摘 要：論述引入波利亞解題思想的重要性、波利亞的“怎樣解題”表及其認識。使用波利亞解題思想作為數(shù)學解題教學實踐的理論武器，在課堂中向?qū)W生滲透波利亞的“怎樣解題”表的思想精髓，努力向?qū)W生介紹探索問題的一般方法，指導學生解題，培養(yǎng)學生的探究能力，同時也把解題教學的有效性落到實處。

關鍵詞：數(shù)學教學；波利亞解題思想；解題表；啟發(fā)法；教學有效性

中圖分類號：G424；G633.6 文獻標志碼：A 文章編號：1008-3561（2016）04-0068-02

一、前言

對于學校數(shù)學，問題和問題的解決是數(shù)學活動的核心。波利亞認為，“加強解題訓練是中學數(shù)學的首要任務”。而解題教學不能單單憑借教師的經(jīng)驗總結，必須有解題理論的指導。關于解題理論的研究，當首推波利亞的數(shù)學啟發(fā)法。人們公認，波利亞解題思想是解決問題的一面旗幟，我國數(shù)學家徐利治教授在上世紀80年代初，就大力倡導要按照波利亞數(shù)學思想改革中學數(shù)學教材和教學方法。波利亞解題思想主要體現(xiàn)在“怎樣解題”表和“合情推理”之中。本文是在波利亞解題思想理論的指導下進行實踐、認識、再實踐、再認識后的理論認識，同時也嘗試探索提高數(shù)學解題教學有效性的具體方法。

二、引入波利亞解題思想的重要性

不管大綱怎么改、教材怎么變，“題海戰(zhàn)術”總是濤聲依舊。新教材未進校門，應試資料已繽紛上市，生意火紅?！邦}海”難以避免，所以，我們要研究“題?！敝杏斡镜牟呗?。波利亞的解題思想被人們公認為“指導學生在題海中游泳”的“行動綱領”。筆者認為，指導學生在題海中暢游，必須在平時的解題教學中落實波利亞解題思想，唯此，解題教學有效性才可落到實處。

波利亞（George Polya，1887-1985）是美籍匈牙利杰出的數(shù)學家和偉大的數(shù)學教育家。波利亞一生的數(shù)學教育論著共約三百部，復興了“探索法”，開創(chuàng)了數(shù)學問題求解和合情推理的新時代。波利亞的論著已影響了全世界數(shù)以百萬計的數(shù)學教育工作者，波利亞的解題思想集中反映在他的《怎樣解題》《數(shù)學與合情推理》及《數(shù)學的發(fā)現(xiàn)》等著作里。其中影響最大的是《怎樣解題》，至今已被譯成約二十種文字，發(fā)行數(shù)百萬冊。另外，波利亞在《數(shù)學與猜想》中還給出了其他一些啟發(fā)性的方法或模式，主要有合情推理模式，包括歸納、類比、溯因推理，一般化、特殊化方法等。

數(shù)學既是一門系統(tǒng)的演繹科學，又是一門實驗性的歸納科學，特別是創(chuàng)造過程中的數(shù)學更像是歸納科學。波利亞指出，通過研究解題方法，我們可以看到發(fā)現(xiàn)過程中的數(shù)學。早在青年時代，波利亞由于不滿足于教師那照本宣科式的講述，波利亞就開始探索數(shù)學及其他學科中的發(fā)明創(chuàng)造問題。他閱讀了大量數(shù)學家、科學家的著作和手稿，努力尋找隱藏在數(shù)學真理背后的生動的創(chuàng)造過程。在執(zhí)教后，他作為一個教師，對學生的思維過程認真觀察研究，并在總結自己多年的數(shù)學教學和研究的實踐經(jīng)驗基礎上，終于制定了“現(xiàn)代啟發(fā)法”綱領——“怎樣解題”表。波利亞把“解題”作為培養(yǎng)學生數(shù)學才能和教會他們思考的一種重要手段。國內(nèi)外很多數(shù)學著作和習題集多數(shù)側重于解決個別類型的問題，卻很少涉及解題的一般方法。然而，“學生熟悉了解答個別類型問題的特殊方法之后，有可能只限于掌握一種千篇一律的死板方法而并不具備獨立解決新問題的本領?！辈ɡ麃喌摹对鯓咏忸}》，給出了求解數(shù)學問題的一般方法，有利于提高數(shù)學教學效率，提高學生的數(shù)學思維能力，在數(shù)學教學中具有重要的現(xiàn)實意義。

三、波利亞的“怎樣解題”表及其認識

波利亞的“怎樣解題”表的核心是不斷變換問題，以誘發(fā)靈感?！氨怼敝邪牟糠謨?nèi)容：弄清問題、擬訂計劃、實現(xiàn)計劃、回顧反思。波利亞還是當代合情推理之父，他提倡“讓我們教猜想”，他指出數(shù)學猜想一般都是通過合情推理而提出來的。數(shù)學在教演繹的同時，必須有教猜想的地位。波利亞的啟發(fā)法理論出自波利亞的《怎樣解題》《數(shù)學的發(fā)現(xiàn)》《數(shù)學與猜想》。其中，《怎樣解題》表比較適合中學數(shù)學教學中的解題教學的啟發(fā)與引導?！氨怼敝邪韵滤牟糠值膬?nèi)容。

1. 弄清問題

第一，解題之前，必須弄清問題。未知數(shù)是什么？已知數(shù)據(jù)（指已知數(shù)、已知圖形和已知事項等的統(tǒng)稱）是什么？條件是什么？滿足條件是否可能？要確定未知數(shù)，條件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？

畫張圖。引入適當?shù)姆枴?/p>

把條件的各個部分分開。你能否把它們寫下來？

第二，找出已知數(shù)與求知數(shù)之間的聯(lián)系。如果找不出直接的聯(lián)系，你可能不得不考慮輔助問題。

你應該最終得出一個求解的計劃。

2. 擬訂計劃

你以前見過它嗎？你是否見過相同的問題而形式稍有不同？

你是否知道與此有關的問題？你是否知道一個可能用得上的定理？

看著未知數(shù)！試想出一個具有相同未知數(shù)或相似未知數(shù)的熟悉的問題。

這里有一個與你現(xiàn)在的問題有關，且早已解決的問題，你能應用它嗎？

你能不能利用它？你能利用它的結果嗎？為了能利用它，你是否應該引入某些輔助元素？

你能不能重新敘述這個問題？你能不能用不同的方法重新敘述它？

回到定義去。

如果你不能解決所提出的問題，可先解決一個與此有關的問題。你能不能想出一個更容易著手的有關問題？一個更普遍的問題？一個更特殊的問題？一個類比的問題？你能否解決這個問題的一部分？僅僅保持條件的一部分而舍去其余部分，這樣對于未知能確定到什么程度？它會怎樣變化？你能不能從已知數(shù)據(jù)導出某些有用的東西？你能不能想出適合于確定未知數(shù)的其他數(shù)據(jù)？如果需要的話，你能不能改變未知數(shù)和數(shù)據(jù)，或者二者都改變，以使新未知數(shù)和新數(shù)據(jù)彼此更接近？

你是否利用了所有的已知數(shù)據(jù)？你是否利用了整個條件？你是否考慮了包含在問題中的所有必要的概念？

3. 實行計劃

實現(xiàn)你的求解計劃，檢驗每一步驟。

你能否清楚地看出這一步是正確的？你能否證明這一步是正確的？

驗算所得到的解。

4. 回顧反思

你能否檢驗這個論證？你能否用別的方法導出這個結果？你能否一下子看出它來？

你能不能把這結果或方法用于其他的問題？

波利亞按照人們解題的思維過程給出了各系列公式化了的指導意見，提問的方法十分靈活，或建議，或使用引導性問題，合乎人們的認識過程和心理現(xiàn)象。從教育心理學的角度來看，這張表十分可取。這張表具有普遍性，既適用于中學數(shù)學學困生，又適用于數(shù)學中等生、高才生。在平時解題教學中，教師應該經(jīng)常向?qū)W生提出表中的問題和建議，并要求學生們也記住其中的問話，時刻提示自己，引導學生在“題?！崩飼秤危忸}教學也就變得十分有效。所以說，教師若能在平時的解題教學中不斷地向?qū)W生提出表中的問題和建議，讓學生形成解題的一般性的思維習慣，既可以幫助學生解決眼前實在的問題，還能培養(yǎng)學生未來獨自分析問題、解決問題的能力。“怎樣解題表”的中心思想就是解題過程中如何不斷變更問題，誘發(fā)靈感。當你用表中的問題和建議啟發(fā)學生的時候，你手中的問題就不斷得到變更和轉(zhuǎn)化，從而變難為易，變陌生為熟悉，變繁為簡了。

在日常的解題教學過程中，往往把解題劃分為四個程序，即審題、探索、表述和回顧。在每個程序中都反復提示學生“解題表”的提問的語句，時間久了，學生也就會自覺不自覺地問自己那些問題和建議。教學實踐中，筆者圍繞“轉(zhuǎn)化、變更問題”這一思想精髓，努力向?qū)W生介紹一些探索問題的一般方法，以指導學生解題。

比如，把眼前問題與過去熟悉的某個問題掛起鉤來。

例如：解不等式<3-logax. 當學生對題目愁眉不展時，可適時向?qū)W生提出一系列“波利亞的問題和建議”。“如果你不能解決所提出的問題，可先解決一個與此有關的問題。你能不能想出一個熟悉的問題？”經(jīng)過這樣的引導后，學生也許會想到曾學過的無理不等式<3-x，這是一個熟悉的已經(jīng)解決的問題?！澳隳懿荒芾盟?？你能利用它的結果嗎？你能利用它的方法嗎？為了利用它，你是否應該引入某些輔助元素？”經(jīng)過這么引導，學生會令t=logax，再將原來問題的求解轉(zhuǎn)化為對<3-x這個問題的求解。而<3-x這個問題已經(jīng)解決，則原問題也隨之解決。

再如，盯住目標，尋求答案，目標是指導航行的“燈塔”。

例如：已知點P（x，y）在直線x+2y=5上運動，求3x+9y的最小值。分析：已知點P（x，y）在直線x+2y=5上，求3x+9y=3x+32y的最小值。把目光集中在目標上，盯住目標，尋找已知、未知的聯(lián)系，想到把分散在指數(shù)上的x，2y集中起來，設法出現(xiàn)3x+2y或與此類似的形式。適時向?qū)W生提出“你是否知道與此有關的問題？你是否知道一個可能用得上的定理？”學生不難想到3x+32y≥=2·3，這樣，根據(jù)條件，問題就解決了。

另外，審清題意，搞清楚問題的已知和所求；設法轉(zhuǎn)化問題，改變敘述方式；分解組合，把原問題化為一系列子問題，通過子問題的逐個解決，原問題也隨即解決；嘗試變更問題的條件和結論，從中得出有益的猜想等，這些啟發(fā)性的方法和建議都是教師平時課上經(jīng)常使用的。這些啟發(fā)性的言語帶領著解題教學的步步深入，提高了解題教學的有效性，也培養(yǎng)了學生良好的獨立解題的習慣。

注意解題后的再思考，這是提高解題教學有效性的必要環(huán)節(jié)。目前數(shù)學教學的普遍現(xiàn)象是，廣大師生在分數(shù)的壓力下，匆匆解題，匆匆講題，無暇顧及“解題后的再思考”，這種損失不言自明。教師要經(jīng)常帶領學生從已解決的問題的解題過程中吸取營養(yǎng)，進行如下的一些探索：解題中用到了哪些知識？它們是怎樣聯(lián)系起來的？解題的關鍵在哪里？思路是怎樣打通的？推理是否嚴謹？思維有無多余步驟？還有別的解法嗎？改變一下條件如何？改變一下結論如何？解題反饋——回顧是解題教學必不可少的一個環(huán)節(jié)，也是提高教學有效性的重要手段。

四、結束語

“問題”是數(shù)學的心臟，問題的不斷產(chǎn)生和解決推動數(shù)學的發(fā)展。解決數(shù)學問題也是學校數(shù)學教學活動的重要形式，如何提高解題教學活動的有效性，對有效提高學生數(shù)學成績以及推動數(shù)學素質(zhì)教育都有重要的現(xiàn)實意義。用波利亞解題思想去武裝自己的解題教學，可以大大提高解題教學的有效性，這也是一屆屆學生帶下來之后的經(jīng)驗總結。建議更多的教師了解波利亞解題思想，按照波利亞思想改革教學方法，進一步提高數(shù)學課堂解題教學的有效性。波利亞的解題思想是指導學生在題海中游泳的行動綱領，越來越多的教師已經(jīng)認識到它的獨特魅力了。在數(shù)學解題方面，波利亞是一面旗幟。了解、使用、實踐他的解題思想，對培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維也很有指導意義。

參考文獻：

[1]劉云章，趙雄輝.數(shù)學解題思維策略——波利亞著作選講[M].長沙：湖南教育出版社，1992.

[2]李艷.波利亞數(shù)學解題思想的實踐與認識[D].南京師范大學，2001.

[3]馮麗寧，武月元.運用波利亞《怎樣解題》表進行數(shù)學有效解題教學[J].山西師范大學學報：自然科學版，2010（06）.

[4]曹琳彥，顏寶平.運用波利亞解題思想指導中學數(shù)學解題教學[J].銅仁學院學報，2010（05）.