黃日坤

反比例函數(shù)是初中數(shù)學的基礎知識，也是歷年中考的熱點問題之一.近年來，命題者勇于創(chuàng)新，設計出許多新穎開放、體現(xiàn)新課程理念的創(chuàng)新型試題，現(xiàn)舉例如下.

一、開放題型

概念解讀：開放題型是指那些條件不完整、結(jié)論不確定、解法不限制的數(shù)學問題.它的顯著特點是正確答案不唯一，常見的題型有：條件開放與探索、結(jié)論開放與探索 、解題方法的開放與探索等.

例1 （2015湖南益陽）已知y是x的反比例函數(shù)，當x>0時，y隨x的增大而減小.請寫出一個滿足以上條件的函數(shù)表達式 .

分析：對于反比例函數(shù)y=（k≠0）的圖象在每個象限內(nèi)，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大，則反比例函數(shù)的反比例系數(shù)k<0；反之，只要k>0，則反比例函數(shù)在每個象限內(nèi)，函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小.

解：只要使反比例系數(shù)大于0即可.

如y=（x>0），答案不唯一.

故答案為：y=（x>0），答案不唯一.

點評：由于開放型試題答案的多樣性和多層性，因此對訓練同學們思維的靈活性和發(fā)散性有較好的作用.本題著重考查同學們的逆向思維能力和發(fā)散思維能力.

二、判斷說理題型

概念解讀：判斷說理題是中考新題型中探索型問題的主要形式，它要求同學們緊扣題設條件，對“是否存在”作出判斷，并進行正確的推理.

例2 （2015遼寧大連）如圖1，在平面直角坐標系中，∠AOB=90°，AB∥x軸，OB=2，雙曲線y=經(jīng)過點B，將△AOB繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)，使點O的對應點D落在x軸的正半軸上.若AB的對應線段CB恰好經(jīng)過點O.

（1）求點B的坐標和雙曲線的解析式；

（2）判斷點C是否在雙曲線上，并說明理由.

圖1

分析：（1）先求得△BOD是等邊三角形，即可求得B的坐標，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得雙曲線的解析式；

（2）求得OB=OC，即可求得C的坐標，根據(jù)C的坐標即可判定點C是否在雙曲線上.

解：（1）∵AB∥x軸，∴∠ABO=∠BOD，

∵∠ABO=∠CBD，∴∠BOD=∠OBD，

∵OB=BD，∴∠BOD=∠BDO，

∴△BOD是等邊三角形，∴∠BOD=60°，

∴B（1，）；

∵雙曲線y=經(jīng)過點B，

∴k=1×=.

∴雙曲線的解析式為y=.

（2）∵∠ABO=60°，∠AOB=90°，

∴∠A=30°，∴AB=2OB，

∵AB=BC，∴BC=2OB，∴OC=OB，

∴C（-1，-），

∵-1×（-）=，

∴點C在雙曲線上.

點評：這是一道判斷說理型試題，用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)關系式是解題的關鍵.求反比例函數(shù)關系式的方法有多種，要靈活運用.

三、新定義題型

概念解讀：所謂“新定義”型問題，主要是指在問題中定義了中學數(shù)學中沒有學過的一些概念、運算、符號，要求同學們讀懂題意并結(jié)合已有知識進行理解，根據(jù)新定義進行運算、推理、遷移的一種題型.

例3 （2015廣東茂名）在平面直角坐標系中，我們不妨把縱坐標是橫坐標的2倍的點稱之為“理想點”，例如點（-2，-4），（1，2），（3，6）…都是“理想點”，顯然這樣的“理想點”有無數(shù)多個.

（1）若點M（2，a）是反比例函數(shù)y=（k為常數(shù)，k≠0）圖象上的“理想點”，求這個反比例函數(shù)的表達式；

（2）函數(shù)y=3mx-1（m為常數(shù)，m≠0）的圖象上存在“理想點”嗎？若存在，請求出“理想點”的坐標；若不存在，請說明理由.

分析：（1）根據(jù)“理想點”，確定a的值，即可確定M點的坐標，代入反比例函數(shù)解析式，即可解答；

（2）假設函數(shù)y=3mx-1（m為常數(shù)，m≠0）的圖象上存在“理想點”（x，2x），則有3mx-1=2x，整理得：（3m-2）x=1，分兩種情況討論：當3m-2≠0，即m≠時，解得：x=；當3m-2=0，即m=時，x無解，即可解答.

解：∵點M（2，a）是反比例函數(shù)y=（k為常數(shù)，k≠0）圖象上的“理想點”，

∴a=4，

∵點M（2，4）在反比例函數(shù)y=（k為常數(shù)，k≠0）圖象上，

∴k=2×4=8，

∴反比例函數(shù)的解析式為y=.

（2）假設函數(shù)y=3mx-1（m為常數(shù)，m≠0）的圖象上存在“理想點”（x，2x），

則有3mx-1=2x，

整理得：（3m-2）x=1，

當3m-2≠0，即m≠時，

解得：x=，

當3m-2=0，即m=時，x無解，

綜上所述，當m≠時，函數(shù)圖象上存在“理想點”，為（，）；

當m=時，函數(shù)圖象上不存在“理想點”.

點評：本題考查了反比例函數(shù)圖形上點的坐標特征，解答本題的關鍵是理解“理想點”的定義，確定點的坐標.

四、探索猜想規(guī)律題型

概念解讀：探索猜想規(guī)律型試題是近年來的一種新題型.解答這類試題需要發(fā)揮空間想象力，找出規(guī)律，然后再利用所學知識進行分析、推理、驗證.

例4 （2015湖南邵陽）如圖2，已知直線y=x+k和雙曲線y=（k為正整數(shù)）交于A、B兩點.

（1）當k=1時，求A、B兩點的坐標；

（2）當k=2時，求△AOB的面積；

（3）當k=1時，△OAB的面積記為S1；當k=2時，△OAB的面積記為S2，…，依此類推，當k=n時，△OAB的面積記為Sn，若S1+S2+…+Sn=，求n的值.

圖2

分析：（1）由k=1得到直線和雙曲線的解析式，組成方程組，求出方程組的解，即可得到A、B兩點的坐標；

（2）先由k=2得到直線和雙曲線的解析式，組成方程組，求出方程組的解，即可得到A、B兩點的坐標；再求出直線AB的解析式，得到直線AB與y軸的交點（0，2），利用三角形的面積公式，即可解答.

（3）根據(jù)當k=1時，S1=×1×（1+2）=，當k=2時，S2=×2×（1+3）=4，…得到當k=n時，Sn=n（1+n+1）=n2+n，根據(jù)若S1+S2+…+ Sn=，列出等式，即可解答.

解：（1）當k=1時，直線y=x+k和雙曲線y=化為：y=x+1和y=，

解y=x+1y=得x=-2y=-1，x=1y=2，

∴A（1，2），B（-2，-1），

（2）當k=2時，直線y=x+k和雙曲線y=化為：y=x+2和y=，

解y=x+2y=得x=-3y=-1，x=1y=3，

∴A（1，3），B（-3，-1）

設直線AB的解析式為：y=mx+n，

∴3=m+n-1=-3m+n

∴m=1n=2，

∴直線AB的解析式為：y=x+2，

∴直線AB與y軸的交點為（0，2），

∴S△AOB=×2×1+×2×3=4；

（3）當k=1時，S1=×1×（1+2）=，

當k=2時，S2=×2×（1+3）=4，

…

當k=n時，Sn=n（1+n+1）=n2+n，

∵S1+S2+…+Sn=，

∴×（12+22+32+…+n2）+（1+2+3+…n）=，

整理得：

×+=，

解得：n=6.

點評：本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，解答本題的關鍵是聯(lián)立函數(shù)解析式，組成方程組，求交點坐標.在（3）中注意找出三角形面積的規(guī)律是關鍵.