姜 文 英

(衡水學(xué)院　數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，河北　衡水 053000)

?

一道高等代數(shù)習(xí)題的推廣和應(yīng)用

姜 文 英

(衡水學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，河北衡水 053000)

摘要：對(duì)線性空間的討論不僅要從整體上把握其結(jié)構(gòu)，更要從局部—線性子空間的角度來(lái)分析討論．利用集合與線性空間的相關(guān)知識(shí)，將高等代數(shù)中的一道習(xí)題結(jié)論進(jìn)行了推廣和證明，并進(jìn)一步探討了該結(jié)論的應(yīng)用．

關(guān)鍵詞：線性空間；線性子空間；向量

北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)小組編的《高等代數(shù)》(第三版)有如下一道習(xí)題：

證明用數(shù)學(xué)歸納法．

當(dāng)s =1時(shí)，由V1是非平凡子空間知，存在向量，結(jié)論成立．

假設(shè)s= k 時(shí)結(jié)論成立，則s= k +1時(shí)，有V 的k +1個(gè)非平凡子空間，由歸納假設(shè)至少有一個(gè)向量α不屬于中任何一個(gè)．如果，則結(jié)論成立．如果，取，考慮k +1個(gè)向量的向量組，其中必有一個(gè)向量不屬于這k 個(gè)子空間中的任何一個(gè)．否則至少有兩個(gè)向量同屬于某一個(gè)，從而這兩個(gè)向量的差也屬于Vj，這與α?Vj矛盾．于是中有向量，不妨設(shè)為γ=lα+β不屬于中任何一個(gè)．

又由α∈Vk+1，β?Vk+1，知γ?Vk+1，命題得證．

命題3[2]設(shè)是數(shù)域P上n 維線性空間V 的任意s 個(gè)非平凡子空間，證明存在V的一組基，使這組基的n 個(gè)基向量均不在中．

最后，存在αn∈V，使，且線性無(wú)關(guān)，因此得到V的一組基，使其每一個(gè)基向量都不在中．

上述結(jié)論說明，線性空間V不能簡(jiǎn)單地被有限個(gè)真子空間所覆蓋，于是命題2可簡(jiǎn)單地?cái)⑹龀上旅娴亩ɡ恚?/p>

定理 (覆蓋定理)數(shù)域P 上的有限維線性空間V 不能被它的有限個(gè)真子空間覆蓋，即不存在真子空間使得

例1 設(shè)V1是n 維線性空間V 的真子空間，證明至少存在兩個(gè)子空間W1, W2，使V=V1+W1=V1+W2

證明 取V1的一組基，擴(kuò)充為V的一組基則V=V1+W1．W1也是V的真子空間，由定理知存在向量．同樣因?yàn)榧癢1都是V的真子空間，由定理知存在向量．依次做下去，找到顯然是線性無(wú)關(guān)的，故它們是V 的一組基．令

例2 設(shè)V 是數(shù)域P上的一個(gè)n 線性空間．證明存在V 中一個(gè)無(wú)窮的向量序列的任何n 個(gè)向量都是V的一組基．

參考文獻(xiàn)：

[1] 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組.高等代數(shù)[M].3版.北京:高等教育出版社,2003:272．

[2] 李師正.高等代數(shù)解題方法與技巧[M].武漢:華中師范大學(xué)出版社, 2004:196-197.

(責(zé)任編校：李建明英文校對(duì)：李玉玲)

Promotion and Application of an Exercise of Advanced Algebra

JIANG Wenying
(College of Mathematics and Computer Science, Hengshui University, Hengshui, Hebei 053000, China)

Abstract:Discussion on the linear space can not only grasp the structure as a whole, but also analyze more from the partlinear subspace. Based on the knowledge of set and linear space, the conclusion of an exercise of advanced algebra is promoted and demonstrated, and the application of the conclusion is further discussed.

Key words:linear space; linear subspace; vector

作者簡(jiǎn)介：姜文英(1975-)，女，河北故城人，衡水學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院副教授，理學(xué)碩士.

收稿日期：2015-03-27

中圖分類號(hào)：O151.21

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1673-2065(2016)01-0009-02