馮　惠，　吐爾洪江·阿布都克力木，　熱依木汗·熱西提，　張小燕

(新疆師范大學 數(shù)學科學學院，新疆 烏魯木齊 830054)

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指數(shù)B-樣條函數(shù)與Gabor函數(shù)

馮惠，吐爾洪江·阿布都克力木*，熱依木汗·熱西提，張小燕

(新疆師范大學 數(shù)學科學學院，新疆 烏魯木齊 830054)

摘 要：為了利用指數(shù)B-樣條函數(shù)的平移不變性，文章分析了一些有關它們的性質(zhì)，并且給出了低階指數(shù)B-樣條函數(shù)的顯示表達式，它對于調(diào)整參數(shù)很有用。從而，通過選擇一組特殊的參數(shù)，便可以獲得具有良好的時頻局部化的Gabor類函數(shù)。最后，給出了多分辨率和小波分析的關系。

關鍵詞：指數(shù)樣條函數(shù); Gabor形狀函數(shù); 多分辨率分析

樣條理論是通過分段多項式分段函數(shù)來定義的[1,2]。而這些函數(shù)的一個很顯著的優(yōu)點是能夠進行快速估值[3]。也可以用分段指數(shù)多項式函數(shù)來代替分段多項式函數(shù)。一般來說，如果指數(shù)函數(shù)是實函數(shù)的話，由它獲得的指數(shù)B-樣條函數(shù)就不再對稱。這也意味著基函數(shù)不再是線性相位的，這在圖像處理等領域中將不再有吸引力。然而，通過使用虛數(shù)作為指數(shù)部分的參數(shù)，便能得到實對稱的復函數(shù)。這些函數(shù)的數(shù)學性質(zhì)可以在文獻[4,5]中找到。

目前的工作能夠處理一些有著Gabor函數(shù)形狀的指數(shù)B-樣條函數(shù)。通過反復試驗，已經(jīng)可以描述出當n=2,4時的指數(shù)B-樣條函數(shù)。

1指數(shù)B-樣條函數(shù)

1.1指數(shù)B-樣條函數(shù)的定義

(1)

(2)

為了獲得指數(shù)B-樣條函數(shù)，此時權函數(shù)是指數(shù)函數(shù)

圖1　n=2時，由卷積生成的指數(shù)樣條函數(shù)

在圖1中能夠看到階為2的指數(shù)B-樣條函數(shù)的圖形，其中實部和虛部都被表示出來。

指數(shù)樣條函數(shù)族有一個用IIR濾波器快速估計的方法[6],它和多項式B-樣條算法相對應。指數(shù)樣條函數(shù)傅里葉變換也有明確的形式：

1.2指數(shù)B-樣條函數(shù)的擴充

指數(shù)B-樣條函數(shù)的擴充記號如下：

(3)

其中，m是正整數(shù)。在文獻[6]中，它是以離散的相關形式存在，可以找到n是偶數(shù)時的連續(xù)對應，即

(4)

代入(4)式，便能夠進行塔式(多分辨率)與小波分解。此時，構成濾波器組的函數(shù)就是復函數(shù)。在表1中，對于n=2,3,4分段指數(shù)給出B-樣條函數(shù)的通用公式。

2利用指數(shù)B-樣條函數(shù)構造Gabor形狀函數(shù)

2.1Gabor形狀樣條函數(shù)

而通過選擇一個合適的指數(shù)樣條權函數(shù)，就能夠獲得Gabor形狀函數(shù)。因此，為了使這些函數(shù)逼近必須要滿足一個重要的條件就是進行統(tǒng)一劃分：

在這種情況下，能夠保證原來的函數(shù)和樣條產(chǎn)生的函數(shù)之間的誤差是隨著采樣率的增加而減小的。而這類函數(shù)也將會變?yōu)椋?/p>

表1　分段指數(shù)樣條函數(shù)(n=2,3，4)

.

圖2　α=1的指數(shù)函數(shù)和n=4的多項式B-樣條函數(shù)

2.2相關小波

多分辨率分析的另一個步驟就是獲得它的對應小波。在獲得多項式樣條小波函數(shù)的過程中[9]，在基函數(shù)的基礎上定義了小波函數(shù)：

(5)

其中，n為偶數(shù)。正交性條件來源于條件

(6)

通過使用一個類似于文獻[3]中所描述的程序，而不是使用復雜的離散函數(shù)，便得到

在圖3中分別給出了α=1時n=2和n=4的指數(shù)樣條函數(shù)圖像。相應的指數(shù)B-樣條函數(shù)的形狀也表明了當α趨于0時，實部比虛部變化明顯。對于n=4時，能夠觀察到小波函數(shù)又與Gabor函數(shù)比較相像。

(a)α=1,n=2　　　　　　　　　　　　 (b) α=1,n=4

3結論

對于指數(shù)B-樣條函數(shù)，在給出低階樣條函數(shù)的通項公式的情況下，通過選擇合適的參數(shù)，便可以得到一個新的具有Gabor函數(shù)特征的復雜樣條函數(shù)。由Gabor函數(shù)的基函數(shù)，可以類似地利用指數(shù)B-樣條小波函數(shù)的構造過程，便能構造出相應的Gabor類小波函數(shù)。這種方法是普遍的，當α=0時，多項式B樣條才由一般成為特殊。更重要的是，該方法對于多項式B-樣條函數(shù)在樣條空間的計算和構建是可以利用的。因此，對于多項式樣條函數(shù)技術在實函數(shù)空間的使用推廣到一個更復雜的空間是非常有希望的。

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Exponential B-splines and Gabor function

FENG Hui,Tuerhongjiang·ABUDOUKELIMU*,Reyimuhan·REXITI,ZHANG Xiao-yan

(SchoolofMathematicalSciences,XinjiangNormalUniversity,Urumqi,Xinjiang, 830054,China)

Abstract:This paper analyzes some properties of the exponential B-splines,in order to use them as a shift invariant base.By choosing a particular set of parameters,Gabor-like functions are obtained,which have good time-frequency localization.Explicit formulation for lower order functions is given,which is useful for adjusting the parameters.Finally,the relations for a multi-resolution and wavelet analysis are given.

Key words:Exponential B-splines; Gabor-like functions; Multi-resolution

中圖分類號:O174.2

文獻標識碼：A

文章編號：1008-9659(2016)01-053-05

[作者簡介]馮惠(1990-),女,甘肅古浪人，碩士研究生，從事小波分析及其應用方向的研究。*[通訊作者] 吐爾洪江·阿布都克力木(1962-)，男，新疆烏魯木齊人，教授，從事小波分析及其應用方向的研究。

[基金項目]國家自然科學基金資助項目(11261061，61362039，10661010)；新疆維吾爾自治區(qū)自然科學基金資助項目(200721104)。

[收稿日期]2015-12-12