趙紀(jì)青

(鶴壁職業(yè)技術(shù)學(xué)院， 河南鶴壁　458030)

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“古典概型”運(yùn)用要點(diǎn)剖析

趙紀(jì)青

(鶴壁職業(yè)技術(shù)學(xué)院， 河南鶴壁458030)

摘要：概率論是一門研究隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)生規(guī)律的學(xué)科，其中規(guī)律是通過(guò)計(jì)算事件發(fā)生的概率來(lái)衡量的，從而概率的計(jì)算問(wèn)題變得尤為重要。解決該問(wèn)題的方法多種多樣，利用“古典概型”來(lái)計(jì)算隨機(jī)事件的概率，是概率論的核心基礎(chǔ)內(nèi)容之一?！肮诺涓判汀彪m然思想簡(jiǎn)單，但在應(yīng)用時(shí)卻常常出錯(cuò)。為了更好地理解“古典概型”方法以及準(zhǔn)確快捷地利用它解決實(shí)際問(wèn)題，通過(guò)實(shí)例對(duì)應(yīng)用“古典概型”計(jì)算概率的方法進(jìn)行剖析，總結(jié)出有助于理解以及合理應(yīng)用“古典概型”方法的四個(gè)要點(diǎn)。

關(guān)鍵詞：古典概型；樣本空間；對(duì)立事件；二項(xiàng)分布

許多概率論的教材中對(duì)“古典概型”的介紹都是先敘述方法的基本思想即[1-4]：1)所涉及的隨機(jī)現(xiàn)象只有有限個(gè)樣本點(diǎn)，譬如為n個(gè)，簡(jiǎn)稱有限性；2)每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等，簡(jiǎn)稱等可能性；3)若事件A含有k個(gè)樣本點(diǎn)，在事件A發(fā)生的概率為

通過(guò)幾道不同類型的例題來(lái)鞏固“古典概型”方法。針對(duì)該情形，學(xué)習(xí)者一般是一教就會(huì)，但實(shí)際練習(xí)中常常出錯(cuò)。趙輝[5]對(duì)“古典概型”的三種基本模型的概率計(jì)算方法進(jìn)行了歸納，在一定程度上使學(xué)習(xí)者對(duì)“古典概型”的基本模型有一定的了解，但沒(méi)有分析容易出錯(cuò)的現(xiàn)象，難免會(huì)出現(xiàn)“一看就懂，一做就錯(cuò)”的現(xiàn)象；游玲杰、吳紹兵[6]與張旭[7]等從計(jì)算n、k一致性、準(zhǔn)確性、技巧性方面對(duì)古典概型概率計(jì)算中常見(jiàn)錯(cuò)題進(jìn)行了分析，但分析的角度還不夠細(xì)致；張健、徐傳勝[8-9]研究了如何選擇樣本空間而簡(jiǎn)解古典概型，但研究角度稍顯單一。筆者通過(guò)古典概型的基本模型實(shí)例，從容易出錯(cuò)的情況詳細(xì)分析，總結(jié)出有助于更好理解以及應(yīng)用“古典概型”方法的四個(gè)要點(diǎn)。

1應(yīng)用“古典概型”方法的要點(diǎn)

1.1看清題意，簡(jiǎn)化樣本空間

摸球模型中的放回摸球中有這樣的例題[10-13]。

例1有一袋內(nèi)裝有編號(hào)為1~5的5個(gè)球，從袋中有放回地任取3個(gè)球，問(wèn)3個(gè)球的編號(hào)能組成奇數(shù)的概率？

錯(cuò)解要求“3個(gè)球編號(hào)能組成奇數(shù)”的概率，只需求“3個(gè)球的編號(hào)全部是偶數(shù)”的概率，再利用事件對(duì)立關(guān)系求解，于是解答過(guò)程如下：

這個(gè)分析過(guò)程錯(cuò)在忽略了題意中的“有放回地”。所求問(wèn)題等價(jià)于求“第三次摸到奇數(shù)號(hào)球”的概率，所以正確解法：

此處利用了古典概型的方法求概率，其樣本空間Ω所含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為53。樣本空間中的樣本點(diǎn)較多，從而思考在滿足有限性、等可能性的基礎(chǔ)上簡(jiǎn)化樣本空間，得到了一下更加簡(jiǎn)單的方法。

例2有一袋內(nèi)裝有編號(hào)為1~5的5個(gè)球，從袋中無(wú)放回地任取3個(gè)球，問(wèn)3個(gè)球編號(hào)組成奇數(shù)的概率？

例2是把例1的有放回改成無(wú)放回，其他條件一樣，通常的分析是“把五個(gè)球全排列，只需第三個(gè)球的號(hào)碼是奇數(shù)”接著用古典概型的方法得到解法一：

例3袋中有a個(gè)白球和b個(gè)黑球，從中無(wú)放回地依次取出k個(gè)(1≤k≤a+b)，則最后一次取到的是白球的概率為多少？

例4將1，2，…,n任意排列，則數(shù)字2在1前面的概率為多少？

此錯(cuò)在于題意理解錯(cuò)誤即把“數(shù)字2在1前面”理解成了“數(shù)字2在1前面，并且相鄰”。通常的利用古典概型方法的正確解法為

首先要看清楚題意，然后在滿足有限性、等可能性的情況下盡可能地簡(jiǎn)化樣本空間再利用古典概型方法求概率，就會(huì)大大地提高正確率與速度。

1.2確保所求事件A、Ω一致性

例59件產(chǎn)品中有2件不合格品，從中不放回地任取2件，求取出的產(chǎn)品中只有一件合格品的概率是多少？

例6從一個(gè)裝有n個(gè)白球和n個(gè)黑球的袋子里逐一把球取出，直至取完為止，求黑、白球恰好相間的概率為多少？

1.3轉(zhuǎn)化對(duì)立事件求解，減小難度

例7從5雙不同的鞋子中任取4只，求取出的4只鞋子中至少有2只配成一雙的概率。

例8一個(gè)班級(jí)有50人，一年365 d，至少有2個(gè)人生日相同的概率是多少？

1.4轉(zhuǎn)二項(xiàng)分布，避免使用排列組合求解

例9一位郵遞員將3封信隨機(jī)地投入4個(gè)信箱，第一個(gè)信箱恰有一封信的概率是多少？

例10有5個(gè)不同的球，每個(gè)球都等可能落入10個(gè)盒子中的每一個(gè)，求在指定的一個(gè)盒子中恰有3個(gè)球的概率。

類似于上面兩道例題的古典概型問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化成二項(xiàng)分布求解，而避免了使用排列組合的知識(shí)求解，則在排列組合中容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤就消除了從而提高了準(zhǔn)確率與速度。

參 考 文 獻(xiàn)

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[5]趙輝.古典概型的模型歸納和計(jì)算方法[J].教材與教法,2003(6):62-63.

[6]游玲杰,吳紹兵.古典概型計(jì)算原則及錯(cuò)解透視[J].教學(xué)參考,2006(82):29-30.

[7]張旭.古典概型概率計(jì)算中常見(jiàn)錯(cuò)題剖析[J].讀與寫,2008(6):68-69.

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The Highlights of the Use of “Classical Probability Model”

ZHAO Jiqing

(Hebi Polytechnic, Hebi 458030, China)

AbstractProbability is a discipline that studies the law of random phenomena, in which the law is measured by the probability of occurrence, so the problem of calculating the probability becomes very important and has many computing methods. Classical probability model, one of the core elements of the probability theory, is simple but often makes mistakes in the application. For this purpose, the paper analyses the probability calculated by using classical probability in illustrative examples and summarizes four main points that are helpful to understand and solve practical problems accurately.

Key wordsclassical probability model; sample space; opposition event; binomial distribution

文章編號(hào)：1009-0312(2016)01-0115-04

中圖分類號(hào)：O211

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

作者簡(jiǎn)介：趙紀(jì)青(1976—)，女，河南遂平人，副教授，碩士，主要從事組合數(shù)字研究。

收稿日期：2015-10-20