王偉民

摘 要 因?yàn)榉肿邮菢?gòu)成物質(zhì)的仍能保持其化學(xué)性質(zhì)的最小微粒，所以，一定大小的物體是不可以無(wú)限制的分割下去的。以此為論據(jù)，論證教科書(shū)對(duì)容器中水無(wú)限分割的方法欠妥，并提出修改方案。

關(guān)鍵詞 容器 水 分子 原子 測(cè)量

義務(wù)教育教科書(shū)（人教版）八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第十六章《分式》，在其第二節(jié)“16.2分式的運(yùn)算”結(jié)束部分有一個(gè)“閱讀與思考”板塊，標(biāo)題為“容器中的水能倒完嗎”，以一個(gè)裝有給定體積水的容器為對(duì)象，并按一定的規(guī)則分次向外倒水為背景，設(shè)計(jì)了一個(gè)耐人尋味的問(wèn)題（詳見(jiàn)教科書(shū)148頁(yè)）——

“一個(gè)容器裝有1升水，按照如下要求把水倒出：第一次倒出升水，第2次倒出的水量是升的，第3次倒出的水量是升的，第4次倒出的水量是升的……第n次倒出的水量是升的……按照這種倒水的方法，這1升水經(jīng)多少次可以倒完？”[1]

應(yīng)該說(shuō)，這幾乎是所有學(xué)生都非常感興趣的一個(gè)問(wèn)題（實(shí)際上，即便是作為成年人的教師，在首次看到該問(wèn)題的時(shí)候，也會(huì)有一種不求出問(wèn)題的結(jié)果，誓不罷休的欲望——該問(wèn)題設(shè)計(jì)得有點(diǎn)“太”吸引人了），當(dāng)然，看到該問(wèn)題后，讀者（特別是學(xué)生）最先想到的解決方法也許是通過(guò)實(shí)驗(yàn)來(lái)探尋問(wèn)題的答案，但稍加分析便會(huì)發(fā)現(xiàn)“此路不通”，由問(wèn)題中的“倒水規(guī)則”可知，隨著倒水次數(shù)的不斷增加，每次倒出水的體積將會(huì)逐次減小，測(cè)量難度將會(huì)逐漸增大，正如課本所言，“當(dāng)?shù)钩龅乃亢苄r(shí)測(cè)量的難度非常大”，甚至成為不可能（因?yàn)闇y(cè)量工具的最小分度值是一定的，當(dāng)被測(cè)量的某個(gè)物理量比測(cè)量工具的最小分度值小得過(guò)多時(shí)，測(cè)量工具就沒(méi)法再用了），這樣就自然而然地將問(wèn)題的解決方法“轉(zhuǎn)移”到數(shù)學(xué)方法上來(lái)。我們?nèi)匀豢唇炭茣?shū)提供的方法——

接下來(lái)，課本進(jìn)行如下“總結(jié)”——

“可以發(fā)現(xiàn)，按這種方法倒水，隨著倒水次數(shù)n的不斷增加，總倒出水量也不斷增加，然而，不論倒水次數(shù)n有多大，總倒水量總小于1。因此，容器中的1升水是倒不完的。這樣，我們就用數(shù)學(xué)方法分析解決了上面的問(wèn)題”[1]。

乍看起來(lái)，這的確是一種非?！巴昝馈钡慕鉀Q方法，而且是“純粹”的數(shù)學(xué)法——用數(shù)學(xué)方法解決了實(shí)驗(yàn)探尋不可能解決的實(shí)際問(wèn)題，但仔細(xì)推敲就會(huì)覺(jué)得不合適。

我們知道，水是由水分子組成的。對(duì)于1升水而言，盡管里面所含的分子個(gè)數(shù)非常多，是一個(gè)天文數(shù)字，但分子的個(gè)數(shù)再多也是有限的，如果按照問(wèn)題設(shè)計(jì)中的倒水“規(guī)則”不斷向外倒水的話(huà)，倒n次之后，容器中所剩水的體積為，當(dāng)n不斷增大時(shí)，剩余水的體積將不斷減小，當(dāng)減小到與一個(gè)水分子的體積一樣大，或者雖大于一個(gè)水分子的體積但卻小于兩個(gè)水分子體積的時(shí)候，容器中將只剩下一個(gè)水分子（n充分大時(shí)，這種結(jié)果將成為必然！因?yàn)榉肿拥膫€(gè)數(shù)只能是正整數(shù)——不論實(shí)際操作能否做到這一步），這時(shí)，若仍按問(wèn)題設(shè)計(jì)中的倒水“規(guī)則”向外倒水的話(huà)，我們只能將一個(gè)水分子拆開(kāi)，將其中的氫原子或氧原子或者某原子的一部份“倒出”，而水分子一旦拆開(kāi)（一個(gè)水分子是由一個(gè)氧原子與兩個(gè)氫原子所組成），哪怕只少了其中的一個(gè)原子或一個(gè)原子的一部分，水分子都將“搖身一變”，變成了另外的一種新的物質(zhì)，容器中的水將不復(fù)存在，到這一步，容器中的水將被“徹底”倒完！

應(yīng)該說(shuō)，教科書(shū)中該問(wèn)題設(shè)計(jì)的初衷是好的，通過(guò)具體問(wèn)題的解決，不但使學(xué)生學(xué)到一種巧用數(shù)學(xué)手段解決實(shí)際問(wèn)題的方法，而且還可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的濃厚興趣。但問(wèn)題設(shè)置中選擇的對(duì)象不太合適——將水選作了研究對(duì)象，而水這種實(shí)體物質(zhì)不可以無(wú)限地“分割”下去。如果課本將研究對(duì)象適當(dāng)調(diào)整，比如，調(diào)整為可以無(wú)限分割的一條確定長(zhǎng)度的線(xiàn)段，而將問(wèn)題改成下面的形式，就不會(huì)出現(xiàn)上面的“問(wèn)題”了——

一條線(xiàn)段長(zhǎng)1米，一動(dòng)點(diǎn)從線(xiàn)段的一端按如下規(guī)則向另一端運(yùn)動(dòng)：第1秒走米，第2秒走米的，第3秒走米的，第4秒走米的……第n秒走米的……按照這種運(yùn)動(dòng)方法，這1米長(zhǎng)的線(xiàn)段經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間可以走完？

按教科書(shū)的分析方法，其答案顯而易見(jiàn)，經(jīng)歷再長(zhǎng)的時(shí)間，動(dòng)點(diǎn)也不可能走完這1米長(zhǎng)的線(xiàn)段！

參考文獻(xiàn)

[1]人民教育出版社課程教材研究所中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開(kāi)發(fā)中心.義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)（八年級(jí)上冊(cè)）[M].北京：人民教育出版社，2013.

【責(zé)任編輯 郭振玲】