◆蔣培杰　曹軒

高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室的發(fā)展

◆蔣培杰曹軒

定義與高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室相關(guān)的幾個(gè)概念，按照發(fā)展規(guī)律將高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室的發(fā)展分為三個(gè)階段。在這個(gè)基礎(chǔ)上，闡述圖形計(jì)算器在概念課、實(shí)驗(yàn)課和統(tǒng)計(jì)概率模塊的應(yīng)用，以及動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件在教學(xué)中的應(yīng)用，并討論這些應(yīng)用的優(yōu)缺點(diǎn)。

高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室；圖形計(jì)算器；動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件

10.3969/j.issn.1671-489X.2016.03.152

1　前言

現(xiàn)代教育技術(shù)正改變中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)方式，ICMI 12的72個(gè)正式報(bào)告中多至8個(gè)報(bào)告有關(guān)技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)，還有第18、19兩個(gè)課題研究分別就數(shù)學(xué)教學(xué)如何應(yīng)用技術(shù)進(jìn)行討論［1］。2014年3月，教育部《中小學(xué)“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室”建設(shè)的研究》開題大會(huì)在北京召開，大會(huì)對(duì)高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室建設(shè)的國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)等問(wèn)題做了討論，對(duì)研究做了具體規(guī)劃。會(huì)議討論了建立數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)的重要意義，提出了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室建設(shè)的目的、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室的功能、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的作用以及如何建立數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室的國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)等問(wèn)題。

目前，全國(guó)各地已經(jīng)建成一些有特色的高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室，并投入使用。然而調(diào)研發(fā)現(xiàn)，目前多數(shù)一線數(shù)學(xué)教師并不知道什么是高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室，不了解實(shí)驗(yàn)室的功能和意義。因此，介紹高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室對(duì)一線數(shù)學(xué)教師而言已經(jīng)十分必要和迫切。

2　高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室相關(guān)的核心概念

本研究中與高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室相關(guān)的核心概念有三個(gè)：數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室、圖形計(jì)算器和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室教學(xué)。

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室目前，對(duì)于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室并沒(méi)有統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)。一般認(rèn)為，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室應(yīng)該包括桌椅、交互式白板、投影、計(jì)算機(jī)、手持學(xué)習(xí)終端（平板電腦或圖形計(jì)算器）、物理傳感器、傳統(tǒng)教具、立體幾何模型、器材存儲(chǔ)柜等硬件設(shè)備，幾何畫板、超級(jí)畫板、數(shù)學(xué)插圖、算法框圖輔助教學(xué)系統(tǒng)、統(tǒng)計(jì)分析軟件SPSS、Maple等軟件。本文中，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室指至少包含桌椅、交互式電子白板、計(jì)算機(jī)、圖形計(jì)算器硬件設(shè)備和幾何畫板軟件設(shè)備的可容納40人以上的多媒體教室。

圖形計(jì)算器圖形計(jì)算器是一種具有函數(shù)作圖功能、動(dòng)態(tài)圖形功能、解方程（組）功能、數(shù)據(jù)處理功能、簡(jiǎn)單的編程功能和進(jìn)行一些數(shù)理模擬實(shí)驗(yàn)等功能的計(jì)算器。它可以直觀地繪制各種方程曲線和函數(shù)圖象，還可以進(jìn)行軌跡跟蹤、動(dòng)態(tài)演示，具有一定的交互性，是一種現(xiàn)代手持技術(shù)。

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室教學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室教學(xué)指利用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室的軟、硬件綜合設(shè)備進(jìn)行教學(xué)，既包括在實(shí)體數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室內(nèi)進(jìn)行的教學(xué)活動(dòng)，也包括利用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室內(nèi)的設(shè)備（尤其是圖形計(jì)算器，學(xué)生人手一臺(tái)）在其他多媒體教室進(jìn)行的教學(xué)活動(dòng)。

3　高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室發(fā)展的三個(gè)階段

高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室教學(xué)并非一個(gè)全新的問(wèn)題，從最初的機(jī)器教學(xué)（程序教學(xué)），到CAI（計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)），再到信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程整合，以至現(xiàn)在的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室教學(xué)，它們之間有一種傳承關(guān)系。因此，可以認(rèn)為高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的發(fā)展已經(jīng)歷三個(gè)階段。其中，第一個(gè)階段以幾何畫板為主要的探究技術(shù)支持，第二個(gè)階段以圖形計(jì)算器為主要的探究技術(shù)支持，第三個(gè)階段以初步成型的高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室綜合軟硬件設(shè)備為探究的技術(shù)支持。

以幾何畫板為主要的探究（實(shí)驗(yàn)）技術(shù)支持較早的以幾何畫板為數(shù)學(xué)探究的技術(shù)支持的研究可以追溯到20世紀(jì)90年代末期。比如：陶維林于2000年在《數(shù)學(xué)通報(bào)》上發(fā)表的利用幾何畫板做實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)新的曲線的文章；李勁松在《遼寧師專學(xué)報(bào)》上發(fā)表的《以幾何畫板為平臺(tái)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室的創(chuàng)設(shè)》則明確提出創(chuàng)設(shè)以幾何畫板為主要技術(shù)支持的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室。這些研究受當(dāng)時(shí)教育潮流的影響，大部分是數(shù)學(xué)CAI方面的研究。此后有數(shù)千篇關(guān)于幾何畫板教學(xué)應(yīng)用的文章出現(xiàn)，涉及高中數(shù)學(xué)教學(xué)的方方面面，如今幾何畫板輔助高中數(shù)學(xué)教學(xué)已經(jīng)常態(tài)化。張景中對(duì)比了幾何畫板與超級(jí)畫板等軟件的功能與設(shè)計(jì)思想，總結(jié)了幾何畫板用于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的優(yōu)、缺點(diǎn)［2］。幾何畫板與其他動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件諸如超級(jí)畫板等已經(jīng)在不少數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)中得到應(yīng)用。

以圖形計(jì)算器為主要的探究（實(shí)驗(yàn)）技術(shù)支持在幾何畫板作為數(shù)學(xué)探究技術(shù)支持的同時(shí)，圖形計(jì)算器逐漸走進(jìn)課堂教學(xué)。在2001年，《數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)》刊出的《談?wù)剤D形計(jì)算器對(duì)我國(guó)數(shù)學(xué)教育的影響》一文提出，利用圖形計(jì)算器與多種理、化、生等自然科學(xué)實(shí)驗(yàn)的探頭相連接，就構(gòu)成小型理科實(shí)驗(yàn)室。學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)收集數(shù)據(jù)、進(jìn)行數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，用直線或曲線進(jìn)行擬合，建立數(shù)學(xué)模型對(duì)事物的發(fā)展做出預(yù)測(cè)，把他們所學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)用到實(shí)際問(wèn)題的解決之中。這是統(tǒng)計(jì)概率方面的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。Alan T.Graham則研究了使用圖形計(jì)算器幫助字母運(yùn)算的學(xué)習(xí)［3］。在圖形計(jì)算器環(huán)境下，學(xué)生可以通過(guò)給變量賦值體驗(yàn)到變量變化對(duì)運(yùn)算結(jié)果的影響，從而更好地理解字母運(yùn)算。目前圖形計(jì)算器已經(jīng)成為中學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室建設(shè)的必備（核心）硬件設(shè)備。

以高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室軟硬件設(shè)備為探究（實(shí)驗(yàn)）的技術(shù)支持經(jīng)過(guò)以上兩個(gè)階段的發(fā)展，盡管還沒(méi)有高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室建設(shè)的統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)，不少學(xué)校已經(jīng)建成有自己特色的高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室。此時(shí)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)可以綜合幾何畫板、超級(jí)畫板等數(shù)學(xué)軟件以及圖形計(jì)算器等硬件設(shè)備作為數(shù)學(xué)探究（實(shí)驗(yàn)）的技術(shù)支持。

4　圖形計(jì)算器的在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，圖形計(jì)算器的使用是一個(gè)比較熱門的話題。一般認(rèn)為，高中數(shù)學(xué)中有一些內(nèi)容適合利用圖形計(jì)算器進(jìn)行教學(xué)，圖形計(jì)算器的使用有助于一些概念課、實(shí)驗(yàn)課和探究課的教學(xué)。

圖形計(jì)算器應(yīng)用于概念課的教學(xué)利用圖形計(jì)算器在函數(shù)作圖、方程曲線、隨機(jī)模擬、數(shù)據(jù)處理等方面的強(qiáng)大功能，可以改善數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的呈現(xiàn)方式與學(xué)習(xí)過(guò)程，縮短認(rèn)知路徑。圖形計(jì)算器的使用可以讓概念教學(xué)更加自然、生動(dòng)。如在偶函數(shù)概念的教學(xué)中，可以利用圖形計(jì)算器做出大量簡(jiǎn)單的偶函數(shù)的圖象，讓學(xué)生觀察并找出圖象的共同特征，從而導(dǎo)出偶函數(shù)的概念。這種“觀察現(xiàn)象——總結(jié)規(guī)律——提煉概念”的方式，可以幫助學(xué)生更直觀地建構(gòu)數(shù)學(xué)概念。利用圖形計(jì)算器圍繞數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)和理解展開，但不能濫用技術(shù)，圖形計(jì)算器只是輔助思考和理解，不能代替思考，更不能替代必要的作業(yè)和訓(xùn)練。

圖形計(jì)算器應(yīng)用于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的教學(xué)本文中所提出的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與物理、化學(xué)實(shí)驗(yàn)的含義相近，指利用圖形計(jì)算器或者其他設(shè)備尋找學(xué)習(xí)對(duì)象數(shù)學(xué)上的規(guī)律，提出猜想或者檢驗(yàn)?zāi)硞€(gè)已有的猜想，為猜想提供一些不完全歸納意義上的證據(jù)的一種綜合活動(dòng)。圖形計(jì)算器應(yīng)用于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的教學(xué)目前有借助圖形計(jì)算器的隨機(jī)功能，創(chuàng)設(shè)隨機(jī)問(wèn)題模擬數(shù)學(xué)情境。在這樣的情境下，學(xué)生可以動(dòng)手操作，觀察和獲取模擬實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，如拋硬幣的隨機(jī)試驗(yàn)和通過(guò)模擬“撒豆子”計(jì)算圓周率等。模擬實(shí)驗(yàn)主要依靠圖形計(jì)算器的簡(jiǎn)單編程功能。此外，很多數(shù)學(xué)探究教學(xué)也同時(shí)是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)。如利用圖形計(jì)算器作函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象像，觀察振幅（或相位等）對(duì)該類函數(shù)圖象的影響，從而得出規(guī)律，等等。

圖形計(jì)算器應(yīng)用于統(tǒng)計(jì)概率模塊的教學(xué)在統(tǒng)計(jì)概率的教學(xué)中，圖形計(jì)算器的使用已經(jīng)較成熟，相關(guān)的研究也已經(jīng)不少。Alan Graham開發(fā)了很多圖形計(jì)算器用于統(tǒng)計(jì)教學(xué)的案例，闡述了圖形計(jì)算器可以幫助學(xué)生獲得重要的統(tǒng)計(jì)學(xué)洞見和深刻的統(tǒng)計(jì)學(xué)思想。Jonaki Ghosh的研究記述了高一學(xué)生使用圖形計(jì)算器進(jìn)行概率模塊學(xué)習(xí)的整個(gè)過(guò)程。授課在常規(guī)教室進(jìn)行，使用的圖形計(jì)算器是Casio CFX 9850。研究發(fā)現(xiàn)，利用圖形計(jì)算器能有效實(shí)現(xiàn)隨機(jī)數(shù)、隨機(jī)試驗(yàn)和樣本空間等概念的教學(xué)，凸顯了頻率和概率的聯(lián)系與區(qū)別。研究記錄了課堂教學(xué)后學(xué)生的主要反饋：“這些課幫助我探索和理解了概率的基本原則和思想?！薄斑@些課讓我清楚明白了頻率和概率的區(qū)別，并讓我深刻認(rèn)識(shí)到了兩者之間的聯(lián)系。”研究得出一些結(jié)論：學(xué)生能根據(jù)自己的需要利用圖形計(jì)算器做模擬試驗(yàn)，能體驗(yàn)到數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的喜悅；圖形計(jì)算器輔助教學(xué)較傳統(tǒng)教室能更集中學(xué)生的熱情和興趣；圖形計(jì)算器的使用可以增進(jìn)交流，提出比傳統(tǒng)課堂更多的問(wèn)題；圖形計(jì)算器可以通過(guò)大量試驗(yàn)幫助學(xué)生估計(jì)隨機(jī)事件的概率，突出頻率和概率的區(qū)別［4］。

5　動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

幾何畫板在一些概念課的教學(xué)方面，應(yīng)用幾何畫板可以將數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程呈現(xiàn)出來(lái)，可以直觀看到各種模式中數(shù)量關(guān)系的變化，可以把數(shù)和形的內(nèi)在關(guān)系及其變化動(dòng)態(tài)生動(dòng)地展現(xiàn)出來(lái)，讓學(xué)生可以從這個(gè)過(guò)程中觀察、實(shí)驗(yàn)、思考并建構(gòu)數(shù)學(xué)概念。在解題教學(xué)方面，一些有關(guān)函數(shù)含參的問(wèn)題可以借助于幾何畫板做出圖象，觀察圖象的動(dòng)態(tài)變化，進(jìn)而把“數(shù)”的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“形”的問(wèn)題，把抽象的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直觀的問(wèn)題，對(duì)解題有很大的幫助。在平面幾何解題教學(xué)中，幾何畫板作圖漂亮且十分方便，借助幾何畫板可以呈現(xiàn)解題從審題到回顧的全過(guò)程。

超級(jí)畫板由于幾何畫板更偏重“形”的方面，在代數(shù)、統(tǒng)計(jì)、算法等方面不能很好地滿足教學(xué)的需要，超級(jí)畫板在某種程度上彌補(bǔ)了這些不足。超級(jí)畫板集成了幾何畫板（動(dòng)態(tài)幾何）、PowerPoint演示文稿、Excel電子表格、Mathematics符號(hào)運(yùn)算、VB算法編程等多種軟件的基本功能，并在此基礎(chǔ)上增加了動(dòng)態(tài)測(cè)算、邏輯、動(dòng)畫、自動(dòng)推理等功能［2］。因此，超級(jí)畫板與幾何畫板相比，其功能更為強(qiáng)大，并且更方便用于一線教學(xué)。遺憾的是，超級(jí)畫板部分功能需要付費(fèi)使用，這一點(diǎn)影響它的使用范圍。

6　結(jié)語(yǔ)

高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室已經(jīng)逐漸進(jìn)入學(xué)校，不少學(xué)校已經(jīng)開始使用高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室進(jìn)行教學(xué)。作為一線教師，了解高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室、了解圖形計(jì)算器等實(shí)驗(yàn)室技術(shù)的使用，不僅可以拓展自己的視野，還可以為未來(lái)更好地應(yīng)用高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室技術(shù)進(jìn)行教學(xué)做好準(zhǔn)備。

［1］曹一鳴.數(shù)學(xué)教育研究與發(fā)展趨勢(shì)：第12屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)的啟示［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2012（11）：25-27，37.

［2］張景中，彭翕成.三款數(shù)學(xué)教育軟件的比較與設(shè)計(jì)思想分析［J］.中國(guó)電化教育，2010（1）：107-113.

［3］Graham A T. Building a versatile understanding of algebraic variables with agraphic calculator［J］.Educational Studies in Mathematics，2000，41：265-282.

［4］Ghosh J. Exploring Concepts in Probability: Using Graphics Calculators［J］.AMT，2004，60（3）：25-31.

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作者：蔣培杰，桂林中學(xué)，桂林市優(yōu)秀數(shù)學(xué)教師，研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)教育（541001）；曹軒，宜昌市夷陵中學(xué)，研究方向?yàn)榇鷶?shù)（443005）。