吳小燕，王美清，莊 穎

(福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，福州350116)

帶指數(shù)參數(shù)的隱含波動率模型

吳小燕，王美清，莊 穎

(福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，福州350116)

在廣泛運用的Black-Scholes定價模型中，波動率被看作是一個固定的常數(shù)，但越來越多的實證分析表明這種假設(shè)在實際的期權(quán)市場中并不成立，隱含波動率具有“波動率微笑”和“期限結(jié)構(gòu)”等特點。鑒于此，對Cassese和Guidolin提出的確定性隱含波動率模型進行改進，認為隱含波動率并不一定是關(guān)于在值程度的二次函數(shù)，采用指數(shù)參數(shù)項替代原模型中的在值程度二次項。最后基于AAPL股票期權(quán)進行實證分析，結(jié)果表明改進的模型更具靈活性，能更好地擬合和預(yù)測隱含波動率及期權(quán)價格。

Black-Scholes模型；隱含波動率曲面；參數(shù)模型；半?yún)?shù)模型；指數(shù)參數(shù)；非線性方程組

期權(quán)定價理論是金融工程領(lǐng)域研究的熱點問題之一。1973年，美國數(shù)學(xué)家Black等[1]提出了第一個完整的期權(quán)定價模型，并推導(dǎo)出了著名的Black-Scholes期權(quán)定價公式(簡稱B-S公式)。該模型假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)的波動率為常數(shù)，然而大量的研究分析表明，該假設(shè)在實際的金融市場是不成立的，隱含波動率具有“波動率微笑”和“期限結(jié)構(gòu)”等特征[2-5]，即通過B-S公式反解出來的隱含波動率會因期權(quán)的執(zhí)行價格和剩余期限的不同而不同。若把期權(quán)的隱含波動率、執(zhí)行價格和剩余期限表示在三維坐標(biāo)空間中，可得到一個非平坦的三維曲面，稱之為“隱含波動率曲面”。這個曲面包含了期權(quán)市場上的大量信息，是期權(quán)定價和金融風(fēng)險管理的重要工具，因此，對隱含波動率曲面的建模是金融工程領(lǐng)域的研究熱點和難點。

對隱含波動率曲面的建模，目前已有的研究主要分為2類：確定性隱含波動率模型和隨機隱含波動率模型。確定性隱含波動率模型認為隱含波動率的變化與剩余期限、執(zhí)行價格或者在值程度(moneyness)之間存在確定性的函數(shù)關(guān)系，且這種關(guān)系不隨時間發(fā)生變化。常見的確定性模型有3種：Derman[6]提出的粘性行權(quán)價規(guī)則(sticky strike rule)和粘性delta規(guī)則(sticky delta rule)及Daglish等[7]提出的平穩(wěn)時間平方根規(guī)則(Stationary Square Root of Time Rule)。1999年Schonbucher[8]提出了隨機隱含波動率模型的思想，認為隱含波動率的變化是由幾個風(fēng)險源驅(qū)動，并假設(shè)這些風(fēng)險源與驅(qū)動標(biāo)的資產(chǎn)價格變動的風(fēng)險源不同。之后Ledoit等[9]、Cont等[10]、陳蓉等[11]沿用Schonbucher的思想，并在此基礎(chǔ)上提出了新的模型。

近年來，對期權(quán)隱含波動率的研究主要集中在確定性隱含波動率模型的建立上[12-16]。1996年Ncube[17]采用FTSE100指數(shù)期權(quán)的市場數(shù)據(jù)，實證分析了期權(quán)隱含波動率、期權(quán)執(zhí)行價格和剩余期限三者之間存在相關(guān)性。1998年Dumas等[18]基于這種相關(guān)性，采用S&P500指數(shù)期權(quán)的數(shù)據(jù)，說明三者之間存在一種線性關(guān)系，并提出一組隱含波動率曲面的參數(shù)模型。2006年Cassese等[19]沿用Dumas的思想，用在值程度替換原參數(shù)模型中的執(zhí)行價格，并基于S&P500指數(shù)期權(quán)驗證了新的模型具有更好的擬合效果。2009年Borovkova等[20]在Dumas的參數(shù)模型的基礎(chǔ)上首次提出了半?yún)?shù)模型，認為當(dāng)剩余期限固定時，隱含波動率是一個關(guān)于執(zhí)行價格或在值程度的二次多項式函數(shù)，不同于參數(shù)模型中的參數(shù)對于不同剩余期限均是一定的情況，半?yún)?shù)模型中的參數(shù)隨剩余期限變化。

Cassese等提出的參數(shù)模型使用在值程度的二次多項式來擬合隱含波動率，雖然二次多項式能夠表現(xiàn)出隱含波動率微笑的特征，但其并不能很好地說明微笑的幅度，隨著數(shù)據(jù)的變化，模型的擬合效果未必最好。因此，本文針對該問題提出改進，用指數(shù)參數(shù)項替代原模型中的二次項，并用AAPL股票(蘋果公司股票)期權(quán)的市場數(shù)據(jù)對改進模型進行實證分析(文中所有市場數(shù)據(jù)均來自雅虎財經(jīng))。實證結(jié)果表明，改進的模型更具靈活性，能更好地擬合和預(yù)測隱含波動率及期權(quán)價格。

1 B-S模型及隱含波動率曲面

B-S模型在假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價格遵循幾何布朗運動、無風(fēng)險利率為常數(shù)、不支付紅利、不支付交易費和稅收、不存在套利、標(biāo)的資產(chǎn)波動率為常數(shù)的前提下，給出期權(quán)價格、標(biāo)的資產(chǎn)價格和時間之間的關(guān)系，可由下列偏微分方程刻畫，

其中：V為期權(quán)價格；S為標(biāo)的資產(chǎn)的價格；t為交易日期；r為年化無風(fēng)險利率；σ為標(biāo)的資產(chǎn)的波動率。在該模型中，除了波動率無法直接從市場上獲得外，其余參數(shù)和變量均可由市場條件或合約給定。

從式(1)推導(dǎo)出的歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的定價公式分別如下：

其中：C為看漲期權(quán)的價格；P為看跌期權(quán)的價格；為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率分布函數(shù)；K為期權(quán)的執(zhí)行價格；T為期權(quán)的交割日期。已知(S,t,r,q,K,T,σ)，利用式(2)，(3)就可得到期權(quán)的價格。

B-S模型假定波動率σ是固定的常數(shù)，即在某一固定的時刻，計算同一標(biāo)的資產(chǎn)的不同期權(quán)價格時，采用的波動率是相同的。若把某一時刻期權(quán)的隱含波動率、執(zhí)行價格和剩余期限τ(τ=T-t)用三維坐標(biāo)空間表示出來，會得到一個平坦的表面。然而大量實證研究表明，隱含波動率會隨執(zhí)行價格和剩余期限變化而改變。如，將AAPL股票期權(quán)在2016-03-01日時看漲期權(quán)的隱含波動率、執(zhí)行價格和剩余期限之間的關(guān)系在三維坐標(biāo)空間中表示，結(jié)果如圖1。顯然，隱含波動率并不是一個常數(shù)，而是與期權(quán)的執(zhí)行價格K及剩余期限τ有關(guān)。

圖1 2016-03-01日AAPL看漲期權(quán)的隱含波動率Fig.1 Implied volatilities ofAAPLstock option in 2016-03-01

如果能夠確定隱含波動率、執(zhí)行價格和剩余期限這三者之間的函數(shù)關(guān)系，那么，當(dāng)已知期權(quán)的執(zhí)行價格和剩余期限時，就可以預(yù)測期權(quán)的隱含波動率。

2 帶指數(shù)參數(shù)的隱含波動率曲面模型

2.1 傳統(tǒng)參數(shù)模型

Dumas對S&P500指數(shù)期權(quán)的隱含波動率σ，期權(quán)執(zhí)行價格K及剩余期限τ等數(shù)據(jù)作了大量的實驗分析，提出用執(zhí)行價格和剩余期限的雙二次多項式來擬合隱含波動率曲面，

為了避免期權(quán)隱含波動率過分依賴于具體的執(zhí)行價格和標(biāo)的資產(chǎn)的價格走勢，Cassese等考慮用期權(quán)的在值程度(moneyness)代替執(zhí)行價格，這樣，只需關(guān)注執(zhí)行價格和資產(chǎn)價格之間的對比程度即可。期權(quán)的在值程度M反映了執(zhí)行價格K與標(biāo)的資產(chǎn)價格S之間的關(guān)系，定義如式(5)。

Cassese等用在值程度M替換模型1中的執(zhí)行價格K，并且去掉剩余期限的二次項，給出了如下模型，即模型2

2.2 帶指數(shù)參數(shù)模型

用模型2(式(6))對AAPL股票期權(quán)2016-03-01日的看漲期權(quán)的市場數(shù)據(jù)進行擬合，結(jié)果如圖2所示。從結(jié)果看，模型2能夠表現(xiàn)出“微笑”特征，但在M∈[-1,1]部分，曲面的彎曲太平緩，對實際數(shù)據(jù)的擬合效果不理想。

如果將式(6)中的在值程度M的二次項去除，模型修改為

其擬合的曲面如圖3所示，并沒有表現(xiàn)出隱含波動率“微笑”特征。

圖2 式(6)擬合出的隱含波動率曲面Fig.2 Fitted implied volatility surface with formula(6)

圖3 式(7)擬合出的隱含波動率曲面Fig.3 Fitted implied volatility surface with formula(7)

顯然，模型2對隱含波動率的“微笑”的近似主要依賴于在值程度M的二次項，但并不能得到理想效果。若用Mα(0＜α＜2)代替M2，但是當(dāng)M＜0且α為非整數(shù)時，Mα可能是虛數(shù)。另外，M的絕對值項 |M|能夠呈現(xiàn)一定的彎曲趨勢，因此本文考慮用來代替模型2中的M2項，其中α＞0?；谝陨戏治觯疚奶岢龈倪M模型，將模型2修正為如下帶指數(shù)參數(shù)模型，

利用最小二乘法對歷史數(shù)據(jù)進行擬合，可以求解模型3中的各個未知參數(shù)。在某一時刻，假定標(biāo)的資產(chǎn)的價格為S，無風(fēng)險利率為r。在S上立了n支期權(quán)，第i支期權(quán)的價格為Vi、隱含波動率為σi及其對應(yīng)的執(zhí)行價格和剩余期限為(Ki,τi)，相應(yīng)的在值程度為Mi。因此有n組數(shù)據(jù)(τi,Mi,σi)，i=1,…,n。利用最小二乘求模型3的參數(shù)問題，轉(zhuǎn)化為以下極值問題，

由極小值原理可知，極值問題的解等價于下列非線性方程組的解：

為方便起見，將模型3中的參數(shù)用向量表示為X=(β0,β1,β2,α,β3,β4)T，將方程組(10)記為函數(shù)向量F(X)，顯然F(X)關(guān)于X連續(xù)可微，其對應(yīng)的Jacobi矩陣為

其中ji(X),i=1,…,6，表示矩陣J(X)的第i個列向量：

2.3 模型3的數(shù)值求解

求解非線性方程組最常用的是Newton迭代法，該方法要求方程組的Jacobi矩陣可逆。但是方程組(10)對應(yīng)的Jacobi矩陣中的元素是隨著實際市場數(shù)據(jù)的變化而變化，因此不能保證J(X)非奇異，為解決此問題，本文采用修正的Levenberg-Marquardt算法[21-22]，該方法不要求J(X)可逆，且具有全局收斂性。

定義第k步迭代的步長為

第k步迭代的實際下降量和預(yù)估下降量分別為二者的比值記為

rk用來決定是否接受試探步長dk以及如何調(diào)整迭代參數(shù)μk的大小。rk越大，說明函數(shù)下降越多，此時接受dk并希望步長增大，因此減小μk；rk越小，說明函數(shù)下降越少，此時拒絕dk并希望步長減小，因此增大μk。算法步驟如下：

步驟1：給定定義域內(nèi)的初始值X0，ε≥0,μ1＞m＞0,0≤p1≤p2＜1,k∶=0；

步驟3：計算rk，并設(shè)置

步驟4：調(diào)整參數(shù)μk，

k∶=k+1，轉(zhuǎn)步驟2。

依照上述步驟即可求得非線性方程組(10)的最優(yōu)解X*，同時X*也是模型3的最優(yōu)擬合參數(shù)。

2.4 基于模型3的半?yún)?shù)模型

2009年Borovkova等[20]在Dumas的參數(shù)模型的基礎(chǔ)上拓展了半?yún)?shù)模型，此類模型認為當(dāng)剩余期限固定時，隱含波動率是一個關(guān)于執(zhí)行價格(或在值程度)的二次函數(shù)，不同于參數(shù)模型中的參數(shù)對于不同剩余期限都是一定的情況，半?yún)?shù)模型中的參數(shù)是隨剩余期限變化的。參數(shù)模型2和本文改進的模型3對應(yīng)的半?yún)?shù)模型分別如下：

在某一交易日，對任意固定的剩余期限，都需對上述半?yún)?shù)模型進行最小二乘擬合，進而得到M方向上的函數(shù)，為了得到隱含波動率曲面，本文在τ方向上采用雙三次樣條方法進行插值。半?yún)?shù)模型擬合的隱含波動率曲面的形狀較參數(shù)模型更加豐富，更貼近實際應(yīng)用。

3 模型驗證

驗證中模型的求解用MATLAB軟件編程實現(xiàn)。

3.1 實驗數(shù)據(jù)的選取

從市場上獲取AAPL股票及其期權(quán)的相關(guān)數(shù)據(jù)(S,t,r,K,T,σ,C)。選取2016-03-01日到2016-03-31日的市場交易數(shù)據(jù)，并進行如下篩選：

1)選擇剩余期限處于6天到1年之間的數(shù)據(jù)；

2)為了能真實地反映實際情況，刪除交易量小于20的數(shù)據(jù)。

3.2 實驗結(jié)果與分析

通過修正的L-M算法分別用模型2、模型3、模型4和模型5擬合選擇的市場數(shù)據(jù)，得到關(guān)于K和τ的隱含波動率函數(shù)，并通過此函數(shù)求出(Ki,τi)對應(yīng)的隱含波動率的估計值?i，同時由式(2)求出對應(yīng)的期權(quán)價格的估計值分別采用以下測量誤差的指標(biāo)來觀察模型對期權(quán)市場數(shù)據(jù)的擬合和預(yù)測效果：

5)某個交易日內(nèi)，期權(quán)價格的估計值介于市場買賣價之間的比例為

其中：n為該交易日內(nèi)期權(quán)的總量；m表示期權(quán)價格的估計值介于市場買賣價之間的期權(quán)總量。

首先用帶指數(shù)參數(shù)的隱含波動模型3對2016-03-01日到2016-03-31日的市場數(shù)據(jù)進行最小二乘擬合，并對擬合所得的指數(shù)參數(shù)項的系數(shù)β2及其指數(shù)參數(shù)α進行分析。參數(shù)β2和α的擬合結(jié)果如表1。

表1 模型3中參數(shù)β2及α的擬合結(jié)果Tab.1 Fitted results ofβ2andαin model 3

觀察表1可知，由模型3擬合市場數(shù)據(jù)而得的指數(shù)項|Mα|的系數(shù)β2均非零，且其指數(shù)參數(shù)α也并非固定的常數(shù)，而是隨市場數(shù)據(jù)的變化而改變的，這說明模型3中的指數(shù)項在對市場數(shù)據(jù)進行擬合時起到了一定作用，同時可以通過調(diào)整參數(shù)α改變模型的擬合效果。

為了進一步分析模型3較模型2在數(shù)據(jù)擬合及預(yù)測的效果上的差異，本文分別用參數(shù)模型2及模型3對2016-03-01至2016-03-31日的市場數(shù)據(jù)進行擬合，并用第t天擬合的隱含波動率函數(shù)去預(yù)測第t+1天的隱含波動率和期權(quán)價格，分別對其擬合、預(yù)測誤差求均值及方差，結(jié)果見表2。

表2 參數(shù)模型2和模型3的擬合及預(yù)測結(jié)果Tab.2 Fitted and predicted results of the parametric model 2 and model 3

為了分析半?yún)?shù)模型4和模型5的擬合及預(yù)測效果，下面分別用模型4和模型5對2016-03-01日的市場數(shù)據(jù)進行擬合，并用擬合得到的半?yún)?shù)模型對2016-03-02日的對應(yīng)交割日期的隱含波動率進行預(yù)測，分別對其擬合、預(yù)測誤差求均值及方差，結(jié)果見表3。

表3 半?yún)?shù)模型4和模型5的擬合及預(yù)測結(jié)果Tab.3 Fitted and predicted results of the semi-parametric model 4 and model 5

觀察表2，3可知，改進的帶指數(shù)參數(shù)模型3及其對應(yīng)的半?yún)?shù)模型5的估計誤差均小于模型2和模型4的估計誤差，且改進模型估計的期權(quán)價格介于市場上買賣價之間的比例也較原模型高，驗證了本文改進的帶指數(shù)參數(shù)模型較二次多項式模型更加靈活，更加適用多變的金融市場。

4 結(jié) 論

基于Cassese等提出的擬合期權(quán)隱含波動率曲面的參數(shù)模型，本文進行了改進，用指數(shù)參數(shù)項 ||Mα代替了原模型中的二次項M2項，使得改進模型中的在值程度的次數(shù)不再是固定的二次，而是根據(jù)實際的期權(quán)數(shù)據(jù)擬合所得，使得模型更具靈活性，即可以根據(jù)不同的期權(quán)數(shù)據(jù)來調(diào)整α的取值，從而較好地擬合和預(yù)測期權(quán)的隱含波動率及其價格，更加貼近實際應(yīng)用。

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責(zé)任編輯：丁吉海

Implied Volatility Model with Index Parameter

WU Xiaoyan,WANG Meiqing,ZHUANG Ying
(College of Mathematics and Computer Science,Fuzhou University,Fuzhou 350116,China)

In the widely used Black-Scholes pricing model,the volatility is assumed to be a fixed constant. However,more and more empirical analyses have proved this assumption is incorrect in the real option market, the implied volatility has two key features:volatility smile and term structure.This paper modifies the deterministic implied volatility model proposed by Cassese and Guidolin,it deems implied volatility is not necessarily the quadratic function of moneyness and replaces the quadratic term of moneyness with an index parameter term. With the modified model some empirical analyses based on AAPL stock option are carried out.The experimental results show that the modified model is more flexible and has a better fitting and forecasting ability.

Black-Scholes model;implied volatility surface;parametric models;semi-parametric models;index parameter;nonlinear system of equations

F 830.91

A

10.3969/j.issn.1671-7872.2016.04.016

1671-7872(2016)04-0396-08

2016-07-22

福建省自然科學(xué)基金項目(2015J01013)

吳小燕(1989-)，女，河南平頂山人，碩士生，研究方向為計算金融。

王美清(1966-)，女，福建福州人，教授，博導(dǎo)，主要研究方向為數(shù)值計算基礎(chǔ)，計算金融。