焉志豪

[摘 要] 利用Zermelo選擇公理，構(gòu)造一維空間中的一個(gè)Lebesgue不可測(cè)集，計(jì)算不可測(cè)集的內(nèi)、外測(cè)度.該不可測(cè)集的構(gòu)造不依賴(lài)于Lebesgue測(cè)度的平移不變性.

[關(guān) 鍵 詞] 不可測(cè)集；稠密集；Caratheodory條件

[中圖分類(lèi)號(hào)] O174.1 [文獻(xiàn)標(biāo)志碼] A [文章編號(hào)] 2096-0603（2016）03-0171-01

在實(shí)變函數(shù)理論中，通常不可測(cè)集的構(gòu)造除了利用Zermelo選擇公理，還需利用Lebesgue測(cè)度的平移不變性；此外，不可測(cè)集的內(nèi)、外測(cè)度并未具體求出.本文的目的是僅利用Zermelo選擇公理但不依賴(lài)于Lebesgue測(cè)度的平移不變性具體構(gòu)造一個(gè)不可測(cè)集，同時(shí)也計(jì)算出集的內(nèi)、外測(cè)度.

在實(shí)變函數(shù)理論中，關(guān)于可測(cè)集的刻畫(huà)有下列重要結(jié)果.R中的子集E為可測(cè)集的充要條件是：對(duì)任何一個(gè)集合A，等式m*A=m*（A∩E）+m*（A-E）（8）成立.條件（8）稱(chēng)為Caratheodory條件，該條件也是抽象測(cè)度理論中刻畫(huà)可測(cè)集的充要條件.

根據(jù)上述定理，若E為不可測(cè)集，一定存在一個(gè)集合A，使得條件（8）不成立.

參考文獻(xiàn)：

[1]鄭維行，王升望.實(shí)變函數(shù)與泛函分析概要[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]夏道行，吳卓人，嚴(yán)紹宗，等.實(shí)變函數(shù)與泛函分析[M].北京：高等教育出版社，2010.