周信國(guó)　李海東

關(guān)系模型就是表示數(shù)量之間關(guān)系的模型。小學(xué)數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的數(shù)量關(guān)系包括速度、時(shí)間和路程關(guān)系，單價(jià)、數(shù)量和總價(jià)關(guān)系，工作時(shí)間、工作效率和工作總量關(guān)系，正比例關(guān)系和反比例關(guān)系等。如果學(xué)生能熟練應(yīng)用這些數(shù)量關(guān)系解決實(shí)際問(wèn)題，他們的學(xué)習(xí)就會(huì)事半功倍。因此，教師要注重引導(dǎo)學(xué)生自主建構(gòu)數(shù)量關(guān)系模型。江蘇省優(yōu)質(zhì)課比賽一等獎(jiǎng)獲得者顧憲聰老師執(zhí)教的“常見(jiàn)的數(shù)量關(guān)系”為我們做了很好的示范。他大膽放手，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光尋找數(shù)量關(guān)系，分析數(shù)量關(guān)系。學(xué)生在觀察、比較和歸納活動(dòng)過(guò)程中理解并掌握了數(shù)量關(guān)系，自主構(gòu)建了數(shù)量關(guān)系的模型，發(fā)展了數(shù)學(xué)思維，提升了數(shù)學(xué)探究能力。顧老師的課堂幽默、風(fēng)趣、富有感染力，整節(jié)課洋溢著濃濃的數(shù)學(xué)味。

一、初步探究中構(gòu)建關(guān)系模型

師（出示情境圖）：你能很快整理出圖中的條件嗎？

生：把鋼筆買幾支和每支幾元放在一起，把5本練習(xí)本和每本3元放在一起，這樣整理才有條理。

師：每支12元可以寫成12元/支，讀作十二元每支，它表示什么意思？

生：一支鋼筆12元。

師：你能把每本3元寫成這樣的形式嗎？

生：3元/本，表示1本練習(xí)本3元，讀作三元每本。

師：經(jīng)過(guò)整理，你能很快求出什么問(wèn)題？

生：買鋼筆要12×4=48元，買練習(xí)本要3×5=15元。

師：你是怎樣想的？

生：每支鋼筆12元，4支就是4個(gè)12；每本練習(xí)本3元，5本就是5個(gè)3。

師：如果文件夾的價(jià)錢是4元/個(gè)，想買2個(gè)文件夾。老師要問(wèn)什么問(wèn)題？

生：文件夾要多少錢？

師：這兒的12元/支、3元/本、4元/個(gè)，我們都可以稱為商品的單價(jià)。

師：買的4支、5本、2個(gè)叫作——

生：數(shù)量。

師：買每種文具一共用的錢數(shù)其實(shí)就是——

生：總價(jià)。

師：怎么求總價(jià)？

生：數(shù)量×單價(jià)=總價(jià)。

師：求鋼筆總價(jià)是用鋼筆單價(jià)乘以鋼筆數(shù)量，那么求練習(xí)本的總價(jià)呢？

生：練習(xí)本的單價(jià)×練習(xí)本的數(shù)量=練習(xí)本的總價(jià)。

師：文件夾呢？

生：文件夾的單價(jià)×文件夾的數(shù)量=文件夾的總價(jià)。

師：關(guān)于這三個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系，你還想到了什么？

生：總價(jià)÷數(shù)量=單價(jià)。

師：能結(jié)合這里的例子說(shuō)一說(shuō)嗎？

生：練習(xí)本一共要15元，練習(xí)本的單價(jià)是3元，用練習(xí)本的總價(jià)÷單價(jià)=數(shù)量。

師：已知三個(gè)量中其中的——（兩個(gè)）就可以求出——（另一個(gè)量）

師：像單價(jià)的這種表示形式在生活中還有很多?？矗∷曛衅娈惞膯蝺r(jià)是——

生：4元/個(gè)。

師：牛肉店里五香牛肉的單價(jià)是——

生：20元/盒。

師：茶餐廳中香蕉奶昔的單價(jià)是——

生：32元/份。

師：選一個(gè)你最感興趣的單價(jià)介紹一下。

生：五香牛肉的單價(jià)是一盒20元。

師：如果買2盒五香牛肉，總價(jià)是多少？

生：20×2=40（元）。

師：如果買3盒呢？

生：20×3=60（元）。

師：現(xiàn)在想買5盒呢？

生：5×20=100（元）。

師：可以寫成20×5嗎？

生：可以。

師：看這些算式——20×2=40（元）、20×3=60（元）和20×5=100（元），你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：都是單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)。單價(jià)不變，數(shù)量變，總價(jià)跟著變。

師：如果現(xiàn)在老師想買2個(gè)奇異果、2盒五香牛肉和2份香蕉奶昔，誰(shuí)的總價(jià)最多？為什么？

生：香蕉奶昔單價(jià)是32元/份，單價(jià)最大。它們的數(shù)量一樣，單價(jià)越大，總價(jià)越多。

【賞析】數(shù)學(xué)來(lái)源于生活。在教學(xué)中，顧老師引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光觀察生活中購(gòu)物的實(shí)際問(wèn)題，在初步認(rèn)識(shí)單價(jià)后，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)改寫單價(jià)、讀出單價(jià)，然后學(xué)生根據(jù)已知條件提出問(wèn)題，再在問(wèn)題解決中認(rèn)識(shí)數(shù)量和總價(jià)后，直至自主發(fā)現(xiàn)“數(shù)量、單價(jià)和總價(jià)”三者之間的關(guān)系，構(gòu)建“數(shù)量×單價(jià)=總價(jià)”的計(jì)算模型，并舉一反三地發(fā)現(xiàn)“總價(jià)÷數(shù)量=單價(jià)”以及“總價(jià)÷單價(jià)=數(shù)量”。三個(gè)數(shù)量中，最核心、最重要的是單價(jià)，顧老師通過(guò)奇異果、五香牛肉和香蕉奶昔等商品信息幫助學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)單價(jià)，促進(jìn)學(xué)生在隨機(jī)應(yīng)用中進(jìn)一步理解并掌握“數(shù)量×單價(jià)=總價(jià)”這個(gè)基本數(shù)學(xué)模型。學(xué)生在模型構(gòu)建中不但發(fā)現(xiàn)了積的變化規(guī)律（單價(jià)不變，數(shù)量變，總價(jià)跟著變），而且初步感悟了模型思想和變與不變的數(shù)學(xué)思想，還在分析和對(duì)比中梳理了“數(shù)量、單價(jià)和總價(jià)”三者之間的關(guān)系，增進(jìn)了學(xué)生對(duì)數(shù)量關(guān)系的認(rèn)識(shí)，增強(qiáng)了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的探究意識(shí)和模型意識(shí)。

二、深入探究中構(gòu)建關(guān)系模型

師：老師從南京開(kāi)車來(lái)學(xué)校，每小時(shí)行90千米；徐老師騎自行車來(lái)學(xué)校，每分鐘行200米。這些都可以稱為速度。2小時(shí)、10分鐘就是——

生：時(shí)間。

師：一共行多長(zhǎng)的路就是——

生：路程。

師：速度在生活中很常見(jiàn)，舉個(gè)例子吧。

生：徐老師騎車每分鐘行200米就是速度。

生：顧老師開(kāi)車每小時(shí)行90千米也是速度。

師：烏龜?shù)乃俣仁敲糠?米，可以改寫成2米/分；聲音的速度是每秒340米，能改寫嗎？

生：340米/秒。

師：表示什么意思？

生：聲音的速度是每秒340米。

師：真好。還能說(shuō)說(shuō)其他速度嗎？

生：公路限速120千米/時(shí)。

生：一輛汽車的速度是100千米/時(shí)。

師：當(dāng)前的速度是100千米/時(shí)。如果一輛車行駛在這條路上，超速嗎？

生：不超速。

師：像這兒的每分、每秒、每時(shí)行的路程，我們都把它稱為——

生：速度。

師：速度、時(shí)間和路程三者之間有什么關(guān)系？

（課件出示研究提示：1.寫：把速度改寫成另外一種形式；2.算：分別求出汽車和自行車行駛的路程；3.想：速度、時(shí)間和路程之間有什么關(guān)系？學(xué)生完成后展示交流。）

生：汽車速度是90千米/時(shí)，自行車速度是200米/分。

師：表示什么意思？

生：90千米/時(shí)就是汽車行90千米要1小時(shí)。

生：汽車速度90千米/時(shí)×?xí)r間2時(shí)=路程180千米；自行車速度200米/分×?xí)r間10分=路程2 000米。

師：你發(fā)現(xiàn)了——

生：路程=速度×?xí)r間。

師：感謝你們幫老師算出南京到江陰的路程是180千米。如果現(xiàn)在老師改騎摩托車，需要多少時(shí)間？（出示：摩托車速度是60千米/時(shí)。）

生：180÷60=3（時(shí)）。

師：如果以后從南京到江陰開(kāi)通動(dòng)車要多少時(shí)間？（出示：動(dòng)車速度是180千米/時(shí)。）

生：1個(gè)小時(shí)。

師：怎么求時(shí)間？

生：路程÷速度=時(shí)間。

師：如果要求速度呢？

生：路程÷時(shí)間=速度。

師：你還有什么發(fā)現(xiàn)？

生：動(dòng)車最快，摩托車最慢。

生：路程不變，速度越快，時(shí)間越少。

師：說(shuō)得真好。隨著交通工具的發(fā)展，速度越來(lái)越快，時(shí)間卻越來(lái)越少。這三者之間的關(guān)系有沒(méi)有變？

生：沒(méi)有，都是路程=速度×?xí)r間。

【賞析】路程、時(shí)間和速度三個(gè)數(shù)量中，速度是核心。顧老師先根據(jù)實(shí)際情況引導(dǎo)學(xué)生初步認(rèn)識(shí)速度、時(shí)間和路程，學(xué)習(xí)速度的改寫、讀法和意義，接著引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)“超速”，再引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)自主寫、算、讀和交流，合作發(fā)現(xiàn)了這三種數(shù)量之間的關(guān)系——“路程=速度×?xí)r間”“路程÷速度=時(shí)間”“路程÷時(shí)間=速度”，從而建立了三個(gè)新的數(shù)學(xué)模型。學(xué)生在構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)“路程不變，速度越快，時(shí)間越少”的規(guī)律，但三者之間的關(guān)系不變，都是“路程=速度×?xí)r間”。把實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型的過(guò)程中，學(xué)生不僅深刻理解了速度的內(nèi)涵，還理清了路程、速度和時(shí)間之間的數(shù)量關(guān)系。鮮活、多樣、由淺入深的探究練習(xí)，不僅幫助學(xué)生在解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題中進(jìn)一步理解并掌握了所建構(gòu)的數(shù)學(xué)模型，而且?guī)椭鷮W(xué)生在建模活動(dòng)中體會(huì)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價(jià)值，感知了聯(lián)系和發(fā)展的觀點(diǎn)，進(jìn)一步感悟了數(shù)學(xué)模型思想和變與不變的數(shù)學(xué)思想。

三、溝通聯(lián)系中深化關(guān)系模型

師：總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量、路程=速度×?xí)r間，都是我們生活中常見(jiàn)的數(shù)量關(guān)系。能不能用自己的方式表示這兩個(gè)數(shù)量關(guān)系呢？

生：總數(shù)=每份數(shù)×份數(shù)。

師：這兒的每份數(shù)、份數(shù)和總數(shù)指什么呢？

生：總數(shù)在這兒指總價(jià)，每份數(shù)指單價(jià)，份數(shù)指數(shù)量。

生：每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)。總數(shù)就是總價(jià)和路程，每份數(shù)就是單價(jià)和速度，份數(shù)就是數(shù)量和時(shí)間。

師：真厲害，把兩個(gè)都說(shuō)進(jìn)去了。

師：你能編一道關(guān)于總價(jià)、單價(jià)、數(shù)量或者路程、速度、時(shí)間的數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？

生：買一個(gè)杯子要10元，買3個(gè)杯子一共要多少錢？

師：誰(shuí)能回答？

生：三個(gè)杯子一共要30元。一個(gè)杯子10元，3個(gè)杯子就是3個(gè)10，用乘法算。

師：用的什么數(shù)量關(guān)系？

生：?jiǎn)蝺r(jià)×數(shù)量=總價(jià)。

生：買3瓶可樂(lè)，每瓶要3元。一共要多少元？3×3=9（元）。

師：用的是什么數(shù)量關(guān)系？

生：?jiǎn)蝺r(jià)×數(shù)量=總價(jià)。

生：一輛動(dòng)車每小時(shí)能行300千米，行了3小時(shí)。行了多少千米？每小時(shí)行300千米，行了3小時(shí)，3個(gè)300，就是900千米。

師：用了什么數(shù)量關(guān)系？

生：速度×?xí)r間=路程。

【賞析】數(shù)學(xué)模型最重要的作用就是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言解釋現(xiàn)實(shí)世界。史寧中教授認(rèn)為，在小學(xué)數(shù)學(xué)“數(shù)與代數(shù)”部分，本質(zhì)上只有“總量=部分量+部分量”和“總數(shù)=每份數(shù)×份數(shù)”兩種模型。從這種意義上說(shuō)，學(xué)生所發(fā)現(xiàn)的數(shù)量關(guān)系其實(shí)是乘法意義的一種具體化。在教學(xué)中，顧老師引導(dǎo)學(xué)生嘗試用自己的話總結(jié)數(shù)量關(guān)系式與乘法意義的聯(lián)系，溝通了數(shù)量關(guān)系之間的聯(lián)系。學(xué)生把兩個(gè)似乎不同的數(shù)量關(guān)系融為一體，從而使所學(xué)知識(shí)真正具有了數(shù)學(xué)模型的價(jià)值。編題不僅培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)能力，而且培養(yǎng)了學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)模型的能力。學(xué)生在應(yīng)用中不僅加深了對(duì)所構(gòu)建模型的理解和認(rèn)識(shí)，而且在加深理解中內(nèi)化了數(shù)學(xué)模型。

整節(jié)課，顧老師把教學(xué)重點(diǎn)放在“數(shù)量關(guān)系”的教學(xué)上，通過(guò)呈現(xiàn)數(shù)學(xué)味的現(xiàn)實(shí)情境，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的“生長(zhǎng)”過(guò)程，促使學(xué)生在現(xiàn)實(shí)背景中和問(wèn)題解決過(guò)程中，透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)數(shù)量之間的內(nèi)在聯(lián)系，體會(huì)和抽象出數(shù)學(xué)模型，探索了更深層次的數(shù)學(xué)規(guī)律，提升了學(xué)生的綜合數(shù)學(xué)素養(yǎng)。