文平，賈達明

(常州工學(xué)院數(shù)理與化工學(xué)院,江蘇常州213002)

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Sharpe比率與RR比率的一致性研究

文平，賈達明

(常州工學(xué)院數(shù)理與化工學(xué)院,江蘇常州213002)

摘要：研究發(fā)現(xiàn)在位置-尺度分布族中，只要RR比率中的風(fēng)險測度與報酬測度滿足正齊次性與平移不變性,根據(jù)RR比率進行的投資業(yè)績排名與用Sharpe比率的排名是一致的。由于文中的RR比率中的風(fēng)險測度與報酬測度均滿足正齊次性與平移不變性，故在位置-尺度分布族中使用Sharpe比率作為業(yè)績評價指標是一種不錯的選擇。

關(guān)鍵詞：Sharpe比率；RR比率；位置-尺度分布族；測度

0引言

Sharpe比率[1]是最著名的基金業(yè)績評價指標。傳統(tǒng)的觀點認為，只有當(dāng)基金收益分布為正態(tài)分布或效用函數(shù)為二次函數(shù)時，Sharpe比率才是有效的。然而，收益的正態(tài)分布假設(shè)和二次效用函數(shù)假設(shè)均存在理論上的缺陷，以及缺乏實證支持。所幸的是上述2條要求都不是使用Sharpe比率評價投資所必須的。Meyer[2]證明了當(dāng)投資收益屬于位置-尺度分布族時，即任意2份投資收益的分布只存在位置參數(shù)與尺度參數(shù)的差異時，期望效用暗含了Sharpe比率對投資的排序，文獻[3]證明了在位置-尺度分布族中當(dāng)源的支撐可達到負無窮時，均值-方差準則與期望效用理論是完全一致的。Levy[4-5]指出描述投資收益的很多分布屬于位置-尺度分布族。這些都預(yù)示著投資收益的非對稱和肥尾都不是拒絕使用Sharpe比率的理由。

繼Sharpe比率被提出后，在最近20年里，基金先后出現(xiàn)了一系列業(yè)績評價指標，其中一類包含許多評價指標的測度是RR比率[6]。與Sharpe比率不同的是RR比率計算風(fēng)險調(diào)整的投資的正報酬。那么，是否存在條件使得Sharpe比率與RR比率一致？為回答這個問題，有必要搞清楚位置-尺度分布族及其性質(zhì)、RR比率及其所包含的主要評價指標等問題，這些將分別在下文加以闡述，并給出了主要研究結(jié)果。

1位置-尺度分布族

位置-尺度分布族可以用很多方法定義，通常的定義如下描述。

在經(jīng)濟、管理中，為了便于應(yīng)用，位置-尺度分布族通常被定義為由1個隨機變量經(jīng)過仿射變換Y=μ+σX生成的分布族。這樣任何1個隨機變量都可生成1個位置-尺度分布族。為討論方便，不妨設(shè)X是均值為0、方差為1的隨機變量，并稱X為位置-尺度分布族的源。否則，

此時，Y可視為由X1生成的分布族,而X1是均值為0、方差為1的隨機變量。由此可以得到位置-尺度分布族的等價定義。

顯然，若X服從標準正態(tài)分布，則以X為源的位置-尺度分布族就是正態(tài)分布族。若X服從均值為0，方差為1的均勻分布，則以X為源的位置-尺度分布族就是由所有均勻分布組成的分布族。位置-尺度分布族還包括拉柯西分布族、拉普拉斯分布族、穩(wěn)定分布族等。從定義可以看出，任何1個均值為0，方差為1隨機變量X都可以生成1個位置-尺度分布族，位置-尺度分布族中的任何1個隨機變量都是其源的1個仿射變換。

文獻[3]證明了在位置-尺度分布族中當(dāng)源的支撐可達到負無窮時，均值-方差準則與期望效用理論是完全一致的，有如下定理。

定理說明：位置-尺度分布族滿足某種條件時，均值-方差準則與期望效用理論是完全一致的。而Sharpe比率是均值與標準差之比，這隱含著只要業(yè)績評價指標與期望效用理論是一致的，那么它與Sharpe比率也是一致的。

2RR比率

RR比率是一類重要的業(yè)績評價指標，它被定義為資產(chǎn)收益的報酬測度與資產(chǎn)收益的風(fēng)險測度的比值，即

式中：r為投資收益；rb代表參照投資的收益，通?？稍O(shè)為無風(fēng)險投資收益率；ν(r-rb)為報酬測度；ρ(r-rb)為風(fēng)險測度。當(dāng)采用不同的報酬測度及不同的風(fēng)險測度時，RR比率便成為包含一些比較著名比率的業(yè)績評價指標，包括Sharpe比率、Sortino比率、Sortino-Satchell比率、Farinelli-Tibiletti比率[7-8]、Rachev比率[9]、MAD比率等。

2.1Sharpe比率

資產(chǎn)收益的Sharpe比率是超額收益的數(shù)學(xué)期望與它的標準差的比值，即

式中：r為投資收益；E(r-rf)為r-rf的數(shù)學(xué)期望；σ(r-rf)為r-rf的標準差；rf為無風(fēng)險投資收益率。廣義來講Sharpe比率也是一種RR比率。

2.2Sortino比率

資產(chǎn)收益的Sortino比率被定義為

2.3Sortino-Satchell比率

Sortino-Satchell比率是Sortino比率的推廣，通常被定義為

2.4Farinelli-Tibiletti比率

Farinelli-Tibiletti比率的提出是基于2個偏矩的單邊波動率，與Sortino-Satchell比率不同的是，投資的報酬測度不是用數(shù)學(xué)期望來測度，而是用上偏矩來測度，定義為

式中：p≥1；q≥1；rb代表參照投資的收益率。因而，當(dāng)投資收益高于參照投資的收益，它被視為報酬；當(dāng)投資收益低于參照投資的收益，它被視為風(fēng)險。

2.5Rachev比率

Rachev比率被定義為

2.6MAD比率

資產(chǎn)收益的MAD比率被定義為

式中：E(r-rf)為r-rf的數(shù)學(xué)期望；rf為無風(fēng)險投資收益率。

上述6種比率都是RR比率的報酬測度與風(fēng)險測度取不同形式得到的。在過去的幾十年里，對風(fēng)險測度和報酬測度的研究不斷深入，主要表現(xiàn)在以下兩方面：一是對它們所滿足公理的研究；二是對測度方法的研究。

就公理而言，Artzner等[10]在對風(fēng)險及其本質(zhì)研究的基礎(chǔ)上指出風(fēng)險測度ρ(X)必須滿足的4條公理。

公理1平移不變性(translationinvariance)：對于任意隨機變量X以及任意實數(shù)α，有ρ(X+α)=ρ(X)-α。

公理2正齊次性(positivehomogeneity)：對于任意隨機變量X以及任意正實數(shù)λ，有ρ(λX)=λρ(X)。

公理3次可加性(subadditivity)：對于任意隨機變量X,Y，有ρ(X+Y)≤ρ(X)+ρ(Y)。

公理4單調(diào)性(monotonicity)：對于任意隨機變量X,Y，如果有X≤Y，則有ρ(X)≥ρ(Y)。

Giorgi[11]在對報酬測度的研究基礎(chǔ)上，提出報酬測度必須滿足下列條件。

公理5平移不變性：對于任意隨機變量X以及任意實數(shù)α，有ν(X+α)=ν(X)+α 。

公理6正齊次性：對于任意隨機變量X以及任意正實數(shù)λ，有ν((λX)=λν(X)。

公理7次可加性：對于任意隨機變量X,Y，有ν(X+Y)≥ν(X)+ν(Y)。

公理8單調(diào)性：對于任意隨機變量X,Y，如果有X≤Y，則有ν(X)≤ν(Y)。

經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)，上述業(yè)績評價指標滿足以下性質(zhì)。

定理2上述6種業(yè)績評價指標中的報酬測度與風(fēng)險測度均滿足正齊次性和平移不變性。

由于定理2要證明6種業(yè)績評價指標中的報酬測度與風(fēng)險測度均滿足正齊次性和平移不變性，所以比較繁瑣，這里略去證明過程。

3Sharpe比率與RR比率的一致性

設(shè)Yi(i=1,2,…，n)為第i種投資的超額收益(即收益與無風(fēng)險收益的差)，則Yi的Sharpe比率為

若Yi屬于以X為源的位置-尺度分布族，即Yi=σiX+μi，則第i種投資的Sharpe比率為

一般可設(shè)S(Yi)≥0，否則對于風(fēng)險規(guī)避的投資者，他將不投資于這種投資。若ρ(Yi)為Yi的風(fēng)險測度，ν(Yi)為Yi的報酬測度，且兩者滿足正齊次性，則有以下結(jié)論。

定理3條件設(shè)Y1,Y2同屬以X為源的位置-尺度分布族，S(Y1)=S(Y2)，若Yi的風(fēng)險測度、報酬測度滿足正齊次性，則RR(Y1)=RR(Y2)。

定理4設(shè)Y1,Y2同屬以X為源的位置-尺度分布族，S(Y1)>S(Y2)，若Y1,Y2的風(fēng)險測度、報酬測度滿足正齊次性和平移不變性，則RR(Y1)>RR(Y2)。

定理4表明在位置-尺度分布族中根據(jù)RR比率進行的投資業(yè)績排名與用Sharpe比率的排名是一樣的，前提是只要比率中的風(fēng)險測度與報酬測度滿足正齊次性與平移不變性。根據(jù)定理2，Sortino比率、Sortino-Satchell比率、Farinelli-Tibiletti比率、Rachev比率與MAD比率均滿足正齊次性與平移不變性，故在位置-尺度分布族中根據(jù)這些比率進行的業(yè)績排名與用Sharpe比率的排名是一致的。

定理5設(shè)Y1,Y2同屬以X為源的位置-尺度分布族，Y1=σ1X+μ1，Y2=σ2X+μ2,(-a,b)為源X的支撐，且a=+∞。若Y1?SSDY2，則有S(Y1)>S(Y2)。

定理5說明在位置-尺度分布族中，當(dāng)源的支撐可抵達負無窮時，Sharpe比率與二級隨機占優(yōu)時是一致的，從而與RR比率也是一致的。

位置-尺度分布族是一大類分布族，它包括貝塔分布、極值分布、伽馬分布、Logistic分布、正態(tài)分布、t分布、均勻分布、威伯分布、拉普拉斯分布等，被廣泛應(yīng)用于描述投資收益。在位置-尺度分布族中，只要RR比率中的風(fēng)險測度與報酬測度滿足正齊次性與平移不變性,根據(jù)RR比率進行的投資業(yè)績排名與用Sharpe比率進行的排名是一致的。而根據(jù)定理2，上述6種比率均滿足正齊次性與平移不變性，加之位置-尺度分布族被廣泛用于描述投資收益，故在位置-尺度分布族中使用Sharpe比率作為基金業(yè)績評價指標是一種比較好的選擇。

[參考文獻]

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責(zé)任編輯：陳亮

Consistency of Sharpe Ratio with RR Ratio

WEN Ping，JIA Daming

(School of Sciences and Chemical Engineering,Changzhou Institute of Technology,Changzhou 213002)

Abstract：This paper demonstrates that in location-scale families,as long as the risk measure and reward measure in RR ratio measure satisfy positive homogeneity and translation invariance,the investment performance rankings by RR ratio are consistent with the rankings by Sharpe ratio.The results show the risk measure and the reward measure of RR ratio meet positive homogeneity and translation invariance,so Sharpe ratio as a performance evaluation index is regarded as a good choice in location-scale families.

Key words：Sharpe ratio;RR ratio;location-scate families;measurement

中圖分類號：O211.9

文獻標志碼：A

文章編號：1671- 0436(2016)01- 0001- 05

作者簡介：文平(1967—)，男，碩士，教授。

基金項目：國家自然科學(xué)基金(71261024)

收稿日期：2015- 08-24

doi:10.3969/j.issn.1671-0436.2016.01.001