件為

(14)

六、結(jié)論

參考文獻：

[1]何穗，江膠寧.無限維商品空間的一般經(jīng)濟均衡理論 [J].經(jīng)濟數(shù)學(xué)，1993(1)：62-69.

[2]江膠寧.一般經(jīng)濟均衡理論的形成與發(fā)展：經(jīng)濟理論研究中的數(shù)學(xué)公理化方法 [J].華中師范大學(xué)學(xué)報(哲學(xué)社會科學(xué)版)，1994(1)：26-30.

[3]羅嗣紅.馬克思的宏觀經(jīng)濟均衡理論與凱恩斯總體經(jīng)濟均衡理論的比較 [J].中南財經(jīng)大學(xué)學(xué)報，1996(5)：10-13.

[4]常婕.對馬克思經(jīng)濟均衡分析思想的認識：兼論瓦爾拉斯均衡分析思想 [J].廣西教育學(xué)院學(xué)報，2007(4)：71-74.

[5]于立新，王棟.我國內(nèi)外經(jīng)濟均衡發(fā)展戰(zhàn)略與宏觀調(diào)控 [J].宏觀經(jīng)濟研究，2012(5)：10-17.

[6]刁偉濤.均衡范式：主流經(jīng)濟學(xué)的半機制 [J].經(jīng)濟學(xué)家，2006(1)：47-53.

[7]郭其友.當(dāng)代西方經(jīng)濟學(xué)均衡論與非均衡論之爭及實質(zhì) [J].廈門大學(xué)學(xué)報(哲學(xué)社會科學(xué)版)，1997(4)：63-67.

[8]許曉軍，袁輝，寧凱.基于比較優(yōu)勢及規(guī)模經(jīng)濟的國際貿(mào)易萬能公式探討 [J].北京工業(yè)大學(xué)學(xué)報(社會科學(xué)版)，2014(1)：30-34.

[9]許曉軍，袁輝，寧凱.比較優(yōu)勢邊界與國際貿(mào)易政策研究 [J].沈陽工業(yè)大學(xué)學(xué)報(社會科學(xué)版)，2014，7(4)：331-336.

[10]許曉軍.基于貿(mào)易曲面的國際貿(mào)易均衡模型與貿(mào)易政策探討 [J].石家莊經(jīng)濟學(xué)院學(xué)報，2014(6)：12-18.

[11]王興德.動態(tài)經(jīng)濟學(xué)圖解：用可調(diào)圖形來闡釋動態(tài)經(jīng)濟學(xué)原理 [M].上海：上海財經(jīng)大學(xué)出版社，2012.

[12]歐瑞秋，王則柯.圖解經(jīng)濟博弈論 [M].北京：中國人民大學(xué)出版社，2012.

[13]亞當(dāng)·斯密.國民財富的性質(zhì)和原因研究 [M].北京：商務(wù)印書館，1983.

[14]大衛(wèi)·李嘉圖.政治經(jīng)濟學(xué)及賦稅原理 [M].北京：商務(wù)印書館，1979.

[15]羅伯特·C·芬斯特拉.國際貿(mào)易 [M].北京：中國人民大學(xué)出版社，2011.

[16]Paul A S.International factor-price equalization once again [J].The Economic Journal，1949，59(1)：181-197.

[17]Wassily L.Domestic production and foreign trade：the American capital position re-examined [J].Proceedings of the American Philosophical Society，1953，97(4)：332-349.

[18]丹尼斯·R·阿普爾亞德.國際經(jīng)濟學(xué) [M].北京：機械工業(yè)出版社，2010.

[19]保羅·克魯格曼.克魯格曼國際貿(mào)易新理論 [M].北京：中國社會科學(xué)出版社，2001.

[20]赫爾普曼，克魯格曼.市場結(jié)構(gòu)和對外貿(mào)易 [M].上海：上海人民出版社，2009.

[21]Marc J M.The impact of trade on intra-industry reallocations and aggregate industry productivity [J].Econometrica，2003，71(6)：1695-1725.

Solid geometry deduction and mathematical proof of international trade equilibrium

XU Xiao-juna, YUAN Lub, YUAN Huia

(a. School of Business, Shenyang University of Technology, Liaoyang 111003, China, b. School of Management, Shenyang University of Technology, Shenyang 110870, China)

Abstract：Economic equilibrium includes intersection equilibrium, stagnation point equilibrium and tangent equilibrium. The partial equilibrium is intersection equilibrium, and the general equilibrium is tangent equilibrium. The general equilibrium is studied in international trade theory, so most of international trade equilibrium is the tangent equilibrium. International trade equilibrium can be understood through applying the methods of plane geometry and solid geometry, in which solid geometry method is more dynamic. The best method of investigating international trade equilibrium is the “objective function-constraints” method of mathematics. When understanding international trade equilibrium by applying graphical method and mathematics method, the economic meanings of them should be paid special attention.

Key words：international trade; trade equilibrium; production possibilities frontier; relative price; indifference curve; budget line; solid geometry

中圖分類號：F 740

文獻標(biāo)志碼：A

文章編號：1674-0823(2016)02-0125-07

doi：10.7688/j.issn.1674-0823.2016.02.05

作者簡介：許曉軍(1978-)，男，遼寧葫蘆島人，講師，碩士，主要從事國際貿(mào)易理論與政策等方面的研究。

基金項目：遼寧省教育廳人文社會科學(xué)研究立項課題(W2013024，W2010313)； 遼寧省高校黨建理論研究課題(GXDJ2014-B076)。

收稿日期：2015-09-10

(責(zé)任編輯：郭曉亮)

*本文已于2015-12-24 15∶02在中國知網(wǎng)優(yōu)先數(shù)字出版。 網(wǎng)絡(luò)出版地址： http：∥www.cnki.net/kcms/detail/21.1558.C.20151224.1502.012.html