張克新

(黃岡職業(yè)技術(shù)學(xué)院 人事處，湖北 黃岡 438002)

論數(shù)學(xué)危機(jī)與思想解放

張克新

(黃岡職業(yè)技術(shù)學(xué)院 人事處，湖北 黃岡 438002)

數(shù)學(xué)是一門經(jīng)典的科學(xué)，也是一門常新的科學(xué)。數(shù)學(xué)的每一次重大進(jìn)步，都是人類歷史上的一次大的思想解放和創(chuàng)新的過程。縱觀數(shù)學(xué)的發(fā)展史，史學(xué)家有把它概括為三次數(shù)學(xué)危機(jī)，也有概括為四次數(shù)學(xué)危機(jī)。從推動(dòng)科學(xué)的發(fā)展作用上看，更傾向于概括為四次數(shù)學(xué)危機(jī)。探討四次數(shù)學(xué)危機(jī)，可以發(fā)現(xiàn)其與人類思想解放和創(chuàng)新的關(guān)系。

數(shù)學(xué)危機(jī)；思想解放；創(chuàng)新發(fā)展

以習(xí)近平同志為總書記的新一屆黨中央明確提出實(shí)施創(chuàng)新驅(qū)動(dòng)發(fā)展戰(zhàn)略，并將其提升為關(guān)系到國民經(jīng)濟(jì)全局緊迫而重大戰(zhàn)略任務(wù)的高度。李克強(qiáng)總理在去年的《政府工作報(bào)告》中也將“大眾創(chuàng)業(yè)、萬眾創(chuàng)新”提升到國家經(jīng)濟(jì)發(fā)展新引擎的戰(zhàn)略高度。高校作為人才培養(yǎng)的搖籃，理應(yīng)在推進(jìn)理論創(chuàng)新、制度創(chuàng)新、科技創(chuàng)新、文化創(chuàng)新等各方面的創(chuàng)新具有不可推卸的責(zé)任，理應(yīng)為建設(shè)創(chuàng)新型國家做出應(yīng)有的貢獻(xiàn)。本文期望通過對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展史上的四次危機(jī)及其解決方法的回顧，給當(dāng)今創(chuàng)新以啟迪和借鑒。

一、第一次數(shù)學(xué)危機(jī)：有理數(shù)與無理數(shù)的爭論，即回答 是什么數(shù)的問題[1]

大約在公元前580～568年之間的古希臘，以數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯為首建立了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派。這個(gè)學(xué)派集科學(xué)、哲學(xué)和宗教于一體，該學(xué)派在當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)屆具有極高的權(quán)威性。該學(xué)派人員相對(duì)穩(wěn)定,所有發(fā)明創(chuàng)造對(duì)外保密,所有成果都?xì)w功于學(xué)派領(lǐng)袖。那時(shí)人們對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)非常有限，即使是對(duì)有理數(shù)的認(rèn)識(shí)也還很有限,對(duì)無理數(shù)的認(rèn)識(shí)更是一無所知。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為“萬物皆數(shù)”，他們所說的數(shù)，主要是指整數(shù)，他們不認(rèn)為可分?jǐn)?shù)是數(shù)，而僅僅把分?jǐn)?shù)看作是兩個(gè)整數(shù)之比，宇宙間的一切現(xiàn)象都可歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比。該學(xué)派成員希伯索斯根據(jù)勾股定理通過邏輯推理發(fā)現(xiàn),邊長為1的正方形的對(duì)角線長度既不能用整數(shù)表示,也不能用整數(shù)之比表示。希伯索斯的發(fā)現(xiàn)被認(rèn)為是“荒謬”和違反常識(shí)的事，是不能被大家接受的。希伯索斯的發(fā)現(xiàn)不僅嚴(yán)重地挑戰(zhàn)了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的權(quán)威,也沖擊了希臘人的傳統(tǒng)認(rèn)識(shí)和見解。這使當(dāng)時(shí)的希臘數(shù)學(xué)家們深感不安，這就是第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。

這場危機(jī)通過在幾何學(xué)中引進(jìn)不可通約量的概念而得到解決。對(duì)于兩個(gè)幾何線段,如果存在一個(gè)第三線段能同時(shí)量盡它們,我們就稱這兩個(gè)線段是可通約的,否則稱為不可通約的。而正方形的一邊與對(duì)角線,不存在能同時(shí)量盡它們的第三線段,因此我們認(rèn)為它們是不可通約的。這樣,只要承認(rèn)不可通約量的存在，幾何量就不再受整數(shù)的限制，所謂的數(shù)學(xué)危機(jī)也就不復(fù)存在了。第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的產(chǎn)生直接的貢獻(xiàn)是無理數(shù)地產(chǎn)生，間接的貢獻(xiàn)是解放了人們的思想，打破了傳統(tǒng)的各種桎梏，極大地推動(dòng)了數(shù)學(xué)科學(xué)和其他相關(guān)科學(xué)的蓬勃發(fā)展。爾后實(shí)數(shù)體系很快就建立起來了，基于這種思想,在對(duì)負(fù)數(shù)開方時(shí)，我們引入了虛單位i(虛數(shù)的產(chǎn)生導(dǎo)致復(fù)變函數(shù)、實(shí)變函數(shù)等學(xué)科的產(chǎn)生,并在現(xiàn)代工程技術(shù)上得到了廣泛的應(yīng)用)等新概念，從而新知識(shí)層出不窮地涌現(xiàn)。第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的解決不正是人類思想解放和創(chuàng)新發(fā)展的過程嗎！

二、第二次數(shù)學(xué)危機(jī)：微積分中無窮小量的爭論,即無窮小量到底是零還是非零[2]

大約在公元十七世紀(jì)前后,牛頓和萊布尼茲在歸納和總結(jié)前人的成果的基礎(chǔ)上創(chuàng)立了——微積分。其中創(chuàng)始人牛頓在一些問題經(jīng)典的推導(dǎo)過程中,有時(shí)用無窮小量作分母進(jìn)行除法,當(dāng)然無窮小量不能為零；有時(shí)牛頓又把無窮小量看作零處理，去掉那些包含它的項(xiàng)，從而得到所要的公式，而在力學(xué)和幾何學(xué)的應(yīng)用證明了這些公式又是正確的，但它的數(shù)學(xué)推導(dǎo)過程卻在邏輯上是自相矛盾的。人們自然要問：無窮小量到底是零還是非零?如果是零的話，怎么能用它做除數(shù)呢?如果不是零的話，又怎么能把包含著無窮小量的那些項(xiàng)去掉呢?由于當(dāng)時(shí)微積分的理論基礎(chǔ)沒有得到根本解決，牛頓的這種處理方式無法使大家信服，從而導(dǎo)致數(shù)學(xué)界出現(xiàn)混亂局面，這就是第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。

其實(shí)，微積分的萌芽早在中國古代以及古希臘時(shí)期就形成了。在西漢末到東漢初之間，約公元一世紀(jì)前后，劉徽著的《九章算術(shù)》記載了割圓術(shù)，阿基米德的逼近法等實(shí)際上就是微積分思想的萌芽。

直到19世紀(jì),法國數(shù)學(xué)家柯西(1789—1857)詳細(xì)而又系統(tǒng)地發(fā)展了極限理論，通過構(gòu)建“ε-δ”定義，用嚴(yán)格和清晰的表述與證明方法從根本上完善了微積分理論?？挛髡J(rèn)為把無窮小量作為確定的量,即使是零,都說不過去,它會(huì)與極限的定義發(fā)生矛盾。無窮小量應(yīng)該是要怎樣小就怎樣小的一個(gè)量,因此本質(zhì)上它是一個(gè)變量,而且是以零為極限的變量，至此柯西徹底澄清了無窮小的概念。另外Weistrass創(chuàng)立了極限理論,加上實(shí)數(shù)理論,集合論的建立,從而把無窮小量從形而上學(xué)的束縛中解放出來，故第二次數(shù)學(xué)危機(jī)基本上解決了。

三、第三次數(shù)學(xué)危機(jī)：非歐幾何的產(chǎn)生[3]，即歐幾里德幾何中第五公理是否可替代

希臘人早在公元前300多年，以歐幾里德為代表的數(shù)學(xué)家就完成了標(biāo)志性的科學(xué)巨著《幾何原本》，它的主要幾何思想一直影響了人們2000多年，直到今天在某些領(lǐng)域，仍不失其典型意義。

《幾何原本》可以說給了人們一個(gè)價(jià)值尺度，一把尺子。它是基于五個(gè)公理通過邏輯推理演繹而成的。人們自然要問，這把尺子準(zhǔn)嗎？又有誰去度量《幾何原本》這把尺子？只要是受過現(xiàn)代教育的人都知道，我們從小學(xué)到初中都要學(xué)習(xí)平面幾何，應(yīng)該說公理一至公理四都是很容易接受的，而對(duì)于敘述最為啰嗦的“第五公理：過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與之平行”，人們感覺它不像公理，試圖嘗試去掉它或由別的來替代它。然而，直到19世紀(jì)初，所有用歐幾里德的公理去證明第五公理的嘗試都失敗了，這個(gè)問題整整困擾了人們2000多年。

直到19世紀(jì)初，當(dāng)數(shù)學(xué)家們開始意識(shí)到第五公理是不可證明時(shí)，那惟一的辦法就是要么承認(rèn)第五公理，要么去掉它，重構(gòu)一個(gè)體系。以德國數(shù)學(xué)家高斯、俄國數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基和匈牙利數(shù)學(xué)家波爾約等為代表的數(shù)學(xué)家各自獨(dú)立地認(rèn)識(shí)到這種證明是不可能的。高斯礙于聲譽(yù)害怕非議至死都沒有公開發(fā)表自己的研究成果。羅巴切夫斯基和波爾約分別在1830年前后發(fā)表了他們關(guān)于非歐幾何的新理論。在他們構(gòu)建新的幾何學(xué)中，替代歐幾里德第五平行公理的羅巴切夫斯基平行公理：在羅巴切夫斯基幾何里，三角形三內(nèi)角和小于兩直角。德國數(shù)學(xué)家黎曼在1854年又發(fā)現(xiàn)了新的幾何學(xué)：在黎曼幾何學(xué)里，三角形三內(nèi)角和大于二直角。他們的幾何學(xué)都構(gòu)成了封閉的沒有矛盾的新的幾何學(xué)。后來人們?yōu)榱思o(jì)念他們的卓越工作將不是歐幾里德的幾何學(xué)統(tǒng)稱為非歐幾何。

非歐幾何的創(chuàng)建打破了2000多年來歐氏幾何一統(tǒng)天下的局面，從根本上解放和拓寬了人們對(duì)幾何學(xué)的認(rèn)識(shí)，極大地推動(dòng)和促進(jìn)了科學(xué)的發(fā)展。

四、第四次數(shù)學(xué)危機(jī)：羅素悖論的產(chǎn)生,即理發(fā)師到底該不該給自己理發(fā)

英國著名數(shù)理邏輯學(xué)家和哲學(xué)家羅素(1872—1970)在1902年宣布了一條驚人的消息：集合論是自相矛盾的，并不存在什么絕對(duì)的嚴(yán)密性！史稱“羅素悖論”。羅素悖論的發(fā)現(xiàn)震撼了整個(gè)數(shù)學(xué)界,號(hào)稱天衣無縫,絕對(duì)正確的數(shù)學(xué)出現(xiàn)了自相矛盾，這無異于晴天霹靂，把人們從美夢中驚醒。羅素悖論以及集合論中其他一些悖論，深入到集合論的理論基礎(chǔ)之中，它從根本上危及了整個(gè)數(shù)學(xué)體系的確定性和嚴(yán)密性。于是在數(shù)學(xué)和邏輯學(xué)界引起了一場軒然大波，史稱第三次數(shù)學(xué)危機(jī)。

羅素先構(gòu)造了這樣的一個(gè)集合I：I是由一切不是自身元素的集合所組成。然后問：I是否屬于I呢？根據(jù)排中律，一個(gè)元素或者屬于某個(gè)集合，或者不屬于某個(gè)集合。因此，對(duì)于一個(gè)給定的集合，問是否屬于它自己是有意義的。但對(duì)這個(gè)看似合理的問題的回答卻會(huì)陷入兩難境地。如果I屬于I，根據(jù)I的定義，I就不屬于I；反之，如果I不屬于I，同樣根據(jù)定義，I就屬于I。從而不管怎樣都是矛盾的。實(shí)質(zhì)上,羅素悖論就是一個(gè)以否定形式陳述的最大集合悖論。

下面看看羅素悖論的兩個(gè)具體例子：

1、 “理發(fā)師悖論”：理發(fā)師定義為給不給自己理發(fā)的人理發(fā)，那么理發(fā)師該不該給自己理發(fā)呢?

2、“說謊者悖論”: 一個(gè)克里特人說：“所有克里特人說的每一句話都是謊話。”那么請(qǐng)問這句話是真話還是假話?從數(shù)學(xué)邏輯上來講他們都是矛盾的。

數(shù)學(xué)家們?yōu)榻鉀Q這場危機(jī)，將集合論建立在一組公理之上，以回避悖論。德國數(shù)學(xué)家策梅羅，他提出七條公理，建立了一種不會(huì)產(chǎn)生悖論的集合論，另一位德國的數(shù)學(xué)家弗芝克爾加以改進(jìn)，形成了一個(gè)無矛盾的集合論公理系統(tǒng)(即ZF公理系統(tǒng))，這場數(shù)學(xué)危機(jī)到此才緩和下來。公理化集合系統(tǒng)的建立，成功排除了集合論中出現(xiàn)的悖論，從而比較圓滿地解決了第三次數(shù)學(xué)危機(jī)。

但在另一方面，羅素悖論對(duì)數(shù)學(xué)而言有著更為深刻的影響。它使得數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問題以最迫切需要解決的姿態(tài)擺到數(shù)學(xué)家面前，導(dǎo)致了數(shù)學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究。而這方面的進(jìn)一步發(fā)展又極其深刻地影響了整個(gè)數(shù)學(xué)科學(xué)。

縱觀人類歷史上四次數(shù)學(xué)危機(jī)的解決，都是人們解放思想，創(chuàng)新發(fā)展的過程，每一次數(shù)學(xué)危機(jī)的解決，都極大地推動(dòng)了人類的發(fā)展和進(jìn)步。當(dāng)前，我國經(jīng)濟(jì)進(jìn)入轉(zhuǎn)型與產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)調(diào)整的關(guān)鍵時(shí)期。面對(duì)新的形勢，我們必須深入地推進(jìn)大眾創(chuàng)業(yè)、萬眾創(chuàng)新，著力營造大眾創(chuàng)業(yè)、萬眾創(chuàng)新的良好社會(huì)環(huán)境和文化氛圍，爭取早日地實(shí)現(xiàn)國家富強(qiáng)、民族振興、人民幸福，實(shí)現(xiàn)中華民族的偉大復(fù)興。

[1]顧沛. 數(shù)學(xué)文化[M].高等教育出版社,2013:110-133.

[2]解恩澤. 科學(xué)蒙難集[M].湖南科學(xué)技術(shù)出版社,1998:22-31.

[3]朱家生. 數(shù)學(xué)史[M].高等教育出版社,2011:156-164.

[責(zé)任編輯：江楚義]

On Mathematics Crisis and Ideological Emancipation

Zhang Kexin

(HuanggangPolytechnicCollege，Huanggang438002Hubei)

Mathematics is a classic science, which also is a new science. Every major advances in mathematics, is a great ideological liberation and innovation process in human history. Throughout the history of mathematics, historians have put it up for three mathematical crises or four mathematical crises. From the role of promoting scientific development, four mathematical crises tended to be summarized. Through discussion on the four mathematical crises, we could find its relationship with humans ideological emancipation and innovation.

Mathematical crisis; Ideological emancipation; Innovative development

2016-11-10

張克新，男，湖北紅安人，教授，處長。研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)研究及教育管理。

G40-052

A

1672-1047(2016)06-0120-03

10.3969/j.issn.1672-1047.2016.06.34