顧銀魯 , 馬艷利

(銀川能源學院 基礎部,寧夏 銀川 750105)

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關于擬嚴格偽壓縮映像族的收縮投影方法

顧銀魯 , 馬艷利

(銀川能源學院 基礎部,寧夏 銀川 750105)

摘要：在Hilbert空間中，引入和研究一種新的收縮投影方法，用逼近一族閉的擬嚴格偽壓縮映像的公共不動點，并利用所提出的迭代方法證明了擬嚴格偽壓縮映像族的不動公共點強收斂定理.

關鍵詞：擬嚴格偽壓縮映像族；不動點；收縮投影方法；閉映像

0引言

對于非擴張映像的不動點的迭代構造問題，數(shù)學家經(jīng)過長期不斷的努力和艱苦的深入研究以及探索，創(chuàng)造出了許多優(yōu)秀成果[1-11]．本文將Hilbert空間中閉的擬嚴格偽壓縮映像的收縮投影方法拓展到映像族上，給出一組新的迭代方法，然后對新的迭代方法對于強收斂于一點再加以證明.

1預備知識

定義2[11]凸集：設z1,z2∈C，若tz1+(1-t)z2∈C,t∈(0,1),稱C為凸集.

定義3[3]設H為Hilbert空間的內(nèi)積，且C為H上的一個非空閉凸子集，設T:C→C的自映像，用F(T)表示T的不動點集.

定義4[2]映像T:C→C為擬嚴格偽壓縮映像，當F(T)≠?時，存在常數(shù)k∈[0,1)，對?x∈C,y∈F(t)滿足‖Tx-p‖2≤‖x-p‖2+k‖x-Tx‖2.

定義5[8]映像T:C→C為嚴格偽壓縮映像，如果存在常數(shù)k∈[0,1)，對?x,y∈C滿足‖Tx-Ty‖2≤‖x-y‖2+k‖(I-T)x-(I-T)y‖2,也稱T為k-嚴格偽壓縮.

定義6[5]稱映像T:C→C是非擴張映像，如果

‖Tx-Ty‖≤‖x-y‖,?x,y∈C.

注1嚴格偽壓縮映像包括非擴張映像，也就是說，T是非擴張映像，當且僅當T是0-嚴格偽壓縮映像.

注2當F(T)≠?時，所有的嚴格偽壓縮映像都是擬嚴格偽壓縮映像，然而其逆不真.

定義7[7]稱映像f:C→C是壓縮映像，如果存在常數(shù)k∈(0,1)，使得

‖fx-fy‖≤k‖x-y‖,?x,y∈C.

范數(shù)具有下列性質(zhì)[5]：

1)‖x‖≥0, 且‖x‖=0等價于x=0；

3)‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖(范數(shù)不等式).

定義 8[10]設C為實Hilbert空間H中的非空閉凸子集，任意點x∈H，存在C中的一個點的鄰域，記作PCx. 使得‖x-PCx‖≤‖x-y‖,對?y∈C，稱PCx為H到C的度量投影.

引理1[1]設C是實的Hilbert空間H中的一個非空閉凸子集，給定x∈H和z∈C,有z=PCx，當且僅當?y∈C有〈x-z,y-z〉≤0 .

引理2[9]設C是Hilbert空間上的一個非空閉凸子集，映像PC:H→C，稱為從H到C上的距離投影算子.

則有下面的式子成立，

‖y-PCx‖2+‖x-PCx‖2≤‖x-y‖2,?x∈H,?y∈C.

引理3[6]設H是一個Hilbert空間，有下列定義

1)‖x±y‖2=‖x‖2±2〈x,y〉+‖y‖2,?x,y∈H;

2)‖tx+(1-t)y‖2=t‖x‖2+(1-t)‖y‖2-t(1-t)‖x-y‖2，其中t∈[0,1),?x,y∈H.

顯然由‖·‖的定義得

‖x-y‖2=‖x-z‖2+‖z-y‖2+2〈x-z,z-y〉，?x,y,z∈H.

2主要結果

則數(shù)列{xn}強收斂于P0=PFx0.

證明以下分6步進行證明.

第1步：證明F是C的非空閉凸子集.

2)再證F是凸集. 先證對?i∈N，F(xiàn)(Ti)是凸集.?p1,p2∈F(Ti),t∈(0,1)，設pt=tp1+(1-t)p2，此時需要證明Tipt=pt. 因為 ‖p1-pt‖=(1-t)‖p1-p2‖

以及‖p2-pt‖=(1-t)‖p1-p2‖，由引理3的2)，有

‖pt-Tkpt‖2=‖t(p1-Tipt)+(1-t)(p2-Tipt)‖2=

t‖p1-Tipt‖2+(1-t)‖p2-Tipt‖2-t(1-t)‖p1-p2‖2≤

t(‖p1-pt‖2+ki‖pt-Tipt‖2)+(1-t)(‖p2-p1‖2+ki‖pt-Tipt‖2)-t(1-t)‖p1-p2‖2=

(t(1-t)2+(1-t)t2-t(1-t))‖p1-p2‖2+ki‖pt-Tipt‖2.

第2步：證明當n≥1時，Cn是一個閉凸集.

1)先證Cn,i是一個閉凸集.

①當n=1時，C1,1=C1,2=…=C是閉凸集.

(i)首先證明Ck+1,i為閉集.

所以z∈Ck+1,i. 由閉集的定義可知Ck+1,i是閉集.

(ii)再證Ck+1,i是凸集.

綜上所述Ck+1,i是閉凸集，即所有的當n≥1時，都有Cn,i是閉凸集.

第3步：證明?n≥1，有F?Cn.

‖Tixk-p′‖2≤‖xk-p′‖2+k‖xk-Tixk‖2，

‖Tixk-xk‖2+‖xk-p′‖2+2〈Tixk-xk,xk-p′〉≤‖xk-p′‖2+k‖xk-Tixk‖2.

‖xn-x0‖2≤‖w-x0‖2-‖w-xn‖2≤‖w-x0‖2.

第5步：證明當n→∞,xn→p0. 由Cn的構造知，當m>n時，Cm?Cn和xm=PCmx0∈Cn,由引理2得

‖xm-xn‖2=‖xm-PCnx0‖2≤‖xm-x0‖2-‖PCnx0-x0‖2= ‖xm-x0‖2-‖xm-x0‖2.

兩邊同時取極限，當m,n→∞時，‖xm-xn‖→0，因此，序列{xn}是一個柯西列，所以當n→∞時，有xn→p0∈C.

第6步：證明p0=PFx0.

1)首先證明p0=TFx0. 由上一步已經(jīng)得知，當n→∞時，x→p0(p0∈C)，因此，當n→∞時，‖xn+1-xn‖→0. 當xn+1∈Cn+1時，有

這就表明,n→∞時，有‖xn-Tixn‖→0，因此，當n→∞時，有xnc-p0∈C，從而有當n→∞時，Tkxn→p0∈C. 由Ti是閉集，則p0=pip0.

2)再證明p0=PFx0.由xn=PCnx0，可以得到，對任意y∈Cn，〈y-xn,x0-xn〉≤0，當F?Cn對任意n≥1，得到?w∈F,有〈w-xn,x0-xn〉≤0，取極限，即當n→∞時，有〈w-p0,x0-p0〉≤0(?w∈F)，從而由引理1可得p0=PFx0. 因此，定理1得證.

參考文獻

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A Shrinking Projection Method on Common Fixed Point for a Family of Quasi-strict Pseudo-contraction Mapping

GU Yinlu, MA Yanli

(DepartmentofBasics,YinchuanEnergyCollege,Yinchuan750105,China)

Abstract:Propose a kind of new shrinking projection method for a family of quasi-strict pseudo-contraction mapping and prove a strong convergence theorem for closed and quasi-strict pseudo-contractions in a Hilbert space.The result improves and extends some recent relative results.

Key words:a family of quasi-strict pseudo-contraction mapping； fixed point； shrinking projection methods； closed mapping

中圖分類號：O177.91

文獻標志碼：A

文章編號：1007-0834(2016)01-0006-04

doi：10.3969/j.issn.1007-0834.2016.01.002

作者簡介：顧銀魯(1981—)，女，山東鄒城人，銀川能源學院基礎部講師.

基金項目：銀川能源學院科研基金項目(2015-KY-Y-29)

收稿日期：2015-10-13