楊憲立,李冬輝

(河南教育學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,河南 鄭州 450046)

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深入探究反思，提升數(shù)學(xué)思維品質(zhì)

楊憲立,李冬輝

(河南教育學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,河南 鄭州 450046)

摘要：通過延長與截取的不同形式給出了一道聯(lián)賽題的10種證明方法，探究變形與推廣，改編了8個(gè)新的命題，并通過反思探究，從幾何的角度得出了12個(gè)三角函數(shù)關(guān)系式.

關(guān)鍵詞：探索性學(xué)習(xí)；數(shù)學(xué)思維；反思

探究性學(xué)習(xí)是新課標(biāo)提倡的一種新型的學(xué)習(xí)方式.而適時(shí)地進(jìn)行反思回顧則是有效提高數(shù)學(xué)解題能力、減輕學(xué)生作業(yè)負(fù)擔(dān)的重要方法與手段.因此在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，要有目的地指導(dǎo)學(xué)生開展以“自主、合作、探究反思”為特征的學(xué)習(xí)方式，要讓學(xué)生感受、理解知識產(chǎn)生的發(fā)展過程，實(shí)現(xiàn)“三位一體”的教學(xué)目標(biāo)，有效培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，提升數(shù)學(xué)品質(zhì).

1深入探究問題的多種證法，培養(yǎng)思維的靈活性

對于一個(gè)題目，尋求多種證法，既能廣開思路，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的靈活性，又能幫助學(xué)生加深對問題的認(rèn)識.因?yàn)椴煌淖C法，往往是從不同的側(cè)面反映出條件與結(jié)論之間的聯(lián)系.

圖1　例1圖Fig.1　Example 1

例1如圖1，在△ABC中，已知AB>AC,∠A的外角平分線交△ABC的外接圓于E，過E作EF⊥AB于F,求證：2AF=AB-AC(1989年全國聯(lián)賽第二試第1題)[1].

其次，觀察問題的結(jié)論有哪些變式：

圖2　證明1圖Fig.2　Proof 1

①2AF=AB-AC?②AC=AB-2AF?③AB=AC+2AF?④AC+AF=AB-AF?⑤BF=AC+AF?⑥BF-AF=AC.

再次，反思回顧問題證明的基本思路.證明線段的和差相等的基本思路是：

(1)截取或延長；(2)直接運(yùn)用相應(yīng)的定理、例題；(3)計(jì)算.

證明1作差A(yù)B-AC.在AB上截取AB′=AC,則只需證明BB′=2AF，為此聯(lián)結(jié)CB′并延長交外接圓于G,再作GH⊥AB于H,如圖2.則有∠GBB′=∠GCA=∠AB′C=∠GB′B?BB′=2BH.

又，∠BCG=∠BCB′=∠AB′C-∠B=∠ACB′-∠B=∠C-∠BCB′-∠B.

圖3　證明2圖Fig.3　Proof 2

所以，RtΔGBH?RtΔEAF，所以，BH=AF?BB′=2AF.

反思 可以在AB上作差，也可以在BA上作差，由此得證明2.

證明2作差BA-AC.在BA上截取BB′=AC,聯(lián)結(jié)B′E,BE,CE，如圖3，則有BE=CE,∠EBB′=∠ECA,BB′=CA，所以，ΔEBB′?ΔECA?EB′=EA.又，EF⊥AB′，所以，AB′=2AF.

圖4　證明3圖Fig.4　Proof 3

考察第②個(gè)等價(jià)結(jié)論及基本思路，又有如下證明.

證明3作差A(yù)B-2AF.在AB上截取AA′=2AF,聯(lián)結(jié)EA′,BE,CE,如圖4，則有AA′=2AF,∠EA′A=∠EAA′,BE=CE.

∠EBA′=∠ECA,∠BA′E=π-∠EA′A=π-∠EAA′=∠CAE,所以，ΔBEA′?ΔCEA，所以，BA′=CA.

考察第③個(gè)等價(jià)式子及基本思路——延長，可得如下3種證法.

證明4作和AC+2AF.延長AC至C′，使得AC′=AB，聯(lián)結(jié)C′B交外接圓于G,聯(lián)結(jié)GC,過G作GH⊥CC′于H，如圖5，則有∠C′=∠ABC′=∠GCC′，所以，CC′=2CH.

圖5　證明4圖Fig.5　Proof 4

又∠B+∠CBG=∠C′=∠C-∠CBG.

反思延長有兩個(gè)方向，不同的方法，從而還有如下兩種證法.

圖6　證明5、6圖Fig.6　Proofs 5、6

證明5作和CA+2AF.延長CA至A′使得CA′=BA，聯(lián)結(jié)EA′,BE,CE，過E作EH⊥AA′于H,如圖6，則有BE=CE,∠EBA=∠ECA′，所以，ΔABE?ΔA′CE,所以，EA′=EA，∠EA′H=∠EAF，所以，RtΔEA′H?RtΔEAF，所以，A′H=AH,AA′=2AF.

證明6作和CA+2AF.延長CA至A′，使得AA′=2AF，設(shè)H為AA′的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)EH,EA′,BE,CE,如圖6，則有AH=AF,∠EAF=∠EAH,EA=EA，所以，ΔEAF?ΔEAH,所以，EH⊥AA′?ΔEAA′為等腰.又BE=CE,∠EBA=∠ECA′，∠EAB=∠EAA′=∠EA′C，所以，ΔEBA?ΔECA′，所以，A′C=AB.

考察第④個(gè)等價(jià)式子,又有如下類似證法.

證明7作AC+AF.延長CA至D，使得CD=BF,聯(lián)結(jié)BE,CE,DE,如圖7，則有BE=CE,∠EBF=∠ECD,所以，ΔEBF?ΔECD,所以，ED=EF,∠EDC=∠EFB=90°且EA=EA，所以，RtΔEAF?RtΔEAD,所以，AD=AF.

圖7　證明7圖Fig.7　Proof 7

注：也可延長CA至D，使得AD=AF.先證ΔEAD?ΔEAF，再證RtΔEBF?RtΔECD即可.

證明8作和FA+AC.延長FA至D使得AD=AC,聯(lián)結(jié)BE,CE,DE,如圖8，則有∠DAE=π-∠EAB=∠EAC,且EA=EA，所以，ΔEAD?ΔEAC，所以，ED=EC=EB，且EF⊥BD.

所以，BF=FD.

圖8　證明8圖Fig.8　Proof 8

注：也可延長FA至D使得FD=BF,而后證明AD=AC.

證明9作差BF-AF.在BF上截取BH=AF,過H作HG⊥BF交外接圓于G,聯(lián)結(jié)BG,EG,BE,CE,如圖9，則有BE=CE,EG//=FH,BG=AE,∠BEG=∠EBA=∠ACE,∠BGE=π-∠EAB=∠EAC.

所以，ΔBGE?ΔEAC,所以，AC=GE=HF.

當(dāng)難于找到幾何證法時(shí)，不妨考慮運(yùn)用正余弦定理進(jìn)行計(jì)算.

證明10利用計(jì)算,如圖10.令∠EAB=∠ECB=α,∠ACE=∠ABE=β，則由正弦定理得，AE=2Rsinβ,BE=2Rsinα,AC=2Rsin(α-β).

圖9　證明9圖Fig.9　Proof 9

所以，BF=BEcosβ=2Rsinαcosβ，AF=AEcosα=2Rsinβcosα.

所以，AC+AF=2Rsin(α-β)+2Rsinβcosα=2Rsinαcosβ=BF.

2探究問題的變形推廣，培養(yǎng)思維的深刻性

任何一個(gè)命題都有逆命題，但一個(gè)命題的逆命題卻不一定是真命題.這就啟發(fā)我們把一些命題作為原命題，然后去探究它的逆命題，如果逆命題成立，那么就得到一個(gè)新的命題.

由于本命題的條件與結(jié)論都是唯一的，所以逆命題是成立的，由此得逆命題：

圖10　證明10圖Fig.10　Proof 10

命題1已知在△ABC中，AB>AC,∠A的外角平分線交△ABC的外接圓于E，F(xiàn)為AB上一點(diǎn),且BF=AC+AF,求證：EF⊥AB.

命題2已知在△ABC中，AB>AC,F為AB上一點(diǎn)，且BF=AC+AF,過F作FE⊥AB交△ABC的外接圓于E，求證：AE為∠A的外角平分線或點(diǎn)E為BAC弧的中點(diǎn).

2.2探究命題結(jié)論的多樣性

如果根據(jù)題設(shè)條件，可以得到幾個(gè)不同的結(jié)論，那么，每個(gè)結(jié)論都是一個(gè)新的命題.

由AB-AC=2AF,得AB-AF=AC+AF,或BF=AC+AF,把∠A的外角平分線與△ABC的外接圓交于E修改為E為BAC弧的中點(diǎn)，則得著名的折弦(阿基米德)定理：

命題3[2]如果AB和AC組成一條圓O的折弦(AB>AC),E為BAC弧的中點(diǎn)，過E作EF⊥AB于F，則BF=AC+AF.

從廣州出發(fā)飛 行了16個(gè)小時(shí)，再坐上2小時(shí)的大巴，穿越一片片平坦開闊的葡萄園、橄欖園，路過一棟棟白色或淺黃色的石屋，終于抵達(dá)普利亞產(chǎn)區(qū)的中心城市：曼杜里亞。此時(shí)接近正午，陽光正好，清勁的海風(fēng)撲面而來，一下子驅(qū)散了長途旅行的不適。空氣中彌漫著橄欖香、泥土香，暖暖的，非常愜意。放眼望去，都是狹窄的石頭街道、古老的石頭房子和教堂，街上行人寥寥。

又由于BF-AF=AC,BF+AF=AB，所以，BF2-AF2=AB·AC,而BF2=BE2-EF2,AF2=AE2-EF2，所以，BE2-AE2=AB·AC，故有以下命題4：

命題4已知在△ABC中，AB>AC,∠A的外角平分線交△ABC的外接圓于E，求證：BE2-AE2=AB·AC.

2.3探究改變命題

對一些數(shù)學(xué)命題，認(rèn)真分析其條件與結(jié)論中的本質(zhì)特征，然后以命題條件或結(jié)論中的本質(zhì)特征為龍頭，對原命題中的一些非本質(zhì)的條件進(jìn)行修正、移植，也可得到一些有益的命題.

E是∠A的外角平分線與△ABC的外接圓的交點(diǎn)，實(shí)質(zhì)就是EB=EC，或△EBC為等腰三角形，為此可改編為

命題5已知等腰△EBC，EB=EC，A為△EBC外接圓CE弧上任意一點(diǎn)，EF⊥AB于F，則AB-AC=2AF.

由EB=EC，可知E在BC的中垂線上，為此又可改編為

命題6已知在△ABC中，AB>AC,BC的中垂線交△ABC的外接圓于E，過E作EF⊥AB于F,求證：2AF=AB-AC.

結(jié)合命題4，又有

命題7[3]已知在△ABC中，AB>AC,BC的中垂線交△ABC的外接圓于E，求證：BE2-AE2=AB·AC.

圖11　命題8圖Fig.11　Proposition 8

2.4探究命題的特殊情形

對某些數(shù)學(xué)命題，可觀察其極端情形、特殊情形而構(gòu)造新的命題.

在命題的條件下，將等腰△EBC特殊化為正三角形，則有∠EAB=∠ECB=60°，所以AE=2AF,AC+AE=AB,從而得命題：

命題8[4]如圖11，已知P為正△ABC的外接圓BC弧上一點(diǎn)， 求證：①PA=PB+PC；②PA2+PB2+PC2=2BC2.

由此可見，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，適時(shí)地指導(dǎo)學(xué)生對一些命題進(jìn)行探究改編，對提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的深刻性具有重要的意義.

3反思回顧，培養(yǎng)思維的創(chuàng)造性

反思第10種計(jì)算方法，能從證明中得到什么呢？若已證明BF=AC+AF，則有AC=BF-AF,即

2Rsin(α-β)=2Rsinαcosβ-2Rcosαsinβ，

或

sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.

(1)

這是兩角差的正弦三角函數(shù)公式——由一個(gè)幾何問題推出來了.由圖中的幾何線段相等，還能推出其他公式嗎？為了方便，且不失一般性，設(shè)圓O的直徑為1，即2R=1，則根據(jù)正弦定理與銳角三角函數(shù)定義，有

反思1由AF+BF=AB，BF=sinαcosβ，AF=sinβcosα，AB=sin(α+β)，得

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.

(2)

反思2圖12，設(shè)BC的中點(diǎn)為G，則有BC=2BG，BG=BEcosα=sinαcosα，BC=sin∠BEC=sin(π-2α)=sin 2α，所以

sin 2α=2 sinαcosα.

(3)

圖12　反思2、3圖Fig.12　Reflections 2、3

sin2α+cos2α=1.

(4)

cos 2α=1-2sin2α.

(5)

cos 2α=2cos2α-1.

(6)

反思6由AB-AC=2AF，得2cosαsinβ=sin(α+β)-sin(α-β)，即

(7)

(8)

至此，已得到8個(gè)三角函數(shù)公式，繼續(xù)觀察圖形，進(jìn)行深入反思探究，延長EF交外接圓于K,如圖13，則有EK=EF+FK,為此有

圖13　反思8圖Fig.13　Reflection 8

反思8由于∠ECK=∠ECA+∠ACK=β+∠AEK=β+90°-α，所以EK=sin(90°+β-α)=cos(α-β)，EF=AEsinα=sinαsinβ，AK=sin∠ACK=sin∠AEK=sin(90°-α)=cosα.

所以FK=AKcos∠AKF=cosαcosβ,再由EK=EF+FK，得

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.

(9)

對于常用的三角函數(shù)基本公式，只剩下了兩角和的余弦公式，為了求cos(α+β)，繼續(xù)深入反思：由于我們已知cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ及EF=sinαsinβ，F(xiàn)K=cosαcosβ,為此作E關(guān)于AB的對稱點(diǎn)E′，如圖14，則只需驗(yàn)證E′K=FK-EF=cos(α+β)即可.

圖14　反思9圖Fig.14　Reflection 9

由E′K=FK-FE′，得

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.

(10)

由EK-E′K=EE′=2EF，得

cos(α-β)-cos(α+β)=2 sinαsinβ.

(11)

2 cosαcosβ=cos(α-β)+cos(α+β).

(12)

至此，推出了12個(gè)三角函數(shù)公式.這使我們深深體會到，反思便于拓寬解題思路，反思使學(xué)生對知識會有更深刻的理解；只要深入反思探究,或多或少都會得到一些意外的收獲，嘗到發(fā)現(xiàn)公式(新知識)的樂趣，而且對自己的發(fā)現(xiàn)終身難忘，或許由此便喜歡上了數(shù)學(xué)[2].

參考文獻(xiàn)

[1]李長明，周煥山.初等數(shù)學(xué)研究[M].北京：高等教育出版社，2005：391.

[2]楊憲立，楊之. 折弦定理——研究性學(xué)習(xí)的一個(gè)好課題[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2011(4)：19-20.

[3]閆照林，韓友信，閆雪.阿基米德折弦定理及其應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，1997(6)：33-35.

[4]朱德祥.初等幾何研究[M].北京：高等教育出版社，1994:37.

Further Explore and Reflect, Improve the Quality of Mathematics Thinking

YANG Xianli, LI Donghui

(SchoolofMathematicsandStatistics,HenanInstituteofEducation,Zhengzhou450046,China)

Abstract:Puts forward ten kinds of proof method of a contest problem by different forms of extending and interception, makes an inquiry into the deformation and generalization, and adapts eight new propositions. With reflection and exploration, twelve kinds of trigonometric function relationship are proposed, which are based on the perspective of geometry.

Key words:exploring study; mathematics thinking; reflection

中圖分類號：G642.0

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1007-0834(2016)01-0053-05

doi：10.3969/j.issn.1007-0834.2016.01.012

作者簡介：楊憲立(1961—)，男，河南林州人，河南教育學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院副教授，主要研究方向：數(shù)學(xué)教育.

基金項(xiàng)目：河南省教育廳教師教育課程改革研究項(xiàng)目(2015-JSJYYB-120)

收稿日期：2015-11-05