☉福建省三明市列東中學(xué)　詹高晟

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拉長思維過程內(nèi)化概念理解

☉福建省三明市列東中學(xué)詹高晟

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的起點，是數(shù)學(xué)思維的基礎(chǔ).正確理解概念是學(xué)生掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的前提，也是掌握數(shù)學(xué)基本技能、提高解題能力的必要條件，可見概念教學(xué)在數(shù)學(xué)教學(xué)中占有非常重要的地位.然而，由于很多數(shù)學(xué)概念具有高度的概括性，對于初中學(xué)生來講顯得比較抽象，不易理解，這就要求教師在教學(xué)時，要準確把握學(xué)生的認知水平，放慢教學(xué)節(jié)奏，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷概念的形成與建構(gòu)，促進對概念本質(zhì)的理解.最近，筆者通過網(wǎng)絡(luò)平臺觀摩了兩位教師執(zhí)教的“銳角三角函數(shù)”（北師大版九年級下冊第一章第一節(jié)第1課時），引發(fā)筆者對概念教學(xué)的進一步思考，現(xiàn)整理成文，以期與同行交流.

一、教學(xué)片斷簡錄及評析

1.教學(xué)片斷1（由教師A執(zhí)教）

一上課，直接點出課題，指出為了研究銳角三角函數(shù)，先從梯子的傾斜程度談起.

問題1：圖1中的梯子AB和EF哪個更陡？

生（眾）：EF更陡.

圖1

圖2

問題2：圖2中的梯子AB和EF哪個更陡？你是如何判斷的？

學(xué)生分組討論片刻后，教師請一學(xué)生介紹思路，該生指出：只要在BC上取點M，使得BM=DF，過M作MN⊥BC交AB于N，由△BMN∽△BCA計算出MN=3.2，根據(jù)MN＜DE，可判斷梯子EF更陡.

教師肯定該生的做法，指出這里運用了化歸與轉(zhuǎn)化思想，接著提出以下問題.

學(xué)生回答可由△AB1C1∽△ABC得到，教師指出既然的值一樣，就把這個值叫做∠A的正切.由此引入正切的概念，至此用時不到10分鐘.

圖3

評析：教師意在通過探究梯子的傾斜程度這一情境問題，讓學(xué)生經(jīng)歷正切概念的形成過程.但在實際教學(xué)中，教師基本上按照課本提供的素材，按部就班地完成三個問題的解答，沒有利用過渡性語言體現(xiàn)出三個問題之間的關(guān)聯(lián)，也沒有很好地發(fā)揮情境對正切概念引入的指向作用，而是在問題3后直接給出正切的概念.情境中關(guān)注的是“邊”對梯子傾斜程度的影響，而正切反映的是直角三角形中邊與角之間的關(guān)系，這里的關(guān)鍵在于引導(dǎo)學(xué)生從對“邊”的關(guān)注自然過渡到對“邊角關(guān)系”的探究，顯然在這方面本節(jié)課做得還很不夠，導(dǎo)致所給情境與教學(xué)核心內(nèi)容之間的割裂，情境成了點綴，并沒有真正服務(wù)于核心內(nèi)容的教學(xué).

2.教學(xué)片斷2（由教師B執(zhí)教）

第二，隨著農(nóng)村經(jīng)濟產(chǎn)權(quán)制度改革的深入，農(nóng)民在集體中的收益分配落到了實處。隨著農(nóng)村現(xiàn)代化進程的不斷推進，集體經(jīng)濟所帶來的收益呈現(xiàn)出前所未有的高速增長態(tài)勢，這也使得更多的農(nóng)民樂于分享集體經(jīng)濟所帶來的成果[2]。

上課伊始，引導(dǎo)學(xué)生回顧直角三角形的性質(zhì)：在Rt△ABC中，若∠C=90°，則∠A+∠B=90°，a2+b2=c2，進而提出問題：直角三角形的邊與角之間會有什么關(guān)系？告知學(xué)生要探究直角三角形的邊與角之間的關(guān)系，可以從梯子的傾斜程度談起.

師：一個梯子的傾斜程度會與什么量有關(guān)？

（學(xué)生回答：梯子與地面的夾角，梯子的長，梯子頂端與地面的距離，梯子底端與墻角的距離）

師：梯子的傾斜角（梯子與地面的夾角）與傾斜程度有什么關(guān)系？

生（眾）：傾斜角越大，梯子越陡.

師：如果無法得知傾斜角的大小，而是知道兩個梯子的垂直高度和水平寬度，能比較出這兩個梯子的傾斜程度嗎？來看下面的問題.

問題1：圖1中的梯子AB和EF哪個更陡？（兩個梯子“同底”，只需比“高”，梯子EF更陡）

問題2：圖4中的梯子AB 和EF哪個更陡？（兩個梯子“同高”，只需比“底”，梯子EF更陡）

問題3：圖2中的梯子AB 和EF哪個更陡？

圖4

學(xué)生分組討論5分鐘后，各組代表到臺前交流解題思路，發(fā)現(xiàn)梯子EF更陡，并且提出了5種不同的解決辦法.教師引導(dǎo)學(xué)生歸納各種方法的共同特點：都是通過添加輔助線，把兩個直角三角形化為“同底比高”或者“同高比底”.

師：這些方法都比較煩瑣，還有更簡潔的方法嗎？

生：剛才各種方法考慮的都是“高”和“底”，因而只要去計算它們的比就可以.

師：他們的比與梯子的傾斜程度有什么關(guān)系呢？

隨后教師通過幾何畫板演示，對學(xué)生的猜想進行更多的驗證，得出結(jié)論：的值越大，梯子越陡（∠A為梯子與水平地面的夾角）.

借助圖3，教師引導(dǎo)學(xué)生由△AB1C1∽△ABC，得到，接著又在AB邊上任取一點B2，過點B2作 B2C2⊥AC于C2，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，進而得到結(jié)論：在Rt△ABC（∠C=90°）中，當(dāng)∠A的大小確定后，它的對邊與鄰邊的比值就確定了，與所在直角三角形的大小無關(guān)，從而引入正切的概念，至此用時30分鐘.

評析：教師首先通過回顧舊知，自然地提出問題“直角三角形的邊與角之間會有什么關(guān)系？”引發(fā)學(xué)生的認知沖突，激發(fā)他們的探求欲望，讓他們興趣盎然地投入到問題的探究中.接著利用“梯子的傾斜程度”這一問題情境，在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生自主探究發(fā)現(xiàn)：既可以用傾斜角的大小，也可以用的值的大小來判斷梯子的傾斜程度，由此順勢提出問題“二者之間會有什么關(guān)系”，建立起直角三角形中邊與角之間的關(guān)聯(lián)，自然地引入正切概念，讓情境直擊“課題”，聚焦教學(xué)內(nèi)層，其教學(xué)功能得到很好的發(fā)揮，整個探究過程似行云流水，一氣呵成.在問題3的教學(xué)中，教師留給學(xué)生充足的探究和交流時間，各組學(xué)生積極分享自己的探究成果，發(fā)言熱情高漲，課堂氣氛活躍，在不長的時間里竟然想出了5種不同的解決方案，各種方案精彩紛呈，令人贊嘆不已，他們的思維得到淋漓盡致的發(fā)揮，主體地位得到很好的落實.

二、教學(xué)思考

1.理解教材意圖，概念引入自然流暢

讀懂教材，領(lǐng)悟編者的意圖，是開展有效教學(xué)的基礎(chǔ).然而，由于受到條件限制，教材內(nèi)容往往只能以靜態(tài)的形式進行呈現(xiàn)，內(nèi)里蘊含的數(shù)學(xué)思維要靠教師通過動態(tài)的課堂活動才能得以激活.如果教師沒有深入理解教材，領(lǐng)會編寫意圖，課堂上只能是教材內(nèi)容的“二傳手”，各環(huán)節(jié)的教學(xué)將是“碎片化”的，不夠連貫，不易建構(gòu)起完整的知識體系、經(jīng)歷思維過程，培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力更是無從談起.本節(jié)課，教材提供的“探究梯子的傾斜程度”是一個很好的現(xiàn)實情境，取材真實，貼近學(xué)生的生活實際.梯子靠墻擺放，既可以通過傾斜角來反映梯子的傾斜程度，也可通過計算其中兩邊的比來刻畫梯子的傾斜程度，引導(dǎo)學(xué)生探究“角”與“邊”這二者之間的關(guān)系能快速指向“銳角三角函數(shù)”這一教學(xué)核心.根據(jù)調(diào)查，在已知邊的情況下要判斷梯子的傾斜程度，學(xué)生首先關(guān)注的是梯子的“高”與“底”，而不是梯子的長度，這正是教材為什么選擇正切作為本章學(xué)習(xí)起點的原因，如果不做深入思考，就很難體會到隱藏在文字背后的編寫意圖，挖掘不出暗含其中的教學(xué)功能.教學(xué)片斷1中，教師缺少對教材的加工，導(dǎo)致情境的作用沒有得到有效發(fā)揮，不能很好地服務(wù)于新知的引入，事實上正切的概念是由教師生硬給出的.而在教學(xué)片斷2中，同樣的教學(xué)素材，由于教師站在系統(tǒng)的高度上，對教學(xué)內(nèi)容進行重新組織，通過“直角三角形的邊與角之間會有什么關(guān)系”“它們的比與梯子的傾斜程度有什么關(guān)系”“二者之間又有什么關(guān)系”等設(shè)問，使靜態(tài)的教材內(nèi)容動態(tài)化，把割裂的問題關(guān)聯(lián)起來，使零星的知識條理化、系統(tǒng)化.教學(xué)中，教師以問題為主線，層層遞進，直達本課核心，概念的引入自然流暢，符合學(xué)生的認知規(guī)律，還能讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系.我們在設(shè)計教學(xué)時，要對教材進行深入思考，創(chuàng)造性地使用教材，找準數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點，把只有“干貨”的教材變得“有血有肉”，活潑靈動，通過設(shè)計貼近學(xué)生思維最近發(fā)展區(qū)的數(shù)學(xué)問題，將教學(xué)內(nèi)容轉(zhuǎn)化為高效的教學(xué)行為，讓教學(xué)內(nèi)容有序地層層推進，使數(shù)學(xué)思維之花在和諧的課堂上燦爛綻放.

2.慢化探究過程，概念本質(zhì)揭示到位

概念的抽象性往往導(dǎo)致學(xué)生不易理解，這就需要教師在教學(xué)時，慢化概念探究，拉長思維過程，讓學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過程，自主揭示概念的本質(zhì)，準確把握概念的內(nèi)涵和外延.當(dāng)前，數(shù)學(xué)課堂仍然存在著把速度置頂這種現(xiàn)象，出現(xiàn)了“快餐式”的教學(xué).比如，在概念教學(xué)中，有的教師不關(guān)心概念產(chǎn)生的背景，不重視概念的形成過程，采用“掐頭去尾燒中段”的方式直接告訴學(xué)生概念，讓學(xué)生記住“一個定義，幾項注意”，接著舉例訓(xùn)練，反復(fù)練習(xí).這種急功近利的教學(xué)方式縮減了概念探究的歷程，影響了學(xué)生的深度思考，阻礙了學(xué)生思維的發(fā)展、能力的提升.片斷1的教學(xué)中，正切概念的引入用時不到10分鐘，概念產(chǎn)生的背景交待得不夠到位，概念本質(zhì)的揭示并不是學(xué)生自主完成的，結(jié)果就會導(dǎo)致學(xué)生對概念的掌握一知半解，應(yīng)用時是知其然而不知其所以然，只會機械模仿，生搬硬套，致使訓(xùn)練游離于知識之外，長此以往，必然對數(shù)學(xué)“四基”的落實產(chǎn)生不利影響.當(dāng)然，我們講要慢化概念教學(xué)，并不是刻意地慢慢吞吞，而是為了把探究的過程、發(fā)現(xiàn)的機會留給學(xué)生，讓他們有足夠的時間經(jīng)歷概念的形成，促進知識的有效內(nèi)化，暫時的慢是為了更好的快.片斷2的教學(xué)中，概念的引入雖然用時較多，擠壓了一些強化練習(xí)的時間，似乎很不劃算，實則不然，在解決問題3時，學(xué)生通過獨立思考、小組討論、分享交流，經(jīng)歷問題解決的全過程，體驗了解決方法的多樣性，感悟了化歸與轉(zhuǎn)化思想，他們在交流碰撞中解決了問題，提升了能力.正因為教師能夠慢化探究過程，才會有如此精彩的課堂生成，學(xué)生才能收獲成功的喜悅，體會數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣，這正是片斷1中的教學(xué)所達不到的效果.在接下去的活動中，當(dāng)學(xué)生知道既可以用傾斜角的大小，也可以用的值的大小來判斷梯子的傾斜程度后，繼續(xù)探究這二者之間的關(guān)系，主動揭示出“在Rt△ABC（∠C=90°）中，當(dāng)∠A的大小確定時，它的對邊與鄰邊的比值就確定了，與所在直角三角形的大小無關(guān)”這一結(jié)論，這正是正切概念的本質(zhì)特征，此時引出正切概念自然是水到渠成.在這種“慢”教學(xué)中，學(xué)生充分經(jīng)歷概念的形成過程，自主完成概念的建構(gòu)，理解概念的本質(zhì)屬性，對學(xué)到的概念自然是體會深刻，記憶牢固.正如一位學(xué)生在課堂小結(jié)時所說：“這節(jié)課的知識不是老師灌輸給我們的，而是自己主動探究獲得的，這樣獲得的知識我將終身難忘.”學(xué)生在獲取數(shù)學(xué)知識的同時，思維能力、情感體驗等方面都得到了進步和發(fā)展，這應(yīng)是數(shù)學(xué)課堂不懈的追求！

*本文為江蘇省如皋市微型課題《九年級數(shù)學(xué)教學(xué)中激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的研究》的研究成果，作者系該課題主持人.