劉華為

對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的平行四邊形（頂點(diǎn)字母順序非給定）存在性問(wèn)題，文[1]從“平行四邊形對(duì)角線(xiàn)互相平分”的性質(zhì)入手，以“哪條線(xiàn)段為對(duì)角線(xiàn)”作分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)確定所求點(diǎn)的位置，并運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求其坐標(biāo).讀后受益匪淺，也深受啟發(fā)，現(xiàn)介紹另一種處理策略，以供參考.1知識(shí)剖析

1.1如何適當(dāng)分類(lèi)圖1

問(wèn)題已知直角坐標(biāo)系中三點(diǎn)A、B、C，試確定點(diǎn)D使以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.

眾所周知，符合條件的點(diǎn)D有三個(gè)，如圖1所示.至于如何分類(lèi)并確定點(diǎn)D位置，除了文[1]介紹的“對(duì)角線(xiàn)劃分法”外，還可以哪兩邊為鄰邊來(lái)分類(lèi)（如以BA與BC為鄰邊得ABCD1、以AB與AC為鄰邊得ABD2C、以CA與CB為鄰邊得BCAD3）；或以哪個(gè)角為內(nèi)角來(lái)分類(lèi)（如以∠ABC為內(nèi)角得ABCD1、以∠BAC為內(nèi)角得ABD2C、以∠ACB為內(nèi)角得BCAD3）；另外也可以頂點(diǎn)字母順序分類(lèi)，如ABCD1、ABD2C和BCAD3.

事實(shí)上，若以連接某兩點(diǎn)的線(xiàn)段的類(lèi)型（邊或?qū)蔷€(xiàn)）來(lái)分類(lèi)操作性更強(qiáng).如以線(xiàn)段AB為例，當(dāng)AB為平行四邊形的邊時(shí)，將其向右平移，當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)C重合時(shí)得ABCD1，當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)C重合時(shí)得ABD2C；若AB為對(duì)角線(xiàn)，取其中點(diǎn)E，連接CE并倍長(zhǎng)得BCAD3.

1.2如何求點(diǎn)坐標(biāo)

設(shè)A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)分別為（xA，yA）、（xB，yB）、（xC，yC），點(diǎn)Di的坐標(biāo)為（xi，yi）（i=1，2，3），由平移的性質(zhì)可知平移前后對(duì)應(yīng)點(diǎn)在水平和豎直方向上平移的距離是相等的.所以對(duì)于D1，則有x1-xA=xC-xB且y1-yA=yC-yB；對(duì)于D2，則有x2-xB=xC-xA且y2-yB=yC-yA；對(duì)于點(diǎn)D3，則有x3-xA=xB-xC且y3-yA=yB-yC.運(yùn)用上述方程（組）求對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)顯然有化繁為簡(jiǎn)化難為易之妙.2例題解析

2.1三定一動(dòng)型圖2

例1（2012年齊齊哈爾市）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，已知Rt△AOB的兩條直角邊OA、OB分別在y軸和x軸上，并且OA、OB的長(zhǎng)分別是方程x2-7x+12=0的兩根（OA

（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo).

（2）求當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ與△AOB相似，并直接寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo).

（3）當(dāng)t=2時(shí)，在坐標(biāo)平面內(nèi)，是否存在點(diǎn)M，使以A、P、Q、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

簡(jiǎn)析（1）A（0，3）、B（4，0）；（2）當(dāng)△APQ∽△AOB時(shí)，t=1511，Q（2011，1811）；當(dāng)△APQ∽△ABO時(shí)，t=2513，Q（1213，3013）；

（3）顯然當(dāng)t=2時(shí)，點(diǎn)P、Q坐標(biāo)分別為（0，1）、（45，125）.設(shè)M的坐標(biāo)為（m，n），

當(dāng)AP為邊時(shí)（如圖2），對(duì)于A(yíng)PM1Q可視作把AP平移至QM1（點(diǎn)A與Q重合）而得，則m-0=45-0且n-1=125-3，得m=45，n=25；對(duì)于A(yíng)PQM2可視作把AP平移至QM2（A與M2重合）處而得，則m-0=45-0且n-3=125-1，得m=45，n=225；

當(dāng)AP為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，對(duì)于A(yíng)QPM3可視作把AQ平移至M3P（點(diǎn)A與M3重合）所得，則m-0=0-45且n-3=1-125，得m=-45，n=85.

故滿(mǎn)足題意的點(diǎn)M共有三個(gè)，分別為M1（45，25）、M2（45，225）和M3（-45，85）.

2.2兩定兩動(dòng)型圖3

例2（2015年荊門(mén)市）如圖3，在矩形OABC中，OA=5，AB=4，點(diǎn)D為邊AB上一點(diǎn)，將△BCD沿直線(xiàn)CD折疊，使點(diǎn)B恰好落在邊OA上的點(diǎn)E處，分別以O(shè)C，OA所在的直線(xiàn)為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系.

（1）求OE的長(zhǎng)及經(jīng)過(guò)O，D，C三點(diǎn)拋物線(xiàn)的解析式；

（2）一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿CB以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從E點(diǎn)出發(fā)，沿EC以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，DP=DQ；

（3）若點(diǎn)N在（1）中拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，點(diǎn)M在拋物線(xiàn)上，是否存在這樣的點(diǎn)M與點(diǎn)N，使M，N，C，E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出M點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

簡(jiǎn)析（1）OE=3、y=43x2+163x；（2）t=53；

（3）由于點(diǎn)C、E是定點(diǎn)，M、N為待定點(diǎn)，所以應(yīng)以線(xiàn)段CE為分類(lèi)對(duì)象，設(shè)M的橫坐標(biāo)為m.

當(dāng)CE為平行四邊形對(duì)角線(xiàn)時(shí)，由于拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸直線(xiàn)x=-2平分CE，所以M必為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)（-2，-163）；圖4

當(dāng)CE為平行四邊形的邊時(shí)，則所求平行四邊形一定是把CE沿某一方向平移而得，顯然向下平移無(wú)法找到符合條件的平行四邊形，故只能向上平移.若把點(diǎn)C平移到對(duì)稱(chēng)軸直線(xiàn)x=-2上（點(diǎn)E在拋物線(xiàn)上），則得CEMN（如圖4）.此時(shí)m-0=-2-（-4），即m=2，代入拋物線(xiàn)解析式求得M（2，16）；若把點(diǎn)E平移到對(duì)稱(chēng)軸直線(xiàn)x=-2上（點(diǎn)C在拋物線(xiàn)上），則得ECMN.此時(shí)m-（-4）=-2-0，即m=-6，代入拋物線(xiàn)解析式求得M（-6，16）.

與文[1]相比，本處理策略有兩大優(yōu)勢(shì)：其一便于作圖.不僅在已知三點(diǎn)時(shí)能準(zhǔn)確確定第四點(diǎn)的位置，而且在已知兩定點(diǎn)情形下也能運(yùn)用自如，更凸顯其作圖的優(yōu)越性.如例2若按文[1]的對(duì)角線(xiàn)確定法來(lái)確定兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)M、N的位置就比較棘手了，但以CE為邊或?qū)蔷€(xiàn)分類(lèi)，對(duì)應(yīng)圖形一目了然.其二便于求點(diǎn)的坐標(biāo).根據(jù)平移性質(zhì)可直接列出關(guān)于平行四邊形四個(gè)頂點(diǎn)橫縱坐標(biāo)的方程（組），不需要借助于中點(diǎn)坐標(biāo)公式（應(yīng)當(dāng)指出的是，中點(diǎn)坐標(biāo)公式是高中學(xué)習(xí)內(nèi)容，此處運(yùn)用屬于超綱要求）或其他知識(shí).因此，不僅計(jì)算量銳減，而且難度也大大降低，可謂一舉多得！

參考文獻(xiàn)

[1]胡柳青.平行四邊形存在性問(wèn)題的解題策略[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2015（12）：40-42