謝斌,陳震,呂洪善

(亳州職業(yè)技術學院，安徽亳州236800)

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基于進給速度自適應控制的NURBS曲線智能插補的新算法

謝斌,陳震,呂洪善

(亳州職業(yè)技術學院，安徽亳州236800)

摘要：通過對NURBS曲線的特點分析和NURBS曲線插補參數(shù)值求取方法的研究，在可控弦高誤差算法的基礎上，提出了一種簡單而實用的NURBS曲線自適應插補算法。該算法充分考慮到機床的實際加工能力，對曲線段進行提前預插補，實現(xiàn)了加工進給速度自適應地隨著曲率半徑而變化，使加工運動更平滑，還避免了因加工曲線終點的判斷而帶來的復雜計算，并給出了快速求取插補點的3次 NURBS 曲線動態(tài)矩陣和曲線曲率的快速計算方法。

關鍵詞：進給速度；NURBS曲線；弦誤差；插值算法

0引言

對于一些高精度要求的復雜表面(如整體葉輪)，通常是通過研磨制造的。這些不可分割的整體零件加工需要高性能的數(shù)控系統(tǒng)，傳統(tǒng)的加工方法是采用逐線性分段逼近的方法，將輪廓曲線分段進行研磨，此種加工方法效率低，導致表面加工質(zhì)量差。

隨著先進數(shù)控系統(tǒng)的研制成功和計算機計算速度的提高，在 CAD系統(tǒng)中生成由NURBS曲線構成自由曲面，可直接進行加工。要實現(xiàn)這種方法則需要解決以下問題：一是分段直線逼近會產(chǎn)生大量NC代碼數(shù)據(jù)的記憶和傳輸；二是零件表面質(zhì)量誤差的控制[1-3]。

除了在起始和結束點外,簡單的插值算法是速度保持不變，弦誤差隨曲線曲率變化而變化，加工精度很難保證。要想控制弦誤差必須控制速度變化以及曲線的曲率變化。而機床的切向和法向加速度是由機電系統(tǒng)容量限制的,故速度不能迅速下降到弦高誤差的規(guī)定范圍內(nèi),并且弦誤差隨截面曲線的曲率變化非常大。此外，滿足所需弦誤差的機床可能不能滿足正常加速度曲率半徑很小的瞬時速度?；诳刂葡艺`差的插補算法，提出了一種自適應速度控制的智能算法。根據(jù)機床的實際加工能力，該算法采用超前分析最大減速距離所要求截面曲線的方法，無需對NURBS曲線結束點估計進行復雜計算。因此，進給速度可提前降低到與曲率制作加工運動比較平穩(wěn)的變化值。

1實時自適應插值的三維樣條曲線

1.1NURBS 定義

NURBS曲線向量值有理多項式的形式定義

(1)

式中：di是控制點,i= 0,1,…,n；wi是權重，i = 0,1,…,n；Ni,k(u)是以下符號化的歸一K階B樣條基函數(shù)。

(2)

1.2控弦誤差插補[4-5]算法

相對于t 參數(shù)u的函數(shù)表示為 u(ti)= ui，u(ti+1)=ui+1，利用泰勒展開，近似到二階導數(shù)

(3)

速度的定義為

(4)

定義采樣時間間隔TS=Ti+1-Ti，然后一階插值算法，式(4)代入式(3)，并忽略高階項，式(3)可以處理為

圖1　估計下插值點

假如u∈[ ui，ui+ 1]是由圓弧近似(如圖1所示)，其中當參數(shù)u =ui時，r為曲率半徑，當u = ui，u=ui+1時，C(ui)和C(ui+1)是插值曲線上的點。

由此產(chǎn)生弦誤差

得到的V(ui)在ε弦誤差函數(shù)為

(5)

如果ε弦高誤差和采樣時間TS不變，V(ui)跟隨曲率半徑r的變化,而機床的切線和正加速度是由機電系統(tǒng)的容量限制的。因此，在規(guī)定范圍內(nèi)曲線段的曲率，所需正常加速度引起的弦誤差非常大，將超過允許值αNmax，以及在規(guī)定范圍內(nèi)曲線部分的曲率變化率，所需的切向加速度，會使弦誤差變大，將超過允許值最大αmax，所以機床的機械特性時必須考慮進給速度自適應調(diào)整。因此，下面介紹進給速度調(diào)整的自適應算法。

1.3正常加速插值算法

正常加速度與進給速度V(ui)、曲線的曲率半徑r之間的關系[6]可表示為

最大允許的速度是

(6)

自適應調(diào)整進給速度為

(7)

在曲線部分曲率變化率非常大的地方實際切向加速度可能不滿足調(diào)整進給速度計算(式(7))，這意味著速度不能下降，在短時間內(nèi)有可能導致過切現(xiàn)象。這些問題可以通過以下的算法來解決。

1.4控制切線加速度插值算法

給定最大加速度αmax，相應的進給速度是Vmax。如果實際情況以αmax進行減速，從速度Vmax到0的減速距離sm為

因此，多種采樣插值曲線必須提前分析以確保這些采樣插補段總長度至少等于sm。只有這樣，當前的加工段才不受后采樣差值段速度平滑性的影響。

圖2　線段軌道

如圖2所示，假設每個取樣長度內(nèi)插段為S0，S1，…，Sj，將進給速度定義為V0，V1，…，Vj，Vj + 1。

(8)

否則，V2將會極力影響到接下來的速度分析。

當u=1時到達曲線的終點，速度必須降低到V = 0，同樣必須利用式(8)進行調(diào)整。顯然，該算法避免對加工曲線結束點估計的需要。在文獻[7]，對大量的曲線長度進行動態(tài)計算會受曲線實時響應結束點估計的影響。

2動態(tài)矩陣表示NURBS曲線

當t∈〔0,1〕，定義t=(u-ui)/(ui+1-ui)=(u-ui)/▽i。

如果NURBS曲線是第3階(k=3)，則曲線與截面可以用矩陣表示為

式中0≤t≤1，i = 3，4，…，n。

擴展這個矩陣的每個術語，并定義

a=m11wi-3di-3+m12wi-2di-2+m13wi-1di-1+m14widi

b=m21wi-3di-3+m22wi-2di-2+m23wi-1di-1+m24widi

c=m31wi-3di-3+m32wi-2di-2+m33wi-1di-1+m34widi

e=m41wi-3di-3+m42wi-2di-2+m43wi-1di-1+m44widi

a1=m11wi-3+m12wi-2+m13wi-1+m14wi

b1=m21wi-3+m22wi-2+m23wi-1+m24wi

c1=m31wi-3+m32wi-2+m33wi-1+m34wi

e1=m41wi-3+m42wi-2+m43wi-1+m44wi

然后

假定控制點的di和權重wi是已知的，Mi是節(jié)點矢量u僅有相關矩陣并可以在曲線與截面的插值計算得到。

因此，在插值當中只有參數(shù)t的增量△t需要計算，這就大大提高了計算速度。

3算法的軟件實現(xiàn)

在曲線的起始部分，分別應用梯形或S形曲線的加速方法和算法。比較了2種方法所計算的速度，采用了最小速度，并將所提出的算法單獨應用要比前者速度快。

為了避免花太多由式(8)調(diào)整進給速度的時間，在這一過程中，要求對方根進行頻繁而繁瑣的計算，進給速度的平方是被記憶的不同于預插段的進給速度，進給速度的調(diào)整可以按以下方程處理。

(9)

當按照進給速度的平方計算平方根進行插補段的加工時，對每一段的進給率調(diào)整是1個只有4次加法或減法處理(2αmax可以被視為1個參數(shù))。

在遞歸計算過程，直到插補段被加工，只是速度值改變，而其他保持不變。當前的預插值點是被實際插值點代替(如圖3所示)，第1、第4和第6點是按弦誤差和最大進給速度預先計算的，第2、第3和第5是按控制切向、法向加速度實際計算得插值點。

因為任意相鄰的2個預插值點之間的速度必須滿足以下不等式

圖3　NURBS曲線插值點

任意相鄰的2個實際插值點之間的速度也必須滿足上述要求。

第2、第3和第5點進給速度可以由以下式得出，即

V2=(V1+V4)/2

V3=(V2+V4)/2

V5=(V4+V6)/2

最后，計算了參數(shù)的增量值和實際插值點。

4實驗

為了驗證提出的方法，整個過程是由基于DSP運動控制卡完成的。工藝參數(shù)分別如下：最大進給速度為6 m/min；起始速度為0.5 m/min；在進給方向的最大加速度9.8 m2/ s；法向加速度為0.98 m2/s；插補時間間隔TS為2 ms；刀具半徑為3 mm；輪廓誤差是2 μm。

圖4顯示了NURBS曲線及其控制點，圖5顯示了它的曲率半徑。

在某些領域，加速或減速超過給定值如圖6所示。

調(diào)整后的插值算法控制切向、法向加速度如圖7所示，進給速度和進給加減速度的變化都在數(shù)控系統(tǒng)參數(shù)的范圍內(nèi)。

圖8為加工NURBS曲面，圖9為加工NURBS曲面的橫截面。

圖4　NURBS曲線控制點

圖5　NURBS曲線的曲率半徑

圖6　控弦誤差插補算法調(diào)整后的進給速度

圖7　速度調(diào)整后切線和法線加速度控制

圖8　NURBS曲面的加工

圖9　加工曲面的截面

5結論

NURBS曲線插補對于高速、高精度加工系統(tǒng)的重要性已經(jīng)備受關注。盡管按所提出的算法花費的時間遠遠超過了由恒定進給率算法的時間，但卻具有如下優(yōu)點：①充分考慮了機床的實際容量；②能夠控制輪廓誤差；③使機器工具的運動相當平穩(wěn)；④改善了工件表面質(zhì)量。

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責任編輯：陳亮

A New Intelligent Interpolation Algorithm for NURBS Curve Based on Adaptive Control of Feed Rate

XIE Bin，CHEN Zhen，LYU Hongshan

(Bozhou Vocational and Technical College,Bozhou 236800)

Abstract：Based on the calculation method of characteristic analysis and NURBS curve interpolation parameters on the NURBS curve and the controllable chord error algorithm,the article proposed a simple and practical self-adaptive interpolation algorithm for NURBS curve.The algorithm fully took into account the actual machining ability of curve by pre interpolation,and according to the maximum number of interpolation cycle for pre interpolation deceleration,the feed speed could slow down in advance and make machining feed rate adaptively change with the radius of curvature change rate,which made the machining movement more smooth and avoided the complex calculation required of determining the endpoint of curve.At last,the article gave a fast calculation method for computing three NURBS curve of dynamic matrix representation of interpolation points and curvature.

Key words：feed rate;NURBS curve;string error;interpolation algorithm

中圖分類號：TG659

文獻標志碼：A

文章編號：1671- 0436(2016)01- 0025- 06

作者簡介：謝斌(1973—)，男，碩士，講師。

基金項目：安徽省教育廳高等學校省級質(zhì)量工程項目(2013jyxm372，2013zy177)；安徽省教育廳、財政廳高校省級自然科學研究項目(KJ2014A170)

收稿日期：2015-12-30

doi:10.3969/j.issn.1671-0436.2016.01.006