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新課標下向量學習的問題分析及數學建議

◇甘肅楊海年

向量是數學中最基本、最重要的概念,主要用于解決證明線線、線面垂直及計算線線角等問題,利于學生理解,也有助于學生自己想象,為解題帶來很大的方便．

1向量學習中存在的問題

向量具有代數形式與幾何形式2種身份,這也就決定了向量能夠幫助學生理解數學運算的意義,提高邏輯思維能力,進而建立學生的數學思維．但是在實際教學中,很大一部分學生覺得向量很抽象,因此在學習向量過程中存在許多的問題．

1.1很少向學生介紹向量的歷史

很多教師雖然對向量發(fā)展的歷史比較了解,但是在教學中,由于受到很多原因的影響,教師鮮有提及向量發(fā)展的歷史,使得學生對于向量這一知識點所代表的數學文化不了解,因此不能深入地理解向量的含義．

1.2不重視向量基礎概念的講解

很多教師覺得向量這一章知識很簡單,對于課本中出現的一些基礎概念只是一帶而過，甚至叫學生自己讀一遍．這種不注重理解概念深層含義的做法，最終導致了學生只是機械地背概念、記公式、練習題．如果學生對概念不理解,就不能靈活地運用這些概念,最后解題的質量也大打折扣．

1.3對向量的研究性課題關注不夠

在新課標的課本中有很多的研究性課題,但是大部分教師由于課時或者自身科研水平限制,很少會帶領學生學習研究這些課題,學生不能形成科研意識,也不能親身體驗研究的樂趣,這將是他們學習過程中很大的遺憾．

2對向量的教學建議

2.1注重向量的文化價值教學

數學有漫長的歷史,當然也有豐富的文化底蘊,教師在平時的教學中應該向學生灌輸向量的文化價值,讓學生對向量的產生、發(fā)展、研究與應用有很深刻的了解,這樣才能激發(fā)學生濃厚的學習興趣．

2.2注重基礎教學

新課標一直要求重視“雙基”教學,試想一個人還不會走，怎么讓他跑呢?學生還沒有理解基礎概念,怎么能夠靈活應用其解題呢?因此教學中要立足教材,認真閱讀教材中出現的基礎概念,提高學生將幾何問題轉化為向量問題的能力．

2.3注重向量運用,形成數學思維

向量是現代數學的基礎,是數與形有效轉化的工具.因此教學中教師應深入挖掘公式、定理以及習題中向量運用問題,讓學生逐漸形成向量意識,領悟向量作為解題工具所具有的特殊價值．同時注意數形結合、化歸轉化與分類討論等數學思維的灌輸．

1) 向量與代數式之間的轉化．

這樣一道代數題目,如果用傳統(tǒng)的方法來解很復雜,若轉化為向量的問題,建立合適的坐標系,問題就會變得簡單.

這道題中一共有6個變量,但是卻只給了3個方程式,肯定是解不出來的,如果利用向量積來解題,很容易能出結果.

所以 cos〈a,b〉=1,即向量a、b共線且同方向.

2) 向量與三角函數之間的轉化．

在學習三角函數時,需要理解并且記憶很多的概念以及公式,但是很多時候并不能熟練地運用這些公式,導致了三角函數題的失分率很高.用向量同樣能解決此類問題．

本題既可以用三角函數來解決,也可以設2個向量來巧妙地解決．

解法2可設 a=(7,24),b=(sinα,cosα),則已知可轉化為a·b=7sinα+24cosα=25.又因為

a·b=|a||b|cos〈a,b〉=25, |a|=25, |b|=1,

觀察上面2種解法：解法1是傳統(tǒng)方法,很容易想到,但計算復雜,容易出錯. 解法2需要對向量的概念深層次把握,要學會將向量作為一種工具來使用,這對解題人的數學思維有很大的考驗．

由此可見,向量作為一種工具性解決手段真的很重要,也需要花很多精力來鍛煉數學思維．

3) 向量與幾何的轉化．

幾何的題目中有平面幾何、解析幾何以及立體幾何,這3種幾何都可以用向量的方法來解題．

圖1

必要性： 如圖1,若點O是△ABC的外心,則點O在線段AB的垂直平分線上,則

因為向量也具有幾何的性質,所以在求解解析幾何問題時，很多情況下都能用到向量.比如在平面幾何中用于三角形的“四心”證明.解析幾何把代數與幾何結合起來,這樣就需要向量這個具有橋梁作用的工具用來解決一些二者結合的題目,比如某點的軌跡方程.除此以處，立體幾何是向量運用最多的題目,因為向量能夠解決立體幾何中的點、線、面問題,所以向量的重要性可想而知．

在向量的教學中,教師要轉化思維,帶領學生積極參與,學生要發(fā)揮學習的主觀能動性,形成數學能力與數學思維．總之,兼具應用價值與工具性價值的向量值得研究．

(作者單位：甘肅省民樂縣第一中學)