楊波　劉玉清

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)（2011年版）》）在第一部分“前言”中指出：“模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑.”《課標(biāo)（2011年版）》修訂小組組長(zhǎng)史寧中教授反復(fù)強(qiáng)調(diào)：數(shù)學(xué)模型是溝通數(shù)學(xué)與外部世界的橋梁，模型思想是數(shù)學(xué)的基本思想之一.

仔細(xì)分析各地中考數(shù)學(xué)試卷中的應(yīng)用問(wèn)題可以發(fā)現(xiàn)，解題的關(guān)鍵是正確建立數(shù)學(xué)模型.下面結(jié)合具體題目（所選例題均為2015年各地的中考題），歸納出中考題中常見(jiàn)的數(shù)學(xué)模型.1方程（組）模型

例1（福建福州）有48支隊(duì)520名運(yùn)動(dòng)員參加籃球、排球比賽，其中每支籃球隊(duì)10人，每支排球隊(duì)12人，每名運(yùn)動(dòng)員只能參加一項(xiàng)比賽，籃球、排球隊(duì)各有多少支參賽？

分析本題是一道實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，解答的關(guān)鍵就是根據(jù)問(wèn)題給出的數(shù)量關(guān)系建立方程模型或方程組模型.

解設(shè)籃球隊(duì)有x支，則排球隊(duì)有（48-x）支，依題意，得

10x+12（48-x）=520，解得x=28，48-x=48-28=20.

答：籃球、排球隊(duì)各有28支與20支.

點(diǎn)評(píng)《課標(biāo)（2011年版）》在有關(guān)方程的課程內(nèi)容中指出“能根據(jù)具體問(wèn)題中的數(shù)學(xué)關(guān)系列出方程，體會(huì)方程是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效模型.”在我們的現(xiàn)實(shí)生活中存在著大量的等量關(guān)系，因而方程（組）模型便成為研究現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的最基本、最常用的數(shù)學(xué)模型之一.它可以幫助我們從數(shù)量關(guān)系的角度更準(zhǔn)確、清晰的認(rèn)識(shí)、描述和把握現(xiàn)實(shí)世界.最近幾年常選擇與我們生產(chǎn)、生活密切相關(guān)的問(wèn)題（如行程問(wèn)題、利潤(rùn)問(wèn)題、打折銷售等問(wèn)題）作為方程（組）模型的“源”材料，以此考查學(xué)生通過(guò)建立方程（組）模型，進(jìn)而解答實(shí)際問(wèn)題的能力.2不等式（組）模型

例2（山東萊蕪）為打造“書(shū)香校園”，某學(xué)校計(jì)劃用不超過(guò)1900本科技類書(shū)籍和1620本人文類書(shū)籍，組建中、小型兩類圖書(shū)角共30個(gè).已知組建一個(gè)中型圖書(shū)角需科技類書(shū)籍80本，人文類書(shū)籍50本；組建一個(gè)小型圖書(shū)角需科技類書(shū)籍30本，人文類書(shū)籍60本.

（1）問(wèn)符合題意的組建方案有幾種？請(qǐng)你幫學(xué)校設(shè)計(jì)出來(lái)；

（2）若組建一個(gè)中型圖書(shū)角的費(fèi)用是860元，組建一個(gè)小型圖書(shū)角的費(fèi)用是570元，試說(shuō)明在（1）中哪種方案費(fèi)用最低？最低費(fèi)用是多少元？

分析（1）設(shè)組建中型圖書(shū)角x個(gè)，則組建小型圖書(shū)角為（30-x）個(gè)；根據(jù)不等關(guān)系：①科技類書(shū)籍不超過(guò)1900本；②人文類書(shū)籍不超過(guò)1620本.列不等式組，進(jìn)行求解；

（2）此題有兩種方法：

點(diǎn)評(píng)本題主要考查學(xué)生通過(guò)建立不等式組模型解答實(shí)際問(wèn)題的能力.類似這樣的考題，除考查了學(xué)生建立不等式（組）模型解答問(wèn)題的能力外，還有利于對(duì)學(xué)生進(jìn)行“優(yōu)化思想”的熏陶，對(duì)于形成學(xué)生“精打細(xì)算”的節(jié)約品質(zhì)也是有益的.3函數(shù)模型

例3（湖南衡陽(yáng)）某藥品研究所開(kāi)發(fā)一種抗菌新藥，經(jīng)多年動(dòng)物實(shí)驗(yàn)，首次用于臨床人體實(shí)驗(yàn).測(cè)得成人服藥后血液中藥物深度y（微克/毫升）與服藥時(shí)間x小時(shí)之間的函數(shù)關(guān)系如圖1所示（當(dāng)4≤x≤10時(shí)，y與x成反比）.

（1）根據(jù)圖象分別求出血液中藥物濃度上升和下降階段y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）問(wèn)血液中藥物濃度不低于4微克/毫升的持續(xù)時(shí)間為多少小時(shí)？

分析（1）上升階段是正比例函數(shù)，設(shè)y=kx，把（4，8）代人即可.下降階段設(shè)y=mx.把（4，8）代人即可.（2）在上升和下降階段同時(shí)滿足y≥4，解關(guān)于x的不等式組.

解（1）由圖象可知，當(dāng)0≤x≤4時(shí)，y與x成正比例關(guān)系，設(shè)y=kx.

點(diǎn)評(píng)函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要概念，其內(nèi)容無(wú)處不在.因此給定一個(gè)問(wèn)題情境，讓學(xué)生列出函數(shù)關(guān)系式是一種常見(jiàn)的題型，解答這種問(wèn)題首先要找出自變量與函數(shù)存在的等量關(guān)系，然后建立函數(shù)模型，根據(jù)這個(gè)模型由自變量的值可求函數(shù)值，也可由函數(shù)值求出自變量的值.

本題以抗菌新藥品的試驗(yàn)問(wèn)題為背景，考查了學(xué)生用待定系數(shù)法求正比例函數(shù)和反比例函數(shù)解析式的能力以及根據(jù)解析式解答實(shí)際問(wèn)題的能力，解答的關(guān)鍵在于建立函數(shù)模型.4幾何模型（或三角模型）

例4（浙江紹興）如圖2，從地面上的點(diǎn)A看一山坡上的電線桿PQ，測(cè)得桿頂端點(diǎn)P的仰角是45°，向前走6m到達(dá)B點(diǎn)，測(cè)得桿頂端點(diǎn)P和桿底端點(diǎn)Q的仰角分別是60°和30°

點(diǎn)評(píng)此題主要考查學(xué)生通過(guò)解直角三角形達(dá)到解決實(shí)際問(wèn)題的能力，解答的關(guān)鍵首先在于把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形的問(wèn)題，然后加以計(jì)算.觀察圖形可發(fā)現(xiàn)，通過(guò)添加輔助線把要求的電線桿PQ的高度轉(zhuǎn)化為兩條線段長(zhǎng)度之差的問(wèn)題.因此，根據(jù)給定的條件建立三角模型，然后通過(guò)解三角形分別求出這兩條線段的長(zhǎng)，從而求得答案.從解答的過(guò)程看，根據(jù)條件通過(guò)添加輔助線構(gòu)造三角模型是解題的關(guān)鍵.5統(tǒng)計(jì)模型

例5（河南）為了了解市民“獲取新聞的最主要途徑”，某市記者開(kāi)展了一次抽樣調(diào)查，根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如圖3所示的尚不完整的統(tǒng)計(jì)圖.

根據(jù)以上信息解答下列問(wèn)題：

（1）這次接受調(diào)查的市民總?cè)藬?shù)是；

（2）扇形統(tǒng)計(jì)圖中，“電視”所對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù)是；

（3）請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；

（4）若該市約有80萬(wàn)人，請(qǐng)你估計(jì)其中將“電腦和手機(jī)上網(wǎng)”作為“獲取新聞的最主要途徑”的總?cè)藬?shù).

分析（1）從條形統(tǒng)計(jì)圖中得到“手機(jī)上網(wǎng)”的人數(shù)，從扇形統(tǒng)計(jì)圖得到“手機(jī)上網(wǎng)”所占的百分比，相除即可得到本次調(diào)查的市名總?cè)藬?shù).（2）根據(jù)扇形統(tǒng)計(jì)圖可得：電腦上網(wǎng)、其他、報(bào)紙和手機(jī)上網(wǎng)各項(xiàng)所占的百分比從而求得用“電視”獲取新聞的最主要途徑所占的百分比，再乘以360°即可求解.（3）由扇形統(tǒng)計(jì)圖可得用“報(bào)紙”獲取新聞的途徑所占的百分比，再乘以總?cè)藬?shù)即可求解.（4）先求得將“電腦和手機(jī)上網(wǎng)”作為“獲取新聞的最主要途徑”所占的百分比，再乘以該市的人數(shù)即可求解.

解（1）1000.（2）54°.

（3）用“報(bào)紙”獲取新聞的途徑的人數(shù)為：10%×1000=100，補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖（略）.

（4）解：80×10000×（26%+40%）=528000（人）.

點(diǎn)評(píng)統(tǒng)計(jì)主要是通過(guò)對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)據(jù)進(jìn)行收集、整理、描述和分析，來(lái)幫助人們作出合理的決策.現(xiàn)實(shí)生活中的許多問(wèn)題（如公司招聘、人口統(tǒng)計(jì)、財(cái)務(wù)管理等實(shí)際問(wèn)題）都可以通過(guò)建立統(tǒng)計(jì)模型加以解決.

本題素材選自具體的生活問(wèn)題，主要考查學(xué)生通過(guò)建立統(tǒng)計(jì)模型對(duì)調(diào)查結(jié)果進(jìn)行分析與推斷的能力.本題一方面考查了學(xué)生對(duì)扇形統(tǒng)計(jì)圖和條形統(tǒng)計(jì)圖的理解和應(yīng)用；另一方面考查了學(xué)生用樣本估計(jì)總體的思想方法.6概率模型

例6（山東青島）小穎和小麗做“摸球”游戲：在一個(gè)不透明的袋子中裝有編號(hào)為1—4的四個(gè)球（除編號(hào)外都相同），從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下數(shù)字后放回，再?gòu)闹忻鲆粋€(gè)球，記下數(shù)字.若兩次數(shù)字之和大于5，則小穎勝，否則小麗勝.這個(gè)游戲?qū)﹄p方公平嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

由上表可知，共有16種等可能結(jié)果，其中大于5的有共有6種.

P（數(shù)字之和>5）=616=38，因?yàn)?8≠12，所以不公平.

點(diǎn)評(píng)概率在社會(huì)生活、現(xiàn)實(shí)生活及科學(xué)領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用.我們經(jīng)常遇到的游戲公平性的問(wèn)題、彩票的中獎(jiǎng)情況等都可以通過(guò)建立概率模型來(lái)解決.本題考查學(xué)生對(duì)游戲的公平性進(jìn)行判斷的能力，判斷一個(gè)游戲是否公平，首先要計(jì)算出游戲雙方獲勝的概率，然后通過(guò)比較概率的大小得到結(jié)果.學(xué)生在解答類似問(wèn)題的同時(shí)也學(xué)會(huì)了用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行說(shuō)理的方法，這對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力是大有幫助的，這種“以理服人”的好習(xí)慣、好品質(zhì)正是我們進(jìn)行數(shù)學(xué)教育所希望的.

數(shù)學(xué)已經(jīng)滲透到生活的各個(gè)領(lǐng)域，與之相關(guān)的問(wèn)題涉及到生活的方方面面，通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型解答這些與我們生活有關(guān)的問(wèn)題是學(xué)生必備的一種素質(zhì)，這也成為中考命題者注意的一個(gè)方向.因?yàn)?，學(xué)生在建立數(shù)學(xué)模型解答它們時(shí)，除必須全面掌握數(shù)學(xué)知識(shí)外，還要具有豐富的生活常識(shí)和較強(qiáng)的閱讀理解能力，以及將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的數(shù)學(xué)建模能力，這樣的問(wèn)題具有把學(xué)習(xí)知識(shí)、應(yīng)用知識(shí)、探索發(fā)現(xiàn)、培養(yǎng)良好的科學(xué)態(tài)度與思維品質(zhì)等很好地結(jié)合起來(lái)的“效能”，能“誘發(fā)”學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的形成，體現(xiàn)了《課標(biāo)（2011年版）》的基本理念和課程目標(biāo).這就要求我們?cè)诮虒W(xué)中應(yīng)結(jié)合具體的課程內(nèi)容，精心創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，充分體現(xiàn)“問(wèn)題情境—建立模型—求解驗(yàn)證”的教材編排體系.