以往求解線段（線段和）的最值問(wèn)題，常用的解題方法是將所求線段進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換，或者通過(guò)圖形變換，將所求問(wèn)題變成要么求兩個(gè)定點(diǎn)之間的距離，要么轉(zhuǎn)化成定點(diǎn)到直線的距離.但是新近出現(xiàn)一些線段最值問(wèn)題，盡管解決問(wèn)題的依據(jù)還是一樣，但是學(xué)生碰到這些問(wèn)題往往束手無(wú)策，成為幾何難題.筆者為此作了一些研究與總結(jié)，現(xiàn)與大家共享.1構(gòu)造斜三角形模型

例1如圖1，直角扇形ODE中，∠DOE=90°，OD=12，△ABC是扇形內(nèi)接三角形，其中A、B、C分別在弧DE，半徑OE、OD上，∠ACB=90°，AC∶BC=2∶3，求線段AC的最小值.

分析學(xué)生見(jiàn)到∠ACB=∠COB=90°，想到構(gòu)造直角相似三角形，即作AH⊥OD于H，如圖1，運(yùn)用△ACH∽△COB，結(jié)果無(wú)功而返.其實(shí)，因?yàn)锳C∶BC=2∶3，當(dāng)AC變化時(shí)，BC也隨之變換.如果抓住OA是扇形的半徑這個(gè)不變量，聯(lián)想直角三角形中的常用輔助線即斜邊上的中線，嘗試取BC的中點(diǎn)M，如圖2，連結(jié)OM、AM，構(gòu)造斜三角形AOM，運(yùn)用AM+OM≥OA，當(dāng)且僅當(dāng)A、M、O三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，這樣問(wèn)題迎刃而解.

評(píng)注本題是屬于雙動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，難點(diǎn)是A、C兩點(diǎn)都是動(dòng)點(diǎn)，關(guān)鍵是找出與AC關(guān)聯(lián)的兩條線段OM、AM，通過(guò)添三條輔助線，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化到一個(gè)斜三角形中，這是一般學(xué)生很難想到的.在圖2中，學(xué)生可能還會(huì)想到斜三角形AOC，但是OC與AC不關(guān)聯(lián)，問(wèn)題也會(huì)陷入困境，因此構(gòu)造合適的斜三角形至關(guān)重要.

例2如圖3，已知拋物線y=-49（x-1）（x-7）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，對(duì)稱軸與拋物線交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)D，圓C的半徑為2，G為圓C上的一動(dòng)點(diǎn)，P為AG的中點(diǎn)，則DP的最大值為（）.

A.72B.352C.23D.412

分析G為圓C上的一動(dòng)點(diǎn)，學(xué)生的直覺(jué)是當(dāng)直線AG與圓C相切時(shí)，DP取到最大值，顯然這是錯(cuò)誤的.如圖4，因?yàn)橹本€CD⊥x軸，這樣就得到直角三角形ACD，又有“P為AG的中點(diǎn)”這個(gè)重要信息，自然聯(lián)想到“三角形中位線”及“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”兩個(gè)定理，從而構(gòu)造出斜三角形PDM，再利用DP≤PM+DM，求解問(wèn)題.

評(píng)注本題還有另外構(gòu)造斜三角形的方法，如圖5，具體解法留給讀者思考.縱觀例1、例2的解題思路，解題依據(jù)都是利用“兩點(diǎn)之間線段最短”這一基本事實(shí)，但是當(dāng)問(wèn)題的條件與這一事實(shí)的聯(lián)系不是十分明了時(shí)，通過(guò)構(gòu)造出斜三角形的模型，才是有效的解題策略.但是構(gòu)造斜三角形往往需要添多條輔助線，使問(wèn)題增加了難度，不易解決.2構(gòu)造直角三角形模型

例3如圖6，有一張△ABC紙片，AC=8，∠C=30°，點(diǎn)E在AC邊上，點(diǎn)D在AB邊上，沿著DE對(duì)折，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F處，則CE的最大值為（）.

A.83B.163C.4D.43

分析學(xué)生在做這個(gè)題目時(shí)，許多選的答案是C，因?yàn)閼{經(jīng)驗(yàn)，使動(dòng)點(diǎn)E處在特殊位置即AC邊的中點(diǎn)，其實(shí)他們沒(méi)有抓住“∠C=30°”這個(gè)關(guān)鍵題設(shè).我們知道，幾何問(wèn)題中出現(xiàn)30°條件，往往要構(gòu)造直角三角形，再利用直角三角形的性質(zhì).因此，本題可以嘗試構(gòu)造直角三角形.作EH⊥BC于H，設(shè)CE=x，在直角三角形EFH中，EH=12x，EF=8-x，因?yàn)镋H≤EF，得不等式12x≤8-x，解得x≤163.

評(píng)注本題解決過(guò)程中的難點(diǎn)有兩個(gè)，一是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化到一個(gè)直角三角形中，二是利用直角三角形兩邊之間的數(shù)量關(guān)系建立不等式.本題也可以通過(guò)構(gòu)造斜三角形求解，如圖6，連結(jié)EF，在△CEF中，由正弦定理，得，CEsin∠EFC=EFsin∠C，則sin∠EFC=CEsin∠CEF，因?yàn)閟in∠EFC≤1，同樣可以解得x≤163，但是對(duì)初中生來(lái)說(shuō)，這個(gè)解法就超出了他們的知識(shí)范疇.

例4已知點(diǎn)D與點(diǎn)A（8，0），B（0，6），C（a，-a）是一平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，則CD長(zhǎng)的最小值為.

分析由題意，首先對(duì)CD進(jìn)行分類.當(dāng)CD作為平行四邊形的邊時(shí)，易得CD=AB=10；當(dāng)CD作為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，如圖7，顯然CD=2PC.等式的左邊的點(diǎn)C、點(diǎn)D均為動(dòng)點(diǎn)，而右邊的點(diǎn)P為定點(diǎn)，這樣將雙動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，要求CD的最小值可轉(zhuǎn)化為求PC的最小值，從而自然構(gòu)造直角三角形PCH，利用“點(diǎn)到直線距離垂線段最短”這個(gè)常用性質(zhì)，求出PH的長(zhǎng)度即可.

評(píng)注本題是利用線段之間的數(shù)量關(guān)系，將雙動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題化為單動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，再運(yùn)用“垂線段最短”求解.縱觀例3、例4，共同點(diǎn)都是構(gòu)造直角三角形模型，關(guān)鍵是將動(dòng)線段與動(dòng)線段或者動(dòng)線段與定線段轉(zhuǎn)化到同一直角三角形中.3構(gòu)造相似三角形模型

例5如圖8，已知點(diǎn)P是邊長(zhǎng)為63的正△ABC的內(nèi)切圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).求BP+12PC的最小值.

分析解決問(wèn)題的難點(diǎn)是構(gòu)造出一條線段PM，使PM=12PC，且點(diǎn)M是定點(diǎn).連接OP，由題意得，OP=12OC，則PMPC=OPOC，由此想到構(gòu)造△POM∽△COP.接下來(lái)的解題過(guò)程為：在OC上取點(diǎn)M，使OM=14OC，這樣OMOP=OPOC=12，又因?yàn)椤螾OM=∠COP，所以△POM∽△COP.于是，PMPC=OPOC=12，可得，PM=12PC.這樣，BP+12PC=BP+PM，即BM的長(zhǎng)就是BP+12PC的最小值.

例6如圖9，已知點(diǎn)A（-4，0），P（t，0）（t>0），在第一象限作正方形OPQR，過(guò)A、P、Q三點(diǎn)作⊙B，連結(jié)OQ，作CQ⊥OQ交圓于點(diǎn)C，連結(jié)OB，AQ.

（1）求證：∠CQP=∠AOQ.

（2）CQ的長(zhǎng)度是否隨著t的變化而變化，如果變化，請(qǐng)用t的代數(shù)式表示CQ的長(zhǎng)度；如果不變，求出CQ的長(zhǎng).

（3）①當(dāng)tan∠AQO=12時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；②D點(diǎn)是⊙B上的任意一點(diǎn)，求CD+5OD的最小值.

分析（1）證明略.

（2）CQ=22（過(guò)程略）.

（3）①點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4）（過(guò)程略）；②當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4）時(shí)，可求得AQ=210，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1，1），從而求得BD=10，OB=2.現(xiàn)在解決問(wèn)題的難點(diǎn)是構(gòu)造出一條線段DF，使DF=5OD，且點(diǎn)F是定點(diǎn).于是想到構(gòu)造△DBO∽△FBD，如圖10，因?yàn)椤鱀BO∽△FBD，所以，DFOD=BDOB=BFBD=5，則BF=52，結(jié)合B的坐標(biāo)為（-1，1），求出點(diǎn)F的坐標(biāo)為（-4，4）.根據(jù)CD+5OD=CD+DF≥CF，最終求得CD+5OD的最小值為45.

評(píng)注通過(guò)例5、例6示例，對(duì)于“AP+mPB”（其中點(diǎn)A、點(diǎn)B是定點(diǎn)，點(diǎn)P是動(dòng)點(diǎn)，m是常數(shù)）型的線段最值問(wèn)題，關(guān)鍵是通過(guò)構(gòu)造相似三角形，將“mPB”轉(zhuǎn)化成線段“PC”（點(diǎn)C是新求出的一個(gè)定點(diǎn)），然后用“兩點(diǎn)之間線段最短”這個(gè)基本事實(shí)求解.

作者簡(jiǎn)介陳明儒，男，浙江舟山人，中學(xué)高級(jí)教師，寧波市名師.曾獲市教壇新秀一等獎(jiǎng)，省優(yōu)質(zhì)課二等獎(jiǎng).尤其擅長(zhǎng)優(yōu)等生的培養(yǎng)，有近百人在全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽中獲一、二、三等獎(jiǎng)，并多次獲浙江省初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽優(yōu)秀指導(dǎo)教師稱號(hào).專注于課堂教學(xué)研究，有40多篇文章在省級(jí)及以上刊物上發(fā)表.