廣東省廣州市花都區(qū)廣播電視大學(xué) 廣東省廣州市花都區(qū)經(jīng)濟(jì)貿(mào)易職業(yè)技術(shù)學(xué)校 賴景東

高等數(shù)學(xué)解題應(yīng)用構(gòu)造函數(shù)法的分析

廣東省廣州市花都區(qū)廣播電視大學(xué) 廣東省廣州市花都區(qū)經(jīng)濟(jì)貿(mào)易職業(yè)技術(shù)學(xué)校 賴景東

在高等函數(shù)中，應(yīng)用構(gòu)造函數(shù)法解題是一種重要的解題方法，本文對(duì)構(gòu)造函數(shù)的常用方法及其在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用進(jìn)行了分析，以證明等式、不等式、微分求解、函數(shù)方程的根及函數(shù)極限等方面作為重點(diǎn)，對(duì)構(gòu)造函數(shù)法進(jìn)行了全面的論述。

構(gòu)造；拉格朗日中值定理；函數(shù)方程；等式

構(gòu)造函數(shù)法，是一種特殊的方法。主要用來(lái)在創(chuàng)建對(duì)象時(shí)初始化對(duì)象，即為對(duì)象成員變量賦初始值，也是高等函數(shù)中的一種重要思想，它涵蓋了高等數(shù)學(xué)的各個(gè)方面，下面我們舉例分析。

一、拉格朗日中值定理

分析法指的是通過(guò)對(duì)結(jié)果一步一步地倒推，構(gòu)造輔助函數(shù)，幫助分析，最終通過(guò)對(duì)重新構(gòu)造函數(shù)的分析證明得出結(jié)論的過(guò)程。

拉格朗日中值定理的證明：輔助函數(shù)法：

已知f（x）在ab閉區(qū)間內(nèi)連續(xù)，開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，然后構(gòu)造輔助函數(shù)g（x），代入（a，g（a）），（b，g（b）），可以得到，g（a）=g（b）=f（a），有因?yàn)閒（x）在閉區(qū)間內(nèi)連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間可導(dǎo)，所以，根據(jù)羅爾定理可以證明拉格朗日中值定理的存在性，代入后進(jìn)行化簡(jiǎn)和移項(xiàng)可證明定理存在。

［注：微分學(xué)中的基本定理之一的拉格朗日中值定理又名拉氏定理，它反映了可導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)的局部變化率與閉區(qū)間上的整體的平均變化率的關(guān)系。羅爾中值定理的推廣式，同時(shí)柯西中值定理的特殊情形也是拉格朗日中值定理，它還是泰勒公式的弱形式（一階展開(kāi)），在大多數(shù)不等式證明以及部分微分題中，此原理都有廣泛運(yùn)用。］

二、證明不等式

1.通過(guò)單調(diào)性證明不等式的存在性

單調(diào)性是指，在一定的定義域內(nèi)，函數(shù)的增減性，它能夠準(zhǔn)確地說(shuō)明函數(shù)在定義域內(nèi)在值域上的映射變化，在解決不等式問(wèn)題時(shí)，我們可以根據(jù)增減性來(lái)判斷極值點(diǎn)的位置，進(jìn)而證明不等式的存在性。

例1：證明：當(dāng)x＞0時(shí)，x＞ln（1+x）

分析：通過(guò)觀察不等式的結(jié)構(gòu)，我們可以了解到，兩個(gè)初等函數(shù)構(gòu)成了這個(gè)不等式，因?yàn)槌醯群瘮?shù)的微分依舊是初等函數(shù)，所以我們可以想到利用做差法來(lái)構(gòu)造輔助函數(shù)，f（x）=x-ln（1+x），通過(guò)求導(dǎo)新構(gòu)造函數(shù)可以得出相應(yīng)的極值以及在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，并由此得出結(jié)論。

構(gòu)造輔助函數(shù)的方法就是做差法，它通過(guò)移項(xiàng)，做差構(gòu)造新的函數(shù)，并通過(guò)求導(dǎo)構(gòu)造的新函數(shù)證明單調(diào)性，得出極值，從而解決問(wèn)題。

2.用拉格朗日中值定理證明不等式

高等數(shù)學(xué)中，拉格朗日中值定理可以證明許多不等式題目，大多數(shù)題目在使用拉格朗日中值定理前都需要進(jìn)行化簡(jiǎn)和恒等變形，如果經(jīng)過(guò)恒等變形之后不等式符合拉格朗日中值公式的條件，就需要考慮使用公式來(lái)解決問(wèn)題。

例2：證明：當(dāng)x＞1時(shí)，ex＞ex。

分析：初步觀察不等式，看似毫無(wú)頭緒，但仔細(xì)分析后我們可以發(fā)現(xiàn)x∈（1，x'）（x'＞0）在此區(qū)間，應(yīng)用中值定理，肯定會(huì)出現(xiàn)式子ex′-e，原不等式就可以變形為ex-e＞e（x-1）=ex-e/x-1＞e，通過(guò)觀察可以發(fā)現(xiàn)不等式在變形之后滿足拉格朗日中值定理的應(yīng)用條件，于是我們?cè)趨^(qū)間內(nèi)設(shè)輔助函數(shù)f（x）=ex，由于它在區(qū)間內(nèi)滿足拉格朗日中值定理的條件，所以用拉格朗日中值定理即可證明不等式的存在。

3.用最大最小值證明

當(dāng)不等式求導(dǎo)后得到的數(shù)值在區(qū)間內(nèi)符號(hào)不同需要分段討論時(shí)較為麻煩，因此不能夠用單調(diào)性來(lái)證明，所以我們可以考慮用最值證明。

三、構(gòu)造函數(shù)求極限

構(gòu)造輔助函數(shù)能夠簡(jiǎn)化函數(shù)，對(duì)于一些較為復(fù)雜的函數(shù)，我們沒(méi)有辦法應(yīng)用現(xiàn)有知識(shí)進(jìn)行解決，因此，在解決題目的過(guò)程中遇到較為復(fù)雜的函數(shù)時(shí)，我們應(yīng)該先對(duì)現(xiàn)有函數(shù)進(jìn)行觀察，化簡(jiǎn)，在符合構(gòu)造函數(shù)條件的情況下通過(guò)構(gòu)造函數(shù)來(lái)求極限。

例3：設(shè)f（x）=1/x+1+1/x+2+…+1/x+x，求limx→∞f（x）

分析：此題的函數(shù)結(jié)構(gòu)如果用其他方式較為麻煩，而且每一項(xiàng)的格式并不相同，因此，我們考慮對(duì)每一項(xiàng)進(jìn)行變形，構(gòu)造相應(yīng)的輔助函數(shù)對(duì)其進(jìn)行統(tǒng)一和簡(jiǎn)化，再通過(guò)對(duì)黎曼積分的使用，困難程度就減輕了，因?yàn)椋和ㄟ^(guò)極限思想，我們得到了黎曼積分，所以很容易把它反用于極限的求解過(guò)程中。

結(jié)論：當(dāng)遇到較為困難且復(fù)雜的題目時(shí)，我們需要先對(duì)其構(gòu)造輔助函數(shù)，使其滿足黎曼積分的應(yīng)用條件，并易于考慮題目進(jìn)一步的計(jì)算，通過(guò)極限思想，我們得到了黎曼積分，所以很容易把它反用于極限的求解過(guò)程中，再通過(guò)運(yùn)用我們已學(xué)的有關(guān)積分知識(shí)就可求得極限值。

四、構(gòu)造函數(shù)求方程的根

解方程事實(shí)上就是使f（x）=0，就是求函數(shù)f（x）的零點(diǎn)，所以許多都要通過(guò)移項(xiàng)或簡(jiǎn)化來(lái)構(gòu)造輔助函數(shù)，使之易于解決后，再應(yīng)用相對(duì)應(yīng)的原理來(lái)解決問(wèn)題。

例4：已知f（x）在［0，1］上非負(fù)連續(xù)，且f（0）=f（1）=0，求證：對(duì)任意的實(shí)數(shù)a（0＜a＜1），必存在x0∈［0，1］，使得x0+a∈［0，1］且f（x0）=f（x0+a）。

分析：

只要能夠證f（x0）=f（x0+a），即可證f（x0）-f（x0+a）=0，構(gòu)造輔助函數(shù)F（x）=f（x）-f（x+a）使其在x0處取得的函數(shù)值為0，由此可以證明。

五、計(jì)算積分及函數(shù)值

例5：設(shè)在［0，1］上，|f''（x）|＜=M，且f（x）在（0，1）內(nèi)取得最大值，證明|f'（1）|+|f''（0）|＜=M.

f（x）在（0，1）內(nèi)取得最大值說(shuō)明存在k屬于（0，1）

使f'（k）=0

利用中值定理得f'（1）-f'（k）=（1-k）f''（a）

其中a是（k，1）中的某數(shù)

所以|f'（1）|=|（1-k）f''（a）|＜=1-k

同理可證|f'（0）|＜=k

相加即得要證的方程

六、構(gòu)造函數(shù)解決數(shù)列問(wèn)題

數(shù)列變形之后首先進(jìn)行觀察，查看數(shù)列是否符合構(gòu)造函數(shù)的條件，若符合，根據(jù)數(shù)列自身的性質(zhì)以及形態(tài)構(gòu)造特定函數(shù)進(jìn)行求解。

七、證明恒等式

日常解題過(guò)程中，我們經(jīng)常運(yùn)用拉格朗日中值定理來(lái)解決恒等式問(wèn)題，在符合條件的情況下，拉格朗日中值定理相對(duì)于其他方法而言較為便捷。移項(xiàng)過(guò)程中，我們通常將含有未知量的方程放在等式左邊，將常量放在等式右邊。

例6：證明恒等式arcsinx+arccosx=π/2（-1≤x≤1）

f（x）=arcsinx+arccosx在［-1，1］連續(xù)，在（-1，1）可導(dǎo)

由拉格朗日中值定理可知，

一定能夠在［-1，1］中找到一個(gè)c點(diǎn)，使得f（c）=［f（1）-f（-1）］/（1-（-1））又這個(gè)式子可以計(jì)算得π/2。

拉格朗日中值定理的推論是：如果函數(shù)f（x）在區(qū)間I上的導(dǎo)數(shù)恒為零，則f（x）在區(qū)間I上是一個(gè)常數(shù)（arcsinx）’，所以，f’（x）=0成立。

通過(guò)對(duì)以上實(shí)際問(wèn)題的舉例分析，我們了解到了高等數(shù)學(xué)中，函數(shù)構(gòu)造法的廣泛應(yīng)用，它能夠通過(guò)簡(jiǎn)化函數(shù)形式，使較為復(fù)雜的問(wèn)題更加容易解決，并且能夠應(yīng)用于不等式的證明，拉格朗日中值定理還有微分求解以及數(shù)列問(wèn)題的解決，并且能夠“大事化小，小事化了”，縮短解題時(shí)間，降低解題所需要耗費(fèi)的精力。

［1］張平芳.淺談高等數(shù)學(xué)中的構(gòu)造函數(shù)方法［J］.咸寧師專學(xué)報(bào)，2011（26）.

［2］羅榮.輔助函數(shù)在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用［J］.新疆師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2011（17）.

［3］郭靜莉.構(gòu)造函數(shù)法在高等數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用［J］.赤峰學(xué)院學(xué)報(bào)，2011（25）.