杜麗娟，張曉宇

(華北科技學(xué)院電子信息工程學(xué)院，北京東燕郊 101601)

永磁同步電機(jī)擴(kuò)展數(shù)學(xué)模型分析

杜麗娟，張曉宇

(華北科技學(xué)院電子信息工程學(xué)院，北京東燕郊 101601)

永磁同步電機(jī)控制系統(tǒng)的研究以其數(shù)學(xué)模型為基礎(chǔ)，傳統(tǒng)模型通常建立在ABC坐標(biāo)系、αβ坐標(biāo)系和dq坐標(biāo)系下，包括磁鏈方程、電壓方程和電磁轉(zhuǎn)矩方程。在傳統(tǒng)的永磁同步電機(jī)數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)上，將控制系統(tǒng)中的執(zhí)行機(jī)構(gòu)即逆變器部分與電機(jī)綜合考慮，推導(dǎo)建立擴(kuò)展的切換數(shù)學(xué)模型，并用狀態(tài)方程的形式給出。利用MATLAB進(jìn)行仿真分析，驗(yàn)證了模型的正確性。

永磁同步電機(jī)；逆變器；數(shù)學(xué)模型；仿真

0 引言

永磁同步電機(jī)廣泛應(yīng)用于多種工業(yè)領(lǐng)域，由于它是多變量、強(qiáng)耦合的非線性系統(tǒng)[1-2]，其控制策略和控制方法成為研究的熱點(diǎn)[3-6]，這些研究的基礎(chǔ)是建立在合理的數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)上。目前對永磁同步電機(jī)數(shù)學(xué)模型的研究通常是建立在三相靜止坐標(biāo)系、兩相靜止坐標(biāo)系和兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下[7-8]。不管哪一種模型，其輸入變量都包括定子繞組三相電壓uA,uB,uC，或者對其進(jìn)行Clarke變換和Park變換。而在電機(jī)控制系統(tǒng)中，定子三相電壓uA,uB,uC的產(chǎn)生是通過逆變器中開關(guān)管的控制實(shí)現(xiàn)的，上位機(jī)通過各種控制算法產(chǎn)生合理的PWM波形控制逆變器的開關(guān)管的狀態(tài)，從而得到需要的三相電壓uA,uB,uC。本文將逆變器和永磁同步電機(jī)作為整體來考慮，定義一個(gè)切換矢量(切換信號)，提出擴(kuò)展的PMSM切換數(shù)學(xué)模型，為永磁同步電機(jī)的控制提供新的研究思路。

1 永磁同步電機(jī)數(shù)學(xué)模型

模型對象是隱極式永磁同步電機(jī)，定子三相繞組Y型連接，且無中線引出。在一些常規(guī)假設(shè)[9-10]下，目前的PMSM電機(jī)建模都是基于ABC坐標(biāo)系及dq坐標(biāo)系的物理分析數(shù)學(xué)模型[11]。兩種坐標(biāo)系的關(guān)系如圖1所示。

1.1 三相靜止坐標(biāo)系中的PMSM數(shù)學(xué)模型

將電機(jī)定子三相繞組中的A相繞組軸線作為參考軸線，取逆時(shí)針方向?yàn)檗D(zhuǎn)速和電磁轉(zhuǎn)矩的正方向。經(jīng)過物理分析，得到如下電壓方程和磁鏈方程[11-12]。

圖1 ABC坐標(biāo)系與dq坐標(biāo)系的關(guān)系

(1) 電壓方程

(1)

(2) 磁鏈方程

(2)

式中Ls是相繞組的同步電感[7]；ψf是PMSM磁極的勵(lì)磁磁鏈，為常數(shù)；θe是A相繞組軸線與永磁體基波磁場軸線之間的電角度；

1.2 兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中的PMSM數(shù)學(xué)模型

ABC坐標(biāo)系經(jīng)Clarke和Park變換到dq旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系，在dq坐標(biāo)系下PMSM電壓方程和磁鏈方程為

(3)

(4)

式中ωe是轉(zhuǎn)子電角速度，Ld=Lq=Ls。

根據(jù)物理分析[1-2]，有轉(zhuǎn)矩方程(5)和運(yùn)動方程(6)

(5)

(6)

(7)

2 永磁同步電機(jī)擴(kuò)展數(shù)學(xué)模型

在兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的數(shù)學(xué)模型中，模型中的輸入變量ud,uq是通過定子三相電壓uA,uB,uC經(jīng)過Clarke變換和Park變換而來；而uA,uB,uC又是逆變器的輸出，它們是通過直流電壓UDC和開關(guān)矢量(切換信號)σ(t) 得到，如圖2所示。現(xiàn)在將逆變器與電機(jī)作為整體考慮，建立其數(shù)學(xué)模型，則模型輸入為直流電壓UDC、開關(guān)矢量(切換信號)σ(t)以及負(fù)載TL；仍然取id,iq,ω為系統(tǒng)的狀態(tài)變量。

圖2 三相電壓源型逆變器結(jié)構(gòu)

(8)

(9)

結(jié)合Clarke和Park變換矩陣以及式(9)，可以得到ud,uq與UDC,σ(t)的關(guān)系

(10)

將這一關(guān)系代入狀態(tài)方程(7)，得到

(11)

3 仿真及結(jié)果分析

根據(jù)上述建立的永磁同步電機(jī)擴(kuò)展切換模型，利用MATLAB(R2012a)進(jìn)行仿真分析。實(shí)驗(yàn)

中電機(jī)參數(shù)設(shè)定為：直流電壓UDC=310 V；繞組電阻R=2.75 Ω；定子繞組電感Ld=Lq=0.8×10-3H；極對數(shù)np=4；轉(zhuǎn)動慣量J=0.006 kg·m2；摩擦系數(shù)B=0N·m·s；電機(jī)采用開環(huán)控制方式，使用對稱三相正弦波經(jīng)過零比較器產(chǎn)生三路PWM信號作為電機(jī)模型的輸入，如圖3所示。仿真時(shí)間為0.8 s，在t=0.5 s時(shí)加入負(fù)載TL=2 N·m 。仿真結(jié)果給出轉(zhuǎn)速、轉(zhuǎn)矩和定子三相電流曲線，分別如圖4、圖5所示。

圖3 永磁同步電機(jī)仿真模型

圖4 轉(zhuǎn)速、轉(zhuǎn)矩特性曲線

圖5 定子三相電流波形

模型中pmsm_model即擴(kuò)展的電機(jī)模型，三個(gè)橋臂輸入信號通過開關(guān)矢量(切換信號)σ(t)控制導(dǎo)通，我們采用SVPWM調(diào)制信號的開關(guān)信號，作為σ(t)的輸入。這樣就能逆變出三相對稱的SVPWM電壓。另外兩個(gè)輸入信號是直流電壓和負(fù)載，分別用常數(shù)模塊和階躍模塊實(shí)現(xiàn)。輸出信號中id,iq和θ(圖中theta)經(jīng)過變換得到定子三相電流ia,ib和ic。

仿真開始后，轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)矩特性曲線經(jīng)過0.1秒左右的波動后漸趨穩(wěn)定。在0.5秒加入負(fù)載后經(jīng)過短暫波動后穩(wěn)定，說明該模型對于外加負(fù)載能夠正確響應(yīng)。

為方便觀察，三相電流曲線只給出0到0.2秒的時(shí)間范圍。由于PWM波的調(diào)制信號為頻率50 Hz的正弦波，因此定子三相電流的頻率也是50 Hz，對應(yīng)圖中周期為0.02秒。

4 結(jié)論及應(yīng)用前景

擴(kuò)展的切換模型將逆變器部分與電機(jī)整體考慮，將逆變器的直流電壓UDC和開關(guān)矢量σ(t)作為模型輸入，推導(dǎo)出狀態(tài)變量id,iq,ω與輸入U(xiǎn)DC和σ(t)所滿足的切換信號控制下的狀態(tài)方程。MATLAB仿真驗(yàn)證了模型的正確性。

矢量控制是永磁同步電機(jī)控制的重要研究方向，目前比較成熟的方法有cosφ=1控制、最大轉(zhuǎn)矩電流比控制、弱磁控制、id=0 控制等。這些方法都是對定子電流、轉(zhuǎn)子位置、轉(zhuǎn)速等狀態(tài)變量采樣后反饋給電流控制器或轉(zhuǎn)速控制器，通過特定的控制算法計(jì)算得到d,q軸坐標(biāo)系下的定子電壓，再通過SVPWM模塊得到逆變器的開關(guān)信號，這種思路將逆變器和永磁電機(jī)作為獨(dú)立的實(shí)體來考慮，根據(jù)各自的數(shù)學(xué)模型體現(xiàn)它們在控制系統(tǒng)中的作用。如果考慮上述提出的擴(kuò)展模型，則消除了逆變器與電機(jī)之間uA,uB,uC或者ud,uq的概念，電流控制器根據(jù)反饋的狀態(tài)變量，直接計(jì)算輸出逆變器的控制脈沖，這種思路減少了控制環(huán)節(jié)，從理論上分析可以減小中間誤差、提高控制精度，同時(shí)簡化控制系統(tǒng)軟件設(shè)計(jì)。對于轉(zhuǎn)速控制器和電流控制器的具體的控制方法有待進(jìn)一步的研究。

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Extended Mathematical Model of Permanent Magnet Synchronous Motor

The research on the control system of PMSM is based on its mathematical model. Traditional models of PMSM is usually based on ABC coordinate, α-βcoordinate and d-q coordinate, including flux equation, voltage equation and torque equation. On the basis of traditional models, extended mathematical model is established in the form of state equation, which considers the PMSM and inverter as a whole. The correctness of proposed model is verified by simulation analysis using MATLAB.

PMSM； inverter； mathematical model； simulation

2015-12-25 基金項(xiàng)目: 國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(61304024)，中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)(3142015101)

杜麗娟(1976-)，女，河北衡水人，華北科技學(xué)院電子信息工程學(xué)院副教授，研究方向：電機(jī)控制。E-mail：200400597dlj@ncist.edu.cn

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