☉江蘇省如皋市下原初中　張　娜

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將興趣培養(yǎng)滲透在概念教學的不同階段*——以“銳角三角函數(shù)”為例

☉江蘇省如皋市下原初中張娜

在學生學習和應用數(shù)學知識的過程中，興趣是最好的老師.一旦學生的數(shù)學學習興趣被激起，其數(shù)學學習將會被注入強勁的動力.因此，在數(shù)學教學中，我們應重視對學生學習數(shù)學興趣的培養(yǎng).要將興趣培養(yǎng)作為數(shù)學教學的常態(tài)任務，融入到概念教學的不同階段，使學生充分感受到“學習數(shù)學是快樂的”.本文將結(jié)合人教版九年級下冊“28.1銳角三角函數(shù)”的部分教學片斷，談談筆者的一些做法，不足之處敬請各位批評指正.

一、理清概念本質(zhì)，培養(yǎng)探究興趣

在數(shù)學教學中，概念教學是基礎性教學，它是學生獲取數(shù)學的基礎知識、形成基本技能的根本途徑.當然，在獲得上述“雙基”的同時，學生還能感悟到知識獲得過程中蘊含的數(shù)學思想和被反復應用的活動經(jīng)驗.所以，培養(yǎng)學生學習數(shù)學的興趣也應從數(shù)學基本概念的教學入手.李邦河院士曾說過“數(shù)學就是玩概念的”，我們應在學生獲得概念的過程中，就讓他們感受到“學習數(shù)學是一件輕松的事”，并以此為契機培養(yǎng)學生的探究興趣.

案例1“正弦”概念教學.

教師讓學生分別探究了30°、45°角所對的直角邊與斜邊的比值，初步感知了“直角三角形中，當銳角的度數(shù)確定時，其對邊與斜邊的比值是不會變化的”.接下來，教師將教材中的“探究”投影，讓學生自主探究.

探究：任意畫Rt△ABC和Rt△A′B′C′，使得∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′，那么有什么關系？你能解釋一下嗎？

在學生自主探究結(jié)束后，教師安排學生在小組中進行了交流.

在全班交流中，學生將他們的發(fā)現(xiàn)進行了分享.他們一致認為題中給出的兩個直角三角形是相似的，所以（教師板書），對比例式進行變形可得BC AB=（教師板書）.接下來，教師請學生結(jié)合剛剛“特殊—一般”的經(jīng)歷小結(jié)探究結(jié)論.經(jīng)過師生互動，得出結(jié)論：在Rt△ABC中，如果銳角A的度數(shù)一定，那么其對邊與斜邊的比值將是一個定值.

教師進一步追問：“當銳角A的度數(shù)一定時，直角三角形中還有哪些邊的比值也是定值呢？”學生分別給出了“斜邊與這個銳角的對邊的比值、另一條直角邊（即銳角的鄰邊）與斜邊的比值、兩條直角邊的比值等都是定值”的結(jié)論.

至此，教師揭示“正弦”的定義，并將對應的圖形和定義文本進行了板書.同時，讓學生求出三個特殊銳角（30°，45°，60°）的正弦值，并將結(jié)果寫在黑板上.

案例分析：概念獲得是學生數(shù)學學習的起點.為了幫助學生理清概念的本質(zhì)，案例中教師引導學生從特殊角度入手，初步感知“比值是定值”.隨著“探究”的深入，學生的認知由“特殊”走向了“一般”.自主探究，學生很容易發(fā)現(xiàn)兩個三角形是相似的.小組交流，讓學生將自己獲得的結(jié)論和探究結(jié)論的過程進行了分享，進一步感知“比值不變”的實質(zhì).全班交流，充分的自主探究與小組交流，讓絕大多數(shù)學生認同了從相似入手展開說理的證明方法，教師將比例式及其變形結(jié)果展示在黑板上，讓學生對“邊的比值是定值”有了更加深刻的認知.教師的追問“還有哪些邊的比值也是定值呢”，完全順應了學生的認知發(fā)展規(guī)律，不僅強化了對“正弦”概念的本質(zhì)的認知，還將探究的深度進一步拓展，為后面的“余弦”、“正切”及“余切”（說明：這一知識在下一學段學習）的學習埋下伏筆.在此過程中，學生的認知由膚淺走向深刻，教師為學生所做的每一次鋪墊，都將成為培養(yǎng)學生探究興趣的“基石”，他們比較會拾級而上，在新知探究之路上越走越遠.

二、體驗文圖轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)應用興趣

數(shù)學是基礎學科，其應用性是不用質(zhì)疑的.因此，我們的數(shù)學教學不能只著眼于概念教學，還應培養(yǎng)學生應用概念解決問題的能力.要知道，在學生應用能力提升的過程中，他們對數(shù)學概念的理解將會逐漸加深，并由此產(chǎn)生對其他相關概念的正向遷移，形成問題解決的“聚集效應”.在此過程中，反復的應用嘗試，學生對問題解決成敗的強烈體驗，將會迅速激活學生的探究熱情，應用數(shù)學知識分析問題和解決問題的興趣也就此逐步養(yǎng)成.在“銳角三角函數(shù)”的學習中，學生獲得概念是比較容易的，但如何將概念應用到含有復雜圖形的數(shù)學問題中，不同的學生會有著不同的差異.所以，我們在學生獲得概念之后，應引導學生將圖形與文本聯(lián)系起來，從培養(yǎng)學生的分析能力上入手，以文圖轉(zhuǎn)化培養(yǎng)學生應用概念解決問題的興趣.

案例2“正弦”的簡單應用.

在學生獲得了正弦的概念之后，我們安排下面的例題，讓學生將題目文本中的條件標注到圖上，并自主解答，然后在組內(nèi)交流解題的思路、用到的知識和結(jié)果.

例題：（1）如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3.求sinB的值.

（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，AB=13.求sinA的值.

圖1

圖2

根據(jù)解題要求，學生先解讀文本信息，并將部分條件標注在圖形對應位置上，例如，在圖1和圖2中用直角符號標注∠C，在兩幅圖的線段旁標注長度等.根據(jù)正弦的定義，絕大多數(shù)同學能給出正確的結(jié)果.于是，教師組織學生開展了小組內(nèi)的交流，由于有了自主解答的經(jīng)驗，學生的交流十分熱烈，也取得了很好的效果.最后，教師將同學們解答與交流中的優(yōu)點進行了集中點評，進一步強調(diào)了“讀題標注，文圖呼應”做法的好處，希望大家在今后的解題中能按照這里的步驟進行.在接下來的自主練習時間里，教師一共呈現(xiàn)了5道題目讓學生自主解答，其中3道填空題，2道解答題，由于篇幅限制，這里就不再贅述了.

案例分析：例題教學是數(shù)學課堂的核心環(huán)節(jié).在學生數(shù)學認知活動中，例題教學不僅要幫助學生鞏固“四基”，還要在發(fā)展“四能”，培養(yǎng)學生的學習興趣上做貢獻.所以，一線老師一般都非常重視例題及其教學過程的設計與實施.案例中，這兩道例題出現(xiàn)在學生獲得了“正弦”的概念之后，是對概念的簡單應用與即時鞏固.從給出的這兩道例題不難看出教者是動了腦筋的，首先，這里給出的邊長是兩組“勾股數(shù)”，學生想要得出第三條邊的長度只需經(jīng)過簡單的口算即可，不讓學生在計算上糾結(jié)，在節(jié)約了探究時間的同時，讓新知成為了教學核心，有利于激發(fā)學生的應用熱情；給出的圖形“不正”，與概念歸納時的圖形差別較大，概念應用變?yōu)榱祟H具新意的“創(chuàng)造”，而非“臨摹”；最后，解題要求十分明確，讓學生“先在圖中標注，再解答”，教者的例題教學定位顯然不只是概念的簡單應用，他還關注了學生審題習慣的培養(yǎng)，力求以例題的解答使學生形成一定的解題技能.在上面的自主探究與師生、生生的互動交流中，文本、圖形、符號、數(shù)字都是交流的內(nèi)容，信息載體的多樣化豐富了學生的數(shù)學思維，他們要將信息不停地用語言、動作進行互化、轉(zhuǎn)譯，使之成為自己能說清、別人能聽懂的“語言”或動作.如此訓練，“文圖互化”必將成為學生默會的一項技能，融入到學生解題能力之中，與此同步形成的還有應用數(shù)學概念解決問題的興趣.

三、建構(gòu)數(shù)學模型，培養(yǎng)創(chuàng)新興趣

在初中階段，數(shù)學模型一般是用字母、數(shù)字和其他數(shù)學符號構(gòu)成的等式或不等式，或用圖表、圖像、框圖、圖形等來描述外在特征及其內(nèi)部聯(lián)系的模型，它是學生分析問題和解決問題的重要工具.在學生獲得數(shù)學基本概念之后，數(shù)學模型就應走在教學的“前臺”，成為重要的教學內(nèi)容.模型的建構(gòu)應是基于不同數(shù)學概念的應用之上形成的，這些概念間一定有著至少是內(nèi)在或外在某一方面的聯(lián)系.為了讓這些有一定關聯(lián)的概念在學生的認知活動中能“拉上關系”，我們可以設置適量的綜合性“探究”活動，讓學生通過對已有知識、技能的綜合性提取及應用，分析活動中隱藏的知識“銜接點”，從而推動“概念鏈”的形成，這些附著于“鏈條”之上的圖形、符號、文本等串成“新”的模型，鑄就了數(shù)學“疑難雜癥”的化解之道.

案例3“正弦”概念之“拓展提升”.

待本節(jié)課的4道例題教學結(jié)束后，教師安排了如下的“探究”：

探究：如圖3，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于點D，AC=8，BC=6.請用盡可能多的方法求CD的長.

圖3

根據(jù)要求，學生先自主探究，然后在小組中交流各自的方法.10分鐘后，小組交流結(jié)束.教師請學生以小組為單位展示解法，通過不同小組的矯正與完善，全班共給出包括了“面積法”、“勾股+方程”、“相似法”及“函數(shù)法”等近10種解法，其中以本課知識為主要工具的解法有如下兩種.

解法一：根據(jù)勾股定理可得AB=10（下同）.在Rt△ABC和Rt△ACD中，sinA=

在學生給出這兩種方法后，教師引導他們進行小結(jié)，形成結(jié)論：同一個銳角的正弦在不同的直角三角形中可以有不同的表示方法，這些表示方法能夠形成比例式，如果讓未知數(shù)加入就可以得到方程，從而求出圖形中的線段的長度.在學生陳述過程中，教師將學生的語言進行了“提煉”，簡化形成數(shù)學模型（解題模型），并板書，如圖4.

圖4

為了對這一數(shù)學模型進行鞏固，教師還安排了幾道配套的練習讓學生自主解答.

案例分析：初中階段數(shù)學模型的應用價值，更多的體現(xiàn)在學生問題解決中.它來自于學生問題解決的過程之中，又重新服務問題解決.因此，想要建構(gòu)出有效的數(shù)學模型，就應該像案例中那樣依托于問題解決，從問題解決的過程中進行抽象提取.當學生獲得“正弦”的概念之后，教師敏銳地捕捉到這一概念與前面知識間的聯(lián)系.于是，一題多解的探究就此展開，“用盡可能多的方法求CD的長”讓學生的思維徹底打開，他們“不得不”從自己已有的知識網(wǎng)絡中搜索出能夠化解問題的知識，組合，鏈接.在經(jīng)歷了充分的自主探索和小組交流之后，教師期待的探究成果不斷涌現(xiàn)，近10種解法的出現(xiàn)給接下來的全班交流提供了豐富的資源.教師重點選擇了與本課高度相關的兩種解法進行了點評，并從中抽象出今后適用的數(shù)學模型.在今后的問題解決中，學生只需沿著模型預設好的路徑展開聯(lián)想，同類問題的化解不在話下.很顯然，教師預設的探究活動，指向了數(shù)學模型，但學生獲得的不僅僅是數(shù)學模型，與此同步的還有創(chuàng)新興趣的激活.在今后的數(shù)學學習過程中，一旦概念進入應用提升環(huán)節(jié)，學生的創(chuàng)新興趣會被“觸發(fā)”，由此引發(fā)的生成一定是豐富多彩的.

數(shù)學是抽象的.豐富的文本，復雜的圖形，煩瑣的數(shù)量關系，讓很多抽象思維并不發(fā)達的學生失去了學習的興趣.為了避免學生在數(shù)學學習中漸行漸遠，我們一直努力將興趣培養(yǎng)“安放”在概念教學進程之中.接觸概念，培養(yǎng)其探究興趣；問題解決，培養(yǎng)其應用興趣；建構(gòu)模型，培養(yǎng)其創(chuàng)新興趣……如此種種，將興趣培養(yǎng)融合到概念教學的不同階段，不僅能使學生獲得基本的數(shù)學知識和基本技能，還能很好地激發(fā)學生學習數(shù)學的激情，并形成進一步學習數(shù)學的信心.為此，我們將繼續(xù)努力前行，課前，充分準備；課上，精心實施；課后，及時反思.在前行的路上，期盼著更多同行專家給予我們指點和幫助！