于先金　唐清生

以美啟真與美共舞
——一道課本習(xí)題的解法探究

于先金唐清生

英國(guó)著名詩(shī)人濟(jì)慈曾說(shuō)：“美即是真，真即是美。”從這一角度來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)中處處充滿美。從數(shù)學(xué)美的角度考慮解題思路的設(shè)計(jì)與發(fā)現(xiàn)，叫做以美啟真。這種解題策略是將數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)單美、對(duì)稱美、和諧美、奇異美這四種形式與問(wèn)題條件、結(jié)論相結(jié)合，再憑借知識(shí)經(jīng)驗(yàn)與審美直覺(jué)確定解題的入手方向或總體思路。美的啟示在解題過(guò)程中起到了宏觀指導(dǎo)和決策的作用。

本文以人教版選修4-5“不等式選講”第10頁(yè)第11題為例，從數(shù)學(xué)美的角度對(duì)這道課本習(xí)題的解法進(jìn)行探究，你會(huì)從中得到美的享受。

一、數(shù)學(xué)美，美在簡(jiǎn)單明了

所謂簡(jiǎn)單美，是指一個(gè)復(fù)雜問(wèn)題的簡(jiǎn)單解法。它是優(yōu)化解題思路的內(nèi)在驅(qū)動(dòng)力因素之一。正如高斯對(duì)自己工作的評(píng)價(jià)：“去尋求一種最簡(jiǎn)的證明，乃是吸引我去研究的主要?jiǎng)恿?。”也就是說(shuō)，簡(jiǎn)單美是指追求最容易、最清楚而且更經(jīng)濟(jì)的方法來(lái)解題。本題的條件和結(jié)論都很簡(jiǎn)單明了，而且a，b，c的算術(shù)平均值為，因而采用均值換元法可得到證法1。

證法1：均值換元，簡(jiǎn)單明了

二、數(shù)學(xué)美，美在對(duì)稱、整齊

對(duì)稱是最能給人以美感的一種形式。正如德國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家魏爾說(shuō)：“美和對(duì)稱緊密相關(guān)?！睂?duì)稱不外乎局部與局部的對(duì)稱，幾何圖形與數(shù)學(xué)關(guān)系都存在這種對(duì)稱。體現(xiàn)形結(jié)構(gòu)與數(shù)（式）結(jié)構(gòu)的對(duì)稱是對(duì)稱美，已知與結(jié)論的對(duì)稱能使解題者感到愉悅。

本題中的條件和結(jié)論都關(guān)于a，b，c對(duì)稱，由對(duì)稱性啟發(fā)，可得不同的證法。證法2（綜合法）雖然顯得突然，但證明過(guò)程處處體現(xiàn)出a，b，c的對(duì)稱、整齊、優(yōu)美；證法3（分析法）是從結(jié)論入手，并結(jié)合條件a+b+c=1，則只需證。這個(gè)不等式左、右兩邊都是關(guān)于a，b，c的二次齊次式，顯得整齊、對(duì)稱、優(yōu)美。本題的關(guān)鍵是如何用好條件a+b+c=1，若將已知條件代入，則可消去一個(gè)字母，從對(duì)稱性考慮，不妨消去a，于是可得證法4。

證法2：完全平方，對(duì)稱優(yōu)美

因?yàn)椋╝-b）2+（b-c）2+（c-a）2≥0，所以2a2+2b2+2c2 ≥2ab+2bc+2ca，所以3（a2+b2+c2）≥（a+b+c）2=12=1，所以。

證法3：分析自然，分組配方

要證a2+b2+c2≥，因?yàn)閍+b+c=1，只需證a2+b2，只需證2a2+2b2+2c2≥2ab+2bc+ 2ca，只需證（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2≥0。

而這個(gè)不等式顯然成立，所以原不等式成立。

證法4：代入消元，展開(kāi)配方

因?yàn)閍+b+c=1，所以a=（1-b）-c。因此a2+b2+c2=［（1-b）-c］2+b2+c2=2c2-2c（1-b）+（1-b）2+b2=2（c-。

三、數(shù)學(xué)美，美在和諧、統(tǒng)一

和諧美（或稱統(tǒng)一美）是指部分與部分之間、部分與整體之間的和諧一致。數(shù)學(xué)的和諧美（或稱統(tǒng)一美）是指在不同的數(shù)學(xué)對(duì)象或同一對(duì)象的不同組成部分之間所存在的內(nèi)在聯(lián)系或共同規(guī)律。統(tǒng)一性是數(shù)學(xué)美的重要標(biāo)志，是數(shù)學(xué)家不懈追求的目標(biāo)，也是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造的美學(xué)方法之一。和諧美既是條件與結(jié)論的和諧，又是數(shù)與形的和諧，更是解題方法與思維策略的和諧，還是數(shù)學(xué)思想與思維途徑的和諧。證法2和證法5從不同側(cè)面體現(xiàn)了a2+b2+c2與a+b+c的關(guān)系；若只留下一個(gè)字母，如字母c，利用a+b=1-c消去a，b，可得證法6；若利用a+b=1-c并利用三角換元轉(zhuǎn)化為三角問(wèn)題，可得證法7。

證法5：完全平方，放縮配方

因?yàn)閍+b+c=1，所以a+b=1-c。

則a2+b2+c2=（a+b+c）2-2ab-2bc-2ca=1-2ab-2c（a+b）≥1--2c（a+b）=1-

證法6：放縮消元，配方顯然

因?yàn)閍+b+c=1，所以a+b=1-c。

則a2+b2+c2≥+c2=c2-c2+。（以下同證法5）

證法7：三角換元，配方新穎

令a=（1-c）cos2θ，b=（1-c）sin2θ。所以a2+b2+c2=（1-c）2cos4θ+（1-c）2sin4θ+c2=（1-c）2（cos2θ+sin2θ）2-2（1-c）2sin2θcos2θ+c2=（1-c）2-（1-c）2sin22θ+c2≥。（以下同證法5）

四、數(shù)學(xué)美，美在奇異、突變

奇異與突變是一種奇特的數(shù)學(xué)美。奇異美是指所得出的結(jié)果新穎、獨(dú)特，使人感到驚奇、贊賞與折服。在數(shù)學(xué)解題中，奇異性的存在使得構(gòu)造反例、尋求特例、反證、極端等手法能夠發(fā)揮出乎意料的作用，正難則反、以退求進(jìn)、逆向思維、發(fā)散思維等可以認(rèn)為是對(duì)奇異性的通俗理解。本題中結(jié)論是關(guān)于a，b，c的二次式，已知條件是關(guān)于a，b，c的一次式，并注意到當(dāng)時(shí)結(jié)論中的等號(hào)成立，于是可得證法8和證法9；若令a2+b2+c2=r2（r＞0），則想到三角換元，僅需利用輔助角公式便可得到證法10；前面的證法3中分析得出只需證明，這個(gè)不等式有判別式的影子，所以通過(guò)構(gòu)造二次函數(shù)可得證法11；再由這個(gè)不等式可聯(lián)想到向量=（a，b，，它們的模的平方分別為

2=a2+b2+c2，，且，于是可得證法12。證法10～12體現(xiàn)了思維發(fā)散的奇異美。

證法8：巧妙構(gòu)建，奇異突變

證法9：整體換元，巧妙自然

。

證法10：三角換元，利用輔助角公式

令a2+b2+c2=r2（r＞0），并注意到a，b，c∈+，所以可設(shè)a=rcosθcosφ，b=rcosθsinφ，c=rsinθ（0＜θ，φ＜），所以1=a+b+c=r［cosθ（cosφ+sinθ）+sinθ］=rcosθ· sin（φ+）+sinθ］≤r（cosθ+sinθ）=rsin（θ+α）≤，其中cosα=，sinα=，取α∈（0，

證法11：構(gòu)建函數(shù)，運(yùn)用判別式法

構(gòu)造二次函數(shù)f（x）=（ax-1）2+（bx-1）2+（cx-1）2，所以f（x）=（a2+b2+c2）x2-2（a+b+c）x+3，顯然f（x）≥0恒成立，所以Δ=4（a+b+c）2-12（a2+b2+c2）≤0，從而有

a2+b2+c2≥（a+b+c）2=。

證法12：巧構(gòu)向量，揭示本質(zhì)

在數(shù)學(xué)史上，數(shù)學(xué)美是數(shù)學(xué)發(fā)展的偉大動(dòng)力。在數(shù)學(xué)解題中，數(shù)學(xué)美能給我們一種認(rèn)識(shí)題意、探求思路、發(fā)現(xiàn)解法的新角度、新方法和新思路，因而數(shù)學(xué)美是探求思路、發(fā)現(xiàn)解法的源泉。數(shù)學(xué)美的各種表現(xiàn)在解題中的指導(dǎo)作用不是孤立的，而是相互結(jié)合、滲透并用的。因此，我們不僅要善于發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)美，還要自覺(jué)追求數(shù)學(xué)美和運(yùn)用數(shù)學(xué)美。

（作者單位：會(huì)同縣第一中學(xué)）